概率论与数理统计3.3条件分布

f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P{ X
1 |Y
0}
P{ X
1 ,Y 2
0}
2
P{Y 0} y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
12
条件分布
例 设二维随机变量 (X ,Y )服从正态分布,即有
X， Y ~
N
1，
2，
2，
1
2，
0 x y 1,
所以,当0<y<1时
0,
其 它.
fY y
f
x，
ydx
y
0
1 1 x
dx
ln1
y
y.
所以,随机变量Y的密度函数为
1
fY
y
ln1
0,
y,
0 y 1, 其 它.
0
1x
16
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即
N
1
1 2
y
2
，
2 1
1 2
14
条件分布
例 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布,当 0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下服从区间(x,1) 上的均匀分布,试求随机变量Y的密度函数.
Aj |
B1,2) ,P( AB) P(B)
对于固定的 j ,若P{Y= yj }>0, 则称 P{ X xi | Y y j }
P{X xi ,Y y j } pij
P{Y y j }
p• j
i 1,2,
为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
1
条件分布
同样地,对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称
FX |Y
(x
|
y)
lim
0
P{ y Y y }
F(x, y ) F(x, y )
lim
0 FY ( y ) FY ( y )
F ( x, y)
lim[F( x, y ) F( x, y )]/ 2
0
y
lim0[FY ( y ) FY (
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y在条件X= x下条件密度函数.
8
条件分布
三.条件密度函数的性质
性质1 对于任意的x,均有 f X Y x y 0
性质2 fX Y x y dx 1
换言之 fX Y x y 是密度函数.
对于条件密度函数 fY X y x 也有类似的性质
P{Y
yj
|X
xi }
P{X xi ,Y y j } P{X xi }
pij pi•
, j 1,2,
为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。
条件分布律的特性
10 P{ X= xi |Y= yj }0；
20
P{ X
i 1
xi |Y
yj}
i 1
pij p• j
即条件分布律是分布律。
lim P{X x | y Y y }
0
P{X x, y Y y }
lim
0 P{ y Y y }
存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 写成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y(x|y).
6
条件分布
P{X x, y Y y }
y
yx
x
dy
x
2x,
0 x 1,
0,
其它.
0
1
x
y x
10
条件分布
1
fY
(
y)
f
(
x,
y)dxy
1 1
y, y,
0 y 1, 1 y 0,
y
yx
0,
其它.
0
1
x
1 0,
|
y
|,
| y | 1 其它.
y x
(2) 当 | y | 1, f X|Y ( x | y)
解
随机变量X的密度函数为
f
X
x
1, 0,
0 x 1, 其 它.
当0<x<1时,随机变量Y在X=x的条件下条件密
度函数为
fY X
yx
1 1
x
,
0,
x y 1, 其 它.
15
条件分布
所以,由公式
fY X
yx
f x， y fX x
得
f x，
y
fX x fY X y x
1
1
x
,
p• j 1. p• j
2
条件分布
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击 中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进行的 射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。
解：Y的可能取值是2,3,4,…; X的取值是1,2,3,4,…
中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,
求: 1）在发车时有n个乘客的条件下,中途有m个人下 车的概率；
2）二维随机变量（X,Y ) 的概率分布。
解
1)
P{Y
m|
X
n}
C
m n
p m (1
p)nm
,
m 0,1,, n, n 0,1,2,.
2)X和Y 的联合分布率
P{X n,Y m} P{Y m | X n}P{X n}
2
则 (X ,Y )的联合密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 2
exp
2
1
1
2
x
1 2
2 1
2x
1 y
1 2
2
y
2 2
2 2
而随机变量Y的边缘密度函数为
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
13
条件分布
因此，对任意的 y，fY y 0，
f X Y
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
f (x, y) fY ( y)
1 1 |
y
|
,
0,
| y | x 1 其它。
11
条件分布
f (x, y)
1, | y | x, 0 0, 其它.
x
1,
fX (x)
2x, 0 x 1 0, 其它.
当0 x 1,
fY|X ( y | x)
条件分布
一 、离散型随机变量的条件分布律
设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为
P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,...
(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为：
pi• pi j ,
j 1
i
由1,条2, 件概率p•公j 式 i 1
pi
jP, (
X ,Y 的联合分布律为
并且 X Y．
P X m， Y n qm1 p qnm1 p
qn2 p2 其中q 1 p
n=2,3,4,…; m=1,2,3,…,n-1
3
条件分布
例2 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为 ( 0)
的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且
9
条件分布
例 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
( x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
(3) P{X 1 | Y 0}.
2
解
(1) f X ( x) f ( x, y)dy
y
yx
f
(u,
v
)dudv
y
)]/ 2
x
f (u,
d dy
FY
y)du .
(
fY ( y)
fY ( y)
y)
7
条件分布
FX|Y ( x | y)
x
f (u, y) du,
fY ( y)
称为在条件Y= y下X的条件分布函数.
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
称为随机变量X在条件Y= y下条件密度函数.
m
0,1,n,
n
0,1,2,
C
m n
pm (1
p)nm
n
n!
e
,
4
条件分布
二、条件分布函数
设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于
P{Y y} 0, 所以 P{X x | Y y} 无意义.
因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概 念。
5
条件分布
定义 给定 y，设对于任意固定的正数 ， P{ y- < Y y + }>0, 若对于任意实数 x，极限