福建省漳州实验中学高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

漳州实验中学2021-2021高二（上）期末考试卷
数学（理）
（总分值：150分 考试时刻：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）
一、两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为 ( )
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2、2
|1|10x x x -≤-<是的（ ）
A ．充分没必要要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也没必要要条件
3、已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(-2,1,2)，假设2a-b 与b 垂直，那么|a |等于 ( )
A .
2
3
5 B .
221
C . 2
37
D .
2
5
3 【答案】D 【解析】
考点：1.空间中的点的坐标运算与模；2.向量的数量积判定向量的共线与垂直． 4、假设曲线y=x 2+ax+b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0，那么 ( )
A .a =-1,b =1 B.a =-1,b =-1 C .a =1,b =-1 D .a =1,b =1
五、在同一坐标系中，方程22
221x y a b
+=与20ax by +=（0a b >>）的曲线大致是 （ ）
【答案】A 【解析】
考点：1.椭圆的概念；2.抛物线的概念．
六、用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，。

，153～160号）.假设第15组应抽出的号码为116，那么第一组顶用抽签方式确信的号码是( )
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意，可知系统抽样的组数为20，距离为8，设第一组抽出的号码为x ，那么由系统抽样的法那么，可知第n 组抽出个数的号码应为x +8（n -1），因此第16组应抽出的号码为x +8（16-1）=123，解得x =3，因此第2组中应抽出个体的号码是3+（2-1）×8=11．故答案为：11． 考点：系统抽样方式．
7、若是执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）
A ．22
B ．46
C ．94
D ．190
八、设F 1，F 2别离是双曲线19
2
2
=-y x 的左、右核心．假设点P 在双曲线上，且1PF ·2PF ＝0，那么|1PF ＋2PF |＝ ( )
A . 10
B ．102
C .
5 D ．52
九、若(010,)4
k k k Z π
θ=
≤≤∈，那么sin cos 1θθ+≥的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．211 D ．611
10、已知函数)(x f y =的图象关于原点对称，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f + 0<成立，（其中)()('x f x f 是的
导
函
数
）
，
假
设
)
3(log )3(log ),3()3(3.03.0ππf b f a ⋅=⋅=，
c b a f c ,,),9
1
(log )91(log 33则⋅=的大小关系是（ ）
A ．a >b >C
B ．c >b >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
【答案】C 【解析】
试题分析：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (x )关于(0，0)中心对称，为奇函数，当x ∈(－∞，0)时，
f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，因此xf (x )为减函数，30.3>log
π3>log 31
9
，因此c >b >a .
考点：1.函数单调性的性质；2.导数的运算；3.不等式比较大小．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡相应位置上）
1一、为了解一片经济林的生长情形，随机测量了其中100 株树木的底部周长（单位：cm ）．依照所得数据画出样本的频率散布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是 ;
1
二、设向量)1,1(),0,1(==b a ，那么向量b a +λ与向量)1,3(=c
共线的充要条件是_________;
13、
函数f (x )＝e x (sinx ＋cosx )在区间]2
,0[π
上的值域为_____________;
14、已知直角三角形ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,在∠CAB 内作射线AM ,那么∠CAM ＜45°的概率为___________; 1五、曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2
(1)a a >的点的轨迹，给出以下三
个结论：
①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称； ③假设点P 在曲线C 上，那么△12F PF 的面积不大于212
a . 其中，所有正确结论的序号是____________.
三、解答题（本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤） 16、（本小题总分值13分）
设命题p ：函数3()1f x x ax =--在区间[1,1]-上单调递减；命题q ：函数2
1y x ax =++的最小值不大于0．若是命题q p 或为真命题，q p 且为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】 【解析】
17、
（本小题总分值13分）
甲、乙两药厂生产同一型号药品，在某次质量检测中，两厂各有5份样品送检，检测的平均得分相等（检测总分值为100分，得分高低反映该样品综合质量的高低）.成绩统计用茎叶图表示如下： (Ⅰ)求a ；
(Ⅱ)某医院打算采购一批该型号药品，从质量的稳固性角度考虑，你以为采购哪个药厂的产品 比较适合？
(Ⅲ)检测单位从甲厂送检的样品中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至少有一份得分在（90，100] 之间的概率．
1八、（本小题总分值13分）
如图，三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中
点。

（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；
甲
乙 9 8 8 4 8 9
2 1 0
9
a 6
（Ⅱ）求二面角A BD A --1的大小；
（Ⅲ）求直线1AB 与平面BD A 1所成的角的正弦值. 【答案】
1AA =3，AD =1，∴在Rt ∆1AA D 中，DA A 1∠=
3
π， ∴23sin601AM =⨯=
，27
AB 21AP 1==，∴.7212
7
23AP AM APM sin ===∠ ∴直线1AB 与平面B A 1D 所成的角的正弦值为
721
………………13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一 ………………4分 （Ⅱ）如图成立空间直角坐标系， 1九、（本小题总分值13分）
某商品每件本钱9元，售价为30元，每礼拜卖出144件. 若是降低价钱，销售量能够增加，且每礼拜多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比. 已知商品单价降低2元时，一礼拜多卖出8件． （Ⅰ）将一个礼拜的商品销售利润表示成x 的函数； （Ⅱ）如何定价才能使一个礼拜的商品销售利润最大？
（Ⅱ）
由（Ⅰ）得]
30,0[),12)(2(6)
2414(6144846)(22'∈---=+--=-+-=x x x x x x x x f ……………7分
当x 转变时，()f x '与()f x 的转变如下表：
x
[)02，
2 (212)， 12 (]1230，
()f x ' -
+
-
()f x ↘
极小 ↗ 极大 ↘
…………10 分
故12x =时，()f x 达到极大值．因为3024)0(=f ，3888)12(=f ，
因此定价为301218-=元能使一个礼拜的商品销售利润最大．…………………13 分 考点：函数模型的选择与应用．
20、（本小题总分值14分）
如图，已知核心在x 轴上的椭圆
22
2
1(0)20x y b b +=>通过点(4,1)M ，直线:l y x m =+ 交椭圆于,A B 不同的两点． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）是不是存在实数m ，使△ABM 是以AMB ∠为直角的直角三角形，假设存在，求出m 的值，假设不存，请说明理由． 【答案】 【解析】
试题分析：（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，取得椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m 的范围即可；
（3）关于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m 知足题意，再利用△ABM 为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m ，假设显现矛盾，那么说明假设不成立，即不存在；不然存在． 试题解析：解：（Ⅰ）依题意
2161
120b
+=，解得25b =，…………2分 因此椭圆的标准方程是
22
1205
x y +=．………………3分 21、（本小题总分值14分）
设函数2
2
)1ln()1()(x x x f +-+=， （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）假设当]1,11
[--∈e e
x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）假设关于x 的方程a x x x f ++=2
)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.
（Ⅰ）
令0120]11)1[(212)1(2)(2>++⇒>+-+=+-
+='x
x x x x x x x f 12-<<-⇒x 或x >0，因此f (x )的单调增区间为（－2，－1）和（0，+∞）………3分
令0120]11)1[(212)1(2)(2<++⇒<+-+=+-
+='x x
x x x x x x f
)(,201x f x x 所以或-<<<-⇒的单调减区间（-1，0）和（-∞，-2） ………5分 （Ⅱ）令201)1(0)(2-==⇒=+⇒='x x x x f 或（舍） ………………………6分
.
2)(,]1,11
[,,
2)1(,1)0(,21
)11(222---∈-=-=+=-e x f e e
x e e f f e
e f 的最大值为时当所以 ………………………8分
因此可得：f(x)<m 恒成立时，m >e 2-2 ………………………9分
（Ⅲ）原题可转化为方程a =(1+x )－ln(1+x )2在区间[0，2]上恰好有两个相异实根…10分 ………………………………11分。