线性代数练习册第三章部分答案（本）

线性代数练习册第三章部分答案（本）
第三章⾏列式及其应⽤
§3-1 ⾏列式的定义
⼀、填空题。

1、⾏列式a b
c d
=__ad bc -___;112
2
13141
---=____-24____. 2、⾏列式
1
111
1
21
21
2
00
000
a a a a
b b
c c
d d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111
1
11111111
D -=
-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____
13223144a a a a -____.
⼆、选择题。

1、⽅程01
1
0001x x x
=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.
（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式001
020
00
D n = 的值为__D ___.
（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n
n -; （D ）(1)2
(1)
!n n n --.
5、⾏列式312111321111x x x x x
--中4
x 的系数为__A____.
(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.
三、计算下列⾏列式
1、12
1
10001- 解：33
312
121
10(1)(1)1
11
001
r +--=-按展开
2、
1010120012301234
解：444321010
101
1200
4(1)120
1230
123
1234101
412024
3、
11321011
23011
002
-- 解：
41
411
3
2
1
1
3
10111013
22301230310021000130
01
3303
3
c c --------=--按r 展开
四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的
逆序数为
(1)
2
n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，
且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，
所以，排列11n n a a a - 的逆序数为
12112122122(1)
()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=
-
（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a
或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个
不同数的组合数k
n C ，即11n n a a a - 的逆序数为
(1)
§3-2 ⾏列式的性质与计算
⼀、填空题。

1、⾏列式1111111
1
1x y y
+++=_____xy _____.
2、⾏列式232629
24
2730252831
=_____0______. 3、若0,1,2,3i i a b i ≠=，则⾏列式11
1213
21
222331
32
33
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______0______. 4、若⾏列式2 34
2342
34
1111a a a a D b b b b c c c c =
,则21222324A A A A +++=____0_____. 解：
21222324A A A A +++=212223241111A A A A ?+?+?+?=
234
2
34
111111
11
0b b b b c c c c = 5、若⾏列式1100
1010001x y z x y z =，则x =__0__;y =___0___;z =__0____.
⼆、选择题。

1、⾏列式
000
0000a b a b b a b
4
a b -; （B ）4()a b -; （C ）222()a b -; （D ）4()a b +.
2、⾏列式
33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231
1
1
1
a a a a a a a a a a a a ---------的值为__A___.
（A ）12; （B ）11; （C ）13; （D ）14.
3、若⾏列式120002
21
3121510
11
D -=
，则4243442M M M +-的值为__D__. （A ）-6; （B ）6; （C ）40; （D ）0;
4、若⾏列式
11
121314212223243132333441424344
a a a a a a a a a a a a a a a a a =，
则⾏列式
41
424344313233342122232411
12
13
14
a a a a a a a a a a a a a a a a =___B__.
（A ）0; （B ）a ; （C ）4a ; （D ）a -.
5、⾏列式212322212223
()333245354435743
x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，
则()0f x =的根的个数为____B___.
(A ）1; （B ）2; （C ）3; （D ）4.
三、解⽅程
0231523
19x x -=-
解：
22214322
222232
1123112
312230100231
523
1
5
2
3
1900
0412
312(1)21
5
(1)(4)21
0043(1)(1)(2)(2)
r r x x r r x x r x r x x x x x x x ----------=--+-+按展开按展开所以，12341,1,2, 2.x x x x =-==-=
四、计算下列⾏列式
1、1123010130231211
----
解：
3141131111231123
30101010130230346
1
2
11
03
341
343
31
435
31
r r r r c c ----------------+---------
=--按c 展开按c 展开
2、1210030200101000002400061
解：
12100
121
3020024
302
2(22)441010061
1010002400061
==--=
3、1
2
3
4
5
2
222251
234533333123455
555512
3
4
5
11111x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x = 解：1
2
3
3
333331
2345444444351245
55555
12
3
455
1
15
111111()
()
i j i i i j y
x x x x x y x x x x x D x x x x x y x x x x x y x x x x x y y x x x =≤≤≤=--∏∏由范德蒙德⾏列式
⽽
1
2
3
4
522
222212345
3
333331
2345444444351245
5555512
3
4
554326665646362616
111111y
x x x x x y x x x x x D x x x x x y x x x x x y x x x x x y
A y A y A y A y A y A =+++++按c 展开
所以，5561234515
D x x =
解：
1212111
0(1)(1)(1)000
(1)00
(1)
(1)(1)0
n n
n n
n x x n x n x n x x x x x D r r r x x x x
r n x x x r r x n n x r r x
----=
+++÷----=----
5、1
2
31211111
1111111(0)1
1
1
1n n n
a a D a a a a a ++=
+≠+
解：
121211
231
1
31
112323*********
121
111111
111111110
100000000000
01
(1).n n n
n n
n n
n
n i i
a a D a a r r a a r r a a r r a a r r r r a a a a a
a a a a a a a a a a a a a =++=
++-------
---++
++---=+∑
6、计算⾏列式1
12210000
000001
1
1
1
1
n n n a a a a D a a +--=-
解：
11221122121
2112120000000001
11
11
00000
000001
1
1
1
1
(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n
a a a a D a a a a a c c c a a n n a a a n a a a +++--=--++-++-=+-
00100,(1),000
1n n n n a b ab a b a b a b D a b n a a b a b ab a b
++++?-≠?
=
=-??+=+?
+
. 证明：
11
1
00100r ()
000
01
10000
00
00
1
n n n a b ab a b D a b a b ab a b ab a b ab a b ab a b --++++++-++按展开
12()n n a b D abD --=+-
所以，
2
12112121()()()n n
n n n n n n n n n D a b D abD D bD a D bD D bD a
D bD a
-------=+-?-=-?-=-=2
12112121()()()n n
n n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD D aD b
D aD b
-------=+-?-=-?-=-=
于是，11
()n n n a b D a b ++-=-
1）当a b ≠时，
11
n n a b a b ++-- 2）当a b =时，将n D 按r1展开得：
2122n n n D aD a D --=-， 2
212112*********()()()2(1)n n
n n
n
n
n n n n n n n n n n n n n n D aD a D D aD a D aD D aD a D aD a
D aD a a aD a a
a D a n a
-----------=-?-=-?-=-=?=+=++=+==+
§3-3 ⾏列式的应⽤
⼀、填空题。

1、矩阵1100010
000200011-??
-，则4
A =___16___;1A -=___110
00100001/200
01/2
1?? ?
_. 解：1100010
0000200001
1B A C -??
==
-
，1120,0111B C -
== ? ?-
所以，4
4
4
4
4
216A A B C ====
⽽ **1
111101,01122B C B C B C --
==== ? ?????
所以，1
A -=1
11100010000
01/200
01/2
1B A C --?? ??? ?==
2、若矩阵101210325A ?? ?= ? ?-??,则*A =__5
21108
2721-?? ?
- ? ?-??_; 1A -=_____5211108212721-?? ?
- ? ?-??
___.
3、若n 阶⽅阵A B 、等价，若0A =,则B =__0__.
4、A 为⼀个5阶⾏列式，且3A =-，则T A =_-3_;2A -=_96_;1
2A -=__323
-
_. 5、若向量
()()()()123310*********;110a a αααα====，,
线性相关，则a =_1_.
⼆、选择题。

1、设A B 、都为n 阶⽅阵，且0A AB +=,则__D__.
（A ）0A =; （B ）0A =且0E B +=; （C ）0E B +=; （D ）0A =或0E B +=. 2、设A B 、都为n 阶⽅阵,则必有_C__.
（A ）AB BA =; （B ）A B A B +=+; （C ）()T T T A B A B +=+; （D ）111()A B A B ---+=+. 3、设A 为4阶⽅阵，且2A =，则*A A =__C___.
（A ）4; （B ）62; （C ）72; （D ）8
2.
4、A 为3阶⽅阵，且1A =-,则1
*(2)A A --=___A___.
（A ）27; （B ）-27; （C ）3; （D ）-3.
解：111131
*(2)(2)3(3)(1)27A A A A A A ------=-=-=--=
5、若n 阶矩阵A 的秩为r ，则___C___.
（A ）0A =; （B ）0A ≠; （C ）r n ≤; （D ）r n >.
三、,A B 为n 阶可逆矩阵，若5A =，求12B A B --的值。

解：1212(1)(1)25
n n
B A B B A B ---=-=-
四、设向量组1231151,3,301k ααα?????? ? ? ?
===- ? ? ? ? ? ?-
线性相关，求常数k 并找到⼀组最⼤⽆关组。

解：
12321232
115115
,,133028
0101115
2
2014280004
r r k k r k r r k ααα=-----÷-=-=+-
所以，4k =时线性相关，12111,301αα???? ? ?
== ? ? ? ?-
为极⼤⽆关组。

五、设A B 、同为n 阶正交阵，且0A B +=,证明：0A B +=.
证明：()T T T A B AB B AA B A B A B +=+=+
()T T T A B AB B AA B A B A B A A B B ∴+=+=+=+
(1)0A B A B ?+-=
⼜2
0110A B A B A B B +=?=-?-=+≠
0A B ∴+=
六、若()ij n n A a ?=是正交矩阵，证明: 当1A =时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n == ;当1A =-时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n =-= .
证明：若()ij n n A a ?=是正交矩阵，则1
*T
T
A AA E A A A
-=?== 所以，当1A =时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n == ;
当1A =-时,,(,1,2,,)ij ij a A i j n =-= .
七、设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ,证明:1
*n A A
-=.
证明：由***n
AA A E AA A E A A A =?=?=，若0,A ≠则1
*n A A
-=；
若0,A =假设*0A ≠，则*A 可逆，由此得
1**(*)*|*|,AA A E O AA A O A O A O A O -==?=?=?=?=⽭盾。

所以，1
*n A A -=。