1.3 直角三角形全等的判定课件-2023-2024学年湘教版数学八年级下册
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EF的长为
4
.
第10题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，一条线段PQ＝AB＝10，点P
在边AC上运动，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点
的三角形与△ABC全等，则AP的长为
6或8
.
第11题图
.
第4题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
5.如图，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AF＝BE，AC＝BD.有下列结论：①
Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C＋∠B＝90°；③∠A＝∠D；④AC∥BD.其中正确的结
论为
①②④
.（填序号）
第5题图
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
3.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D.若CB＝CD，且∠BAC＝30°，则∠BAD的度
数为
60° .
第3题力提升练 素养拓展练
4.如图，已知CD，BE是△ABC的高，且BD＝CE，若CD＝4，则BE的长为
4
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝
OC.有下列结论：①∠1＝∠2；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有
四组三角形全等.其中正确的有（ D ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
10.如图，AB⊥CD，CE⊥AF，BF⊥ED.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10，则
6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，求∠2的度数.
解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
＝，
＝，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（ HL ），
∴∠2＝∠ACB＝90°－∠1＝50°.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
7.如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：
B.BD＜CD
C.BD＝CD
D.不能确定
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2.（邵阳武冈市期末）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若要用“HL”判定Rt△ABD
和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ A ）
A.AD＝CB
B.∠A＝∠C
C.BD＝DB
D.AB＝CD
第2题图
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Rt△AEF中，
∴CD＝EF.
＝，
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
＝，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（ HL ），
∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，
即BC＝BE.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
13.如图，已知点P的坐标为（2，2），点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴的负半
∴OA－2＝OB＋2，
∴OA－OB＝4.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
如图，若点B在y轴的正半轴上运动，其他条件不变，求OA＋OB的长.
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解：过点P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.
同理可得Rt△APE≌Rt△BPF，
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12.如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC
＝BE.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
证明：在Rt△ACD和
＝，
＝，
∴Rt△ACD≌Rt△AEF（ HL ），
知识点二
作直角三角形
8.如图，已知线段a，b，求作直角三角形，使一直角边为a，斜边为a＋b.
解：如图，作法如下：
（1）作∠MCN＝90°；
（2）在CN上截取CB，使CB＝a；
（3）以点B为圆心，以a＋b为半径画弧，交CM于点A，连接AB，
则△ABC即为所求作的直角三角形.
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轴上运动，且PA＝PB.
（1）求证：PA⊥PB；
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
（1）证明：过点P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，
∴∠EPF＝90°，
∴∠BPE＋∠BPF＝90°.
∵点P的坐标为（2，2），
∴PE＝PF＝2.
＝，
＝，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（ HL ），
第1章 直角三角形
1.3
直角三角形全等的判定
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
知识点一
利用“HL”判定直角三角形全等
1.如图，有两根长度为12 m的绳子，将它们的一端系在旗杆上，另一端分别固定在
地面的两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是（ C ）
A.BD＞CD
在Rt△APE和Rt△BPF中，
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠BPE＋∠APE＝90°，即∠APB＝90°，
∴PA⊥PB.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
（2）求OA－OB的长.
（2）解：由（1）知Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OB＋OF＝OB＋2，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，
BF＝OF－OB＝2－OB，
∴OA－2＝2－OB，
∴OA＋OB＝4.
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△ADE≌△BEC.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝180°－∠A＝90°＝∠A.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
＝，
＝，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（ HL ）.
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4
.
第10题图
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11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，一条线段PQ＝AB＝10，点P
在边AC上运动，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点
的三角形与△ABC全等，则AP的长为
6或8
.
第11题图
.
第4题图
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5.如图，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AF＝BE，AC＝BD.有下列结论：①
Rt△AEC≌Rt△BFD；②∠C＋∠B＝90°；③∠A＝∠D；④AC∥BD.其中正确的结
论为
①②④
.（填序号）
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3.如图，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D.若CB＝CD，且∠BAC＝30°，则∠BAD的度
数为
60° .
第3题力提升练 素养拓展练
4.如图，已知CD，BE是△ABC的高，且BD＝CE，若CD＝4，则BE的长为
4
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB＝
OC.有下列结论：①∠1＝∠2；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有
四组三角形全等.其中正确的有（ D ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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10.如图，AB⊥CD，CE⊥AF，BF⊥ED.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10，则
6.如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，求∠2的度数.
解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
＝，
＝，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（ HL ），
∴∠2＝∠ACB＝90°－∠1＝50°.
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7.如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：
B.BD＜CD
C.BD＝CD
D.不能确定
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2.（邵阳武冈市期末）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若要用“HL”判定Rt△ABD
和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ A ）
A.AD＝CB
B.∠A＝∠C
C.BD＝DB
D.AB＝CD
第2题图
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Rt△AEF中，
∴CD＝EF.
＝，
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
＝，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（ HL ），
∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，
即BC＝BE.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
13.如图，已知点P的坐标为（2，2），点A在x轴的正半轴上运动，点B在y轴的负半
∴OA－2＝OB＋2，
∴OA－OB＝4.
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如图，若点B在y轴的正半轴上运动，其他条件不变，求OA＋OB的长.
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解：过点P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.
同理可得Rt△APE≌Rt△BPF，
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12.如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE.求证：BC
＝BE.
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证明：在Rt△ACD和
＝，
＝，
∴Rt△ACD≌Rt△AEF（ HL ），
知识点二
作直角三角形
8.如图，已知线段a，b，求作直角三角形，使一直角边为a，斜边为a＋b.
解：如图，作法如下：
（1）作∠MCN＝90°；
（2）在CN上截取CB，使CB＝a；
（3）以点B为圆心，以a＋b为半径画弧，交CM于点A，连接AB，
则△ABC即为所求作的直角三角形.
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轴上运动，且PA＝PB.
（1）求证：PA⊥PB；
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（1）证明：过点P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，
∴∠EPF＝90°，
∴∠BPE＋∠BPF＝90°.
∵点P的坐标为（2，2），
∴PE＝PF＝2.
＝，
＝，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（ HL ），
第1章 直角三角形
1.3
直角三角形全等的判定
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知识点一
利用“HL”判定直角三角形全等
1.如图，有两根长度为12 m的绳子，将它们的一端系在旗杆上，另一端分别固定在
地面的两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是（ C ）
A.BD＞CD
在Rt△APE和Rt△BPF中，
∴∠APE＝∠BPF，
∴∠BPE＋∠APE＝90°，即∠APB＝90°，
∴PA⊥PB.
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基础逐点练 能力提升练 素养拓展练
（2）求OA－OB的长.
（2）解：由（1）知Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OB＋OF＝OB＋2，
∴AE＝BF.
∵AE＝OA－OE＝OA－2，
BF＝OF－OB＝2－OB，
∴OA－2＝2－OB，
∴OA＋OB＝4.
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△ADE≌△BEC.
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证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝180°－∠A＝90°＝∠A.
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
＝，
＝，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（ HL ）.
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