寿险精算数学2012秋

北京师范大学珠海分校应用数学学院
寿险精算数学教案10数学精算方向2012年秋
周伟
2012/9/1
寿险精算教案
周伟
2012年秋应用数学学院10级数学与应用数学专业精算方向
周一 5，6节周三 3，4节单周五 3，4节
丽泽楼B203
课程相关：
（1）要记忆公式多，在理解的基础上记忆重点公式，在练习的过程中加深理解和记忆
（2）计算量大，准备计算器，推荐casio fx95，考试不能用手机代替计算器
（3）教材：寿险精算中国精算是协会组编中国财政经济出版社
（4）参考书：寿险精算数学王燕中国人民大学出版社
（5）预习看教材，上课认真听讲，复习看笔记，认真完成练习
（6）概率基础很重要，注意温习
课程考核：
（1）平时30分，期中考试30分，期末考试40分。

（2）平时30分中包含考勤，作业，网上练习，思考题（问题探究）
时间星期一星期二星期三星期四星期五
上午1，2
微积分继教2-
A204
3，4
建模 A103
10数学
建模 B202
10信息
寿险精算 B203
10数学精算
微积分继教（6-11）
C305
寿险单B203
下午5，6
寿险精算
B203
建模综合B106 单10数学
双10信息
微积分继教2-
C403
7，8
高数
综合B103
高数
单综合B103
微积分继教（6-11）
C301
绪论
保险精算学的产生与相关概念
为了准确地评估和控制风险，精算学得以产生和发展。

人类面临许多严重的风险事故，可能会使全家突然陷入经济困境。

个人通常无法预测和避免风险事故的发生，但是可以通过风险转移的方式将风险事故可能造成的财务后果降到可以接受的程度。

例10000人为了转移1年内死亡后家庭陷入经济困境的风险，每人出资100元，共计筹款100万，假设一年内有一人死亡，获得100万解决家庭经济问题。

风险转移的实质是将具有相同风险的个人聚合成一个团体，团体成员的损失共同分担，这就实现了个人风险向团体的转移。

作用原理类似与物理学中的压力与压强的关系。

另一方面，将风险聚合起来有利于风险的预测和控制。

方差变小。

保险是实现风险转移最为有效的方式。

自愿、自由、公平地进行风险转移是一件非常复杂的事情。

保险人首先对风险进行分类，识别可保风险；然后运用统计、经济、社会学、金融学、计算机、法律等一系列专业知识进行消费者行为分析、可行性分析、资金需求分析、未来投资收益分析等一系列综合考虑，并采用恰当的数学模型厘定公平的费率；最后还要保证有足够的偿付能力履行预定的损失赔付责任。

这一系列复杂的工作就催生了保险精算学这一专业学科的产生与发展。

保险分为财产保险和人身保险两大类。

财产保险是以财产及其相关利益为保险标的，保险事故是财产的损失。

广义上包括财产损失保险（有形损失）、责任保险、信用保险。

人身保险是以人的生命和身体为保险标的的保险，保险事故是人的生、老、病、死、残等。

广义上包括人寿保险、健康保险和人身意外伤害险等。

保险事故不同，风险特征会有很大的差别，相应的精算方法也有很大的差异，实践中形成了用于寿险，非寿险，养老金，投资，社会保障等不同领域的精算体系。

保险
人身保险人寿保险（寿险精算）健康保险（健康险精算）人身意外保险（意外险精算）
财产保险
财产损失保险（财险精算）责任保险（责任险精算）信用保险（信用险精算）
寿险精算学是以人的生存或死亡为风险保障基础，主要研究寿险风险厘定的原理和方法。

它不仅对寿险业务的稳健经营有着重要的意义，对其他金融风险的分析和控制也有思想上和方法上的双重借鉴作用。

寿险精算学的主要研究内容
不同险种的精算方法
根据不同的标准，人寿保险可以分成不同的类型：
以保险事故的不同，可分为死亡保险，生存保险和两全保险。

以保险赔付金额是否恒定，可分为定额收益保险，变额收益保险。

以保障其是否有限，可分为定期寿险和终身寿险。

以生效时间不同，可分为非延期保险和延期保险。

以保单价值如何计算，可分为传统保险，分红保险，万能保险和投资连接保险等。

万能寿险之“万能”，在于在投保以后可根据人生不同阶段的保障需求和财力状况，调整保额、保费及缴费期，确定保障与投资的最佳比例，让有限的资金发挥最大的作用。

万能险是风险与保障并存，介于分红险与投连险间的一种投资型寿险。

概率模型的构造
大数定理保证了由大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的寿命分布是有统计规律性的。

这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理预测将来的风险。

因此概率模型将是我们构造寿险精算模型的主要工具。

精算参数的合理假定
寿险精算中，基本参数主要有：死亡率、利率、赔付金额、费用率、退保率。

第一章 生存分布与生命表
学习目标：
了解常用生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 了解生存分布与生命表之间的关系
了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法
人寿保险是以人的生命为保险标的，已被保险人在指定时期的生存或死亡作为保险金的给付条件，因此，精确估计被保险人的生命规律对风险分析和控制来说至关重要。

1.1 引言
寿命
随机变量X 表示新生婴儿死亡时的年龄。

F X (x )表示X 的分布函数。

F X (x )=Pr (X ≤x ),x ≥0表示新生婴儿于x 岁之前死亡的概率。

f X (x )表示X 的密度函数。

f X (x )=F X ′(x )。

s X (x )=1−F X (x )=Pr (X >x ),x ≥0。

表示新生儿于x 岁之后死亡，即x 岁仍存活的概率。

称为生存函数。

有时简记为s(x )。

f X (x )=−s′(x )。

注：(1)s (0)=1;(2)0≤s(x)≤1,x ≥0;(3)s(x)严格减;(4)s(+∞)=0,s(ω)=0。

补例 假设某地区人群生存函数s (x )=1−
x 100
,0≤x ≤100. 求
（1）一个新生婴儿活不到50岁的概率； （2）一个新生婴儿寿命超过80岁的概率；
（3）一个新生婴儿会在60-70岁之间死亡的概率； （4）一个活到30岁的人活不到60岁的概率； 补例 已知s (x )=
√100−x
10
,0≤x ≤100,求f(75).
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量X 的概率密度函数为
f X (x )={2(100−x)
10000,0≤x ≤100
0,其他
求：（1）该地区人群的生存函数；（2）该地区新生婴儿将在（70,80）之间死亡的概率。

剩余寿命
(x ) 表示x 岁的生命（活人），(0)即为新生婴儿。

随机变量T(x ) 表示(x )的剩余寿命，即余命。

T(x )=X- x , X ≥x 。

有时简记为T 。

注：考虑剩余寿命的时候有附加条件，首先要活着。

寿命X
剩余寿命T(x) 0 x 死亡年龄
剩余寿命T(x)的分布函数F T (t )=Pr (T ≤t ),t ≥0表示(x)在未来t 年内死亡的概率。

即一个活到x 岁的人，活不到x +t 岁的概率。

简记为q t x 。

q t x =F T (t )=Pr (T ≤t )=Pr (X ≤x +t |X >x )=
Pr (x <X ≤x +t )Pr (X >x )=s (x )−s (x +t )
s (x )
剩余寿命T(x)的生存函数s T (t )=Pr (T >t ),t ≥0表示(x)在未来t 年后死亡的概率。

即一个活到x 岁的人能活到x +t 岁的概率。

简记为p t x 。

p t x =s T (t )=Pr (T >t )=Pr (X >x +t |X >x )=
Pr (X >x +t )Pr (X >x )=s (x +t )
s (x )
注: (1) X =T (0) ,q t 0=F X (t ),p t 0=s (t );
(2) q t x +t p x =1;
(3) p 1x =p x ,q 1x =q x ;
(4) q t|u x =Pr (t <T ≤t +u )=Pr (x +t <X ≤x +t +u |X >x )
=
Pr (x +t <X ≤x +t +u )Pr (X >x )=s (x +t )−s (x +t +u )
s (x )
=q t+u x −q t x =p t x −(t+u )p x =p t x q u x+t
表示(x)活到x +t 岁且在之后的u 年内死亡的概率。

这里用t| 来表示延期t 年; (5) q t|1x =q t|x =p t x q x+t . 例1-2 已知s X (x )=1−
x 110
，求 10p 30和 10|5q 25.
补例 设某人群的生存函数s (x )=√100−x
10
,0≤x ≤100 ,求：
（1）19岁的人至少还能再活45年的概率；
（2）36岁的人能活到51岁但活不过64岁的概率。

作业 P25 1，18 取整余命
记K(x)为(x)的剩余寿命T(x)的整数部分，K (x )=[T(x)]，离散型随机变量。

简记为K 。

Pr (K (x )=k )=Pr (k ≤T (x )<k +1)=p k x −k+1p x =q k|x
例1-3 假设生存函数s (x )=√120−x 120
,0≤x ≤120，求：(x)未来生命时间长度的整数部分为
30的概率。

死亡力
μ(x )=lim ∆x→0Pr (x <X ≤x +∆x |X >x )∆x =f X (x )s (x )=−s ′(x )s (x )=−d(lns (x ))
dx
指一个人能活到x 岁，然后在x 岁瞬间死亡的速率，称之为死亡力。

记为μ(x )或μx 。

注：(1) s (x )=exp (−∫u (s )ds x
0)
(2) p t x =
s (x+t )s (x )
=exp (−∫u (s )ds x+t
x
)
(3) f X (x )=s (x )μ(x )=μ(x )∙ exp (−∫u (s )ds x
0) (4) f T (t )=
d dt
F T (t )=
d dt [s (x )−s (x+t )
s (x )
]=p t x ∙ μx+t
思考题：（1）四个函数F X (x ),f X (x ),s (x ),μx 间关系；
（2）考察寿命X 与T(x)的矩。

例1-4 已知μ(45+t )=1
270−3t ，求q 1045。

注意，μ(45+t )=μ45(t),例如课后第四题。

补例 已知μ(x )=
x 100
,0≤x ≤100，求q 20|1040。

补例 设死亡力μx =1
100 ,x ≥0.试求： （1）随机变量X 的分布函数和密度函数； （2）随机变量T 的分布函数和密度函数； （3）Pr (10<X ≤30)； （4）q 5|520。

作业 P26 4，5，9，10，12，13，14，15
1.2 生命表
前面讨论了随机变量X 或T(x)的概率分布函数、生存函数、概率密度函数及死亡力函数。

但在实务中，一般用生命表来描述寿命的概率分布，它是寿险公司计算纯保费的重要依据之一。

生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。

生命表是过去经验的记录，通常用于预测那些将来和过去情况完全相同的未来事件。

生命表中最重要的是每个年龄的死亡率。

最简单的生命表通过给出每一个年龄的q x 值来反映寿命分布。

如P9表1-1所示。

生命表函数
正式的生命表，除了给出q x 值外，还给出以下生命表函数。

1. 生存人数（l x ）和死亡人数（d n x ）
考虑初始新生婴儿，共l 0名。

每个婴儿的死亡情况相互独立同分布，生存函数s(x)。

L(x)表示在x 岁还活着的人数，其数学期望l x =E(L (x ))=l 0∙s(x)为l 0个新生婴儿中预期生存到x 岁的人数。

D n x 表示在x 和x +n 岁之间死亡的人数，d n x =E(D n x )=l 0∙q n x =l x −l x+n 为l 0个新生婴儿中预期在x 和x +n 岁之间死亡的人数。

简记d 1x =d x 。

观察P10 示例生命表表1-2所示，分析各生命表函数之间关系。

2.累计生存人年数（T x ）与生存人年数（L x ）
T x =∫l x+t dt +∞
0 表示已活到x 岁的人群在未来累计生存的人年数。

补例 l x+t
={3t <0.520.5≤t <313≤t <4.50 4.5<t
L x
n =∫l x+t dt n
0表示已活到x 岁的人群在未来n 年内生存的人年数。

简记L x 1x 3. 平均余命
ėx =E(T (x ))=∫t ∙f T (t )dt ∞
0=T
x l x
表示(x)的平均余寿。

ėx:n|=
L n x
l x
=∫p t x dt n
表示(x)在未来n 年内的平均余寿。

e x =E(K (x ))=∑k
∙q x k| ω−x k=0=
∑l x+k
ω−x k=1l x
表示(x)的整数平均余寿。

e x:n|=
∑l x+k
n k=1l x
=∑k ∙q x k|+n ∙p n x n−1k=0 表示(x)在未来n 年内的整数平均余寿。

例1-5 已知s (x )=
(k 3−x )1
3
k
,0≤x ≤k 3,k >0,ė40=2ė80, 求：ė60。

一般生命表见P455 附表
P13
通过初步观察，可以发现，就表1-2示例生命表而言：
1、死亡率在开始逐年降低，从0岁一直降到7岁，然后才开始岁年龄增加，直到23岁的死亡率还没有0岁的高；
2、在83岁出现的死亡人数最多；
l x
x
3、差不多到80岁，全部人口死亡人数达到半数；
4、全体人口的平均寿命为76.71岁，有超过58%的人将活到77岁；
5、在4岁和15岁之间出现的死亡人数是局部最少的（每年死亡人数都没有超过400人）。

例1-6根据表1-2，做l x,d x,q x的图。

例1-7假设卫东和李扬的死亡率分布相互独立且均服从示例生命表，他们的年龄分别为卫东25岁，李扬30岁。

分别求：他们在65岁至90岁之间死亡的概率。

例1-8根据示例生命表，求：e20:3|
需要说明的是，生命表通常并不是通过观察l0个新生婴儿的生存过程而得到的。

这样工作量大且缺乏时效性。

实务中，是通过若干年内的有关数据先估计隔年龄死亡率q x，然后再由q x 衍生出l x的。

作业 P26 2，3，6
1.3 分数年龄假设
下面对于整数x ，及任意的s ∈(0,1)，在已知l x 和l x+1的前提下讨论l x+s 的值。

线性假设
线性假设也叫均匀分布假设或均匀假设，l x+s =l x −s ∙d x =s ∙l x+1+(1−s )∙l x 。

简称为UDD 假设。

p s x
=l x+s l x =1−s ∙d x
l x
=1−s ∙q x q s x
=1−p s x =s ∙q x
μx+s
=−d
ds l x+s l x+s =d x l x −s ∙d x =q x 1−s ∙q x
f T (s )=p s x ∙μx+s =q x
补例 已知l x =10000(1−
x
100
),x =0,1,⋯,100。

在UDD 假设下，试求q 0.530,μ30.5,q 5.2550。

思考题：设UDD 假设下，试证明ėx =e x +1
2。

指数假设
指数假设又叫对数线性假设或常死力假设，l x+s =l x ∙(p x )s =(l x+1)s ∙(l x )1−s 。

p s x =l x+s
l x
=(p x )s q s x
=1−s p x =1−(p x )s μx+s
=−d
ds l x+s l x+s
=−lnp x 记常死力为μ=−lnp x ，故有p x =e −μ ,p s x =e −μs 。

补例 已知l x =10000(1−x
100),x =0,1,⋯,100。

在常数死力假设下，试求q 0.530,μ30.5,q 5.2550。

双曲假设
双曲假设又叫调和假设或Balducci 假设，1
l
x+s
=s
l
x+1
+
1−s l x。

p s x =
p x
p x +s (1−p x )
q 1−s x+t
=(1−s )∙q x
μ(x +s )=q x
1−(1−s )∙q x
补例 已知l x =10000(1−x
100),x =0,1,⋯,100。

在Balducci 假设下，试求q 0.530,μ30.5,q 5.2550。

阅读P21页，思考三种假设的优缺点，分析下表1-3种三种假设的比较情况。

作业 P27 20，21，22
1.4 一些死亡解析律
人们一直在寻找描述寿命分布的简单规律，历史上先后出现了四种死亡解析律，都是以创建者的名字来命名的。

如下所示：
注：在De Moivre 形式下，死亡年龄X在[0,ω]上服从均与分布
思考题：比较四种死亡解析律下寿命分布规律的异同。

作业 P27 17
1.5 选择和终极表
在保险实务中，要注意到如下事实：一个刚投保的x岁的人，其在一年内死亡的概率比若干年前投保且现年x岁的人在一年内死亡的概率要小，因为他经过了保险人的精心挑选。

选择生命表即基于这一事实，对于相同年龄但投保时间不同的人分别制表。

记l[x]表示被选择的x岁人群的人数，即投保时x岁的投保的人数。

记l[x]+t表示被选择时x岁的人在t年后仍然生存的人数。

通常，随着t的增加，选择的意义将逐渐减小，当t足够大时，选择将失去意义。

这是因为一般情况下，合理的假设是：对于特定的被选择人群，他们在被单独观察一段时间后，剩余仍然存活的人群应该与大众人群无异。

因此可以对他们使用综合生命表。

具有这种性质的生命表叫选择终极表。

我们把这种使选择有意义的时期叫做观察期。

如下表1-6时观察期为4年的选择终极表。

例1-9设选择期为4年，用l x函数表示下面的条件概率：（1）q
2|4[20]+1（2）q
2|4[22]+3。

例1-10已知下面的选择终极生命表：
求：以投保2年的（36）活到40岁的概率。

✧作业 P27 23
✧作业 P26 7，8，11，16，19
第二章 人寿保险的精算现值
学习目标：
熟悉人寿保险的数学模型
熟悉人寿保险现值随机变量及人寿保险精算现值
掌握各种寿险产品趸缴净保费及人寿保险现值随机变量方差的计算方法 了解趸缴净保费的实际意义及递推公式
熟悉利用换算函数计算人寿保险的趸缴净保费
2.1 连续型寿险（死亡即付寿险）
所谓连续型寿险即死亡即付寿险，是指被保险人一旦发生保险责任范围内的死亡，保险人立即给付保险金。

考虑现年x 岁的人投保，在未来T 年后死亡时获赔保险金b T ， v T 为折现函数，则未来给付保险金的现值为Z =b T v T ，为连续型随机变量T 的函数。

在人寿保险中，保险人为了平衡未来T 时刻支付的保险金b T ，在签单时需要收入Z =b T v T ，即b T 的现值。

但这个现值是随机变量，因此只能取其平均值，即数学期望E(Z)。

称E(Z)为未来给付保险金在签单时的精算现值，也成为趸缴纯保费，即一次缴清的纯保费。

同时其方差var(Z)反应保险人承担的风险。

E (Z )=∫b t v t ⋅f T (t )dt ∞
=∫b t v t ⋅p t x ⋅μx+t dt ∞
等额保险
所谓等额保险，指保险利益的金额在保险开始时就已经固定，只是支付的时间不确定而已，支付时间与保险事故发生的时间有关。

1、n 年期定期死亡保险
这种保险指只有被保险人在签单后n 年内死亡，保险人才给付保险金。

假设所给付的保险金为1单位，则
b T ={
1T ≤n
0T >n
通常假设常利率，则有
v T =v T
从而现值随机变量为
Z ={v
T
T ≤n 0
T >n
其数学期望即精算现值，记为
A x:n ̅|
1=E (Z )=∫v t
⋅f T (t )dt n
=∫v t
⋅p t x μx (t )dt n
=∫e −δt ⋅p t x μx (t )dt n
Z 的k 阶原点矩记为
T(x)
x 岁签单 死亡给付保险金b T
k A ̅x:n
̅|1 =E (Z k )=∫(v
t )k
⋅f T (t )dt n
=∫e −kδt ⋅p t x μx (t )dt n
可见，求Z 的k 阶原点矩 k A ̅x:n
̅|1相当于将利息力变为k 倍后求Z 的数学期望A x:n ̅|1@kδ. var (Z )=E (Z 2)−(E (Z ))2= 2A x:n ̅|1−(A x:n
̅|1)2 例2-1 假设利息力δ为常数，死亡力为常数μ，计算发行给(x)的单位保额的五年期定期死亡保险的精算现值A x:5̅|1和方差var(Z)。

补例 设生存函数s (x )=1−
x 100
(0≤x ≤100)，年利率i =0.1，计算（保险金额为1元）：
（1）趸缴纯保费A 30:10̅̅̅̅|1；（2）var(Z)。

作业 P59 2，11
2、终身寿险
对于(x)的连续保额的终身寿险，有
b T =1
通常假设常利率，有
v T =v T
故
Z =v T T ≥0
相应精算现值即趸缴保费为
A x
=E (Z )=∫v t
⋅f T (t )dt ∞
=∫v t
⋅p t x μx (t )dt ∞
=∫e −δt ⋅p t x μx (t )dt ∞
类似n 年期定期死亡保险，Z 的k 阶原点矩记为
k A
̅x =E (Z
k )
=∫(v
t )k
⋅f T (t )dt ∞
=∫e −kδt ⋅p t x μx (t )dt ∞
var (Z )=E (Z 2)−(E (Z ))2
= 2A x −(A x )2
显然，终身寿险是n 年期定期死亡保险的极限情况。

补例 设(x)要投保终身寿险，保险金额为1个单位，签单时其未来寿命T 的概率密度函数为
f T (t )={1
60,0<t <60
0,其他
利息力为δ，在签单时的保险金给付现值随机变量为Z ，试计算：
（1）趸缴纯保费A x ；（2）var(Z)； （3） 满足P (Z ≤ξ0.9)=0.9的ξ0.9。

例2-2 某发行给（70）的终身寿险，若被保险人在90岁之前死亡，死亡给付为5个单位保额，若被保险人在90岁之后死亡，死亡给付为1单位保额，死亡时刻立即给付，已知Z 为该保单的现值随机变量，μ70(t )=0.02(t >0)，δ=0.04。

求：var(Z)。

例2-3 某对（35）发行的终身寿险，死亡发生时给付10单位保额，若该人死亡率服从UDD 假设，ω=100,δ=0.06，Z 为该保险的现值随机变量，求： （1）E(Z)；（2）var(Z)。

例2-4 假设某保险公司的某种5年定期连续型死亡保险有250个同为(x)岁的相互独立的被保险人，假设死亡力为常数μ=0.1，保险利益为100。

假设保险公司要建立一个基金来应付对死亡的支付，该基金利息力为δ=0.05。

未来使该基金有95%的把握在每个被保险人死亡时有充足的资金进行给付，计算在t =0时，该基金的最小量。

3、生存和两全保险
单位保额的n 年期生存保险是指当被保险人在n 年后还生存时，支付1单位保险利益的保险，有
b T ={
0T ≤n
1T >n
通常假设常利率，则有
v T =v n
从而现值随机变量为
Z ={0T ≤n
v
n
T >n 其数学期望即精算现值，记为
A x:n
̅| 1=E (Z )=v n Pr {T (x )≥n }=v n ⋅p n
x var (Z )=E (Z 2)−(E (Z ))2
= 2A x:n ̅| 1−(A x:n ̅| 1)2
=v 2n
⋅p n x −(v n ⋅p n x )2=v 2n ⋅p n x ⋅q n x 注意到A x:n
̅| 1=v n ⋅p n x 是被保险人在n 年后还活着的前提下得到的1元钱的现值，显然，该现值既考虑到时间的因素，有考虑到死亡率的因素。

称之为n 年期精算贴现因子，并且记为
E n x 。

1
E x
n 为n 年期精算累计因子。

补例 某人留有遗嘱，其儿子年满21岁时可获得5万元遗产，若其子现年12岁，求其子所的遗产的现值。

（已知i =0.06,p 912=0.9）
单位保额的n 年期两全保险是指无论被保险人在n 年后还生存时还是在n 年内死亡时都给被保险人支付1单位保险利益的保险，有
b T =1
v T ={v T
T ≤n v
n
T >n 从而现值随机变量为
Z ={v T
T ≤n v
n
T >n
其数学期望即精算现值，记为
A x:n ̅| =E (Z )=A x:n ̅|1 +A x:n
̅| 1
思考：独立思考，两全保险现值方差。

P35
例2-5 假设某地区新生婴儿的寿命随机变量在（0,100）上服从均匀分布。

对（25）的人，在利息力δt =0.06的情况下，计算发行给该人的40年期1000元保额的两全保险现值随机变量的精算现值和方差。

244.40 54306.997
例2-6 假设死亡力μ=0.04，利息力δ=0.06均为常数。

分别求连续型单位保险利益的30年期定期死亡保险、定期生存保险和两全保险的现值随机变量的精算现值和方差。

0.38 0.1034778 0.049787 0.05751 0.42988 0.0713822
4、延期保险
m年延期保险指对被保险人在m年后的死亡提供保障，换句话说，在m年内被保险人死亡将得不到保险赔付。

例如，连续型单位保额m年延期终身寿险，有
b T={1T>m
0T≤m
v T=v T
从而现值随机变量为
Z={v T T>m
0T≤m
其精算现值，记为
m|A x=∫v t⋅f T(t)dt
∞
m
=∫v t⋅p t xμx(t)dt
∞
m
例2-7假设某地区新生婴儿的寿命随机变量在（0,100）上服从均匀分布。

对（25）的人，在利息力δt=0.06的情况下，发行给该人的一份连续型1000元保额的延期10年期终身寿险，求保险利益现值随机变量的：
（1）数学期望；（2）方差；（3）分布函数；（4）第95个百分点ξZ0.95。

✧作业 P60 9，15
变额保险
变额保险，顾名思义，是指保险利益不是常数，而是随着死亡发生的时间不同而不同的保险。

1、递增保额保险
如果第1年内死亡，在死亡时刻支付1，第2年内死亡，在死亡时刻支付2，如此类推，即
b T=[T+1]
v T=v T
从而现值随机变量为
Z=[T+1]v T
其数学期望即精算现值，记为
(IA)x=E(Z)=∫[t+1]v t⋅p t x μx(t)dt
∞
0=∑∫(k+1)v t⋅p t xμx(t)dt k+1
k
∞
k=0
保险利益也可以按其他方式增加，如一年增加m次的终身寿险，其保额在第一个1/m年内为1/m，在第二个1/m年内为2/m，依此类推，即
b T=[Tm+1]/m
v T=v T
从而现值随机变量为
Z=[Tm+1]v T/m
其数学期望即精算现值，记为
(I (m)A )x =E (Z )=∫
[
tm +1]m v t ⋅p t x μx (t )dt ∞0
=∑∫(k +1)m v t ⋅p t
x μx (t )dt (k+1)/m k/m
∞
k=0
这种情况当m →∞，就变成了
b T =T
v T =v T
从而现值随机变量为
Z =Tv T
其数学期望即精算现值，记为
(I A )x =E (Z )=∫tv t ⋅p t x μx (t )dt ∞
类似的可以讨论其他险种。

2、递减保额保险
如果第1年内死亡，在死亡时刻支付n ，第2年内死亡，在死亡时刻支付n −1，如此类推，在第n 年内死亡，在死亡时刻支付1，在第n 年末终止保险，即
b T ={
n −[T]T ≤n
0T >n
v T =v T
从而现值随机变量为
z ={v T (n −[T])T ≤n 0T >n
其数学期望即精算现值，记为
(DA )x:n|
̅̅̅1=E (Z )=∫(n −[t ])v t
⋅
p t
x μx (t )dt
n
0=∑∫
(n −k )v t ⋅p t x μx (t )dt k+1
k
n−1
k=0
可以类似的讨论保险利益按其他方式递减的保险。

例2-8 假设(x)的死亡力为常数μ，利息力为常数δ，分别求：
（1）(IA )x ；（2）(DA )x:n|
̅̅̅1；（3）(I (m)A )x 。

几种主要的连续型保险的精算现值总结见P40 作业 P59 3，10，16 微分方程
d
dx A x
=δA x −μ(x)(1−A x ) 2.2 离散型保险
连续型保险更接近实际情况，但连续型保险的计算要求已知确切的死亡率分布，而实际中可用的工具可能只有生命表或只有一些离散点的数据，因此，对于离散型保险的讨论就显得很有必要。

所谓离散型保险，指保险利益在保险事故出现后并不立即支付，而是等到一段时间后再支付，我们这里讨论的是保险利益在保险事故出现所在期的期末支付的情况。

注意到，常用
的期为年，所以这种保险有时又被称为死亡年度末支付保险。

考虑现年x 岁的人投保，在未来T 年后死亡，在第K +1年末获赔保险金b K+1， v K+1为折现函数，则未来给付保险金的现值为Z =b K+1v K+1，为离散型随机变量K +1的函数。

等额保险
1、n 年期定期死亡保险
在死亡年末支付1的n 年期定期保险
b K+1={
1K <n
0K ≥n
v K+1=v K+1
现值随机变量为
Z ={v K+1K <n 0
K ≥n
其数学期望即精算现值，记为
A x:n
̅|1=E (Z )=∑v k+1
⋅Pr (K =k)n−1
k=0
=∑v k+1⋅p k x q x+k n−1
k=0
上式两边同乘以l x ，
l x A x:n
̅|1=l x ∑v k+1
⋅p k x q x+k n−1
k=0
=∑v k+1 d x+k n−1
k=0
上式表明，保险公司在卖出l x 份保险后收到的纯保费，等于在接下来n 年内预期支付的保险
赔付限制。

2A x:n
̅|1=E (Z 2)=∑v 2k+2
⋅p k x q x+k n−1
k=0
=∑e −2δ(k+1)⋅p k x q x+k n−1
k=0
var (Z )=2A x:n
̅|1−(A x:n ̅|1
)2
另外，易得如下递推式
A x:n
̅|1=vq x +vp x A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1 如上，一份n 年期定期保险，可以拆成两份保险之和，它们分别是，一年期的定期保险和在
一年后的n −1年期定期保险，因为一年后的n −1年期定期保险只有在被保险人生存的情况下才有意义，所以，其价值为一年后的A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1在现在的精算现值。

上式两边同乘以l x (1+i)，得
l x A x:n
̅|1 (1+i )=d x +l x+1 A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1=l x A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1+d x (1−A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1
) A x:n
̅|1 (1+i )=A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1+q x (1−A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1
) A x:n
̅|1 =∑v k
n
k=1
q x+k−1 (1−A x+k:n−k ̅̅̅̅̅̅|1) 解释见P44，称q x (1−A x+1:n−1̅̅̅̅̅̅|1)为该n 年期定期保险在第一年的年度花费，而保险的精算现值其实就是保险期限内各年度预期的年度花费的现值。

例2-9 假设i =4%，利用示例生命表（2000-2003非养老保险生命表CL1），计算20岁被保险人的1000单位保险利益的三年期定期死亡保险的精算现值。

例2-10 Z 1为(80)的10年定期死亡保险现值随机变量，Z 2为(81)的9年定期死亡保险现值随机变量，死亡给付均发生在死亡年末。

已知：q 80=0.1,i =0.04,E (Z 1)=0.5,Var (Z 1)=0.2，计算Var(Z 2)。

作业 P59 5，7
2、终身寿险
令n 年期定期保险中n →∞，即得终身寿险
b K+1=1 v K+1=v K+1 Z =v K+1
A x =E (Z )=∑v k+1⋅p k x q x+k ∞
k=0
l x A x =∑v k+1 d x+k ∞
k=0
例2-11 假设Pr (K =k )=0.06(0.94)k ,k =0,1,2,⋯，利率为常数4%，求： （1）A x ；（2）Var(v k+1)；（3）Pr (v k+1>A x )。

例2-12 有500位40岁的人共同出资建立一个基金。

该基金在每个成员死亡的年度末支付1000元给死者的指定受益人，按照示例生命表P9和4%的利率来计算终身寿险的精算现值，并按照计算结果确定他们存入基金的金额。

前5年这群人的实际死亡情况是：第一年死亡2人，第二年死亡2人，第三年死亡3人，第四年死亡3人，第5年死亡3人。

基金的实际投资收益情况是第一年利率为5%，第二年和第三年均为6%，第四年和第五年均为7%。

求： （1）在第五年末，基金预期的余额； （2）在第五年末，基金实际的余额。

类似n 年期定期保险可以得到如下关系：
A x =vq x +vp x A x+1
l x (1+i )A x =d x +l x+1A x+1=l x A x+1+d x (1−A x+1)
(1+i )A x =A x+1+q x (1−A x+1)
A x =∑v k q x+k−1(1−A x+k )∞
k=1
A x =A x:n
̅|1+E n
x A x+n 3、两全保险
考虑n 年期两全保险。

这种保险是n 年期定期保险和n 年期生存保险的组合，有
b K+1=1
v K+1={v K+1
K ≤n −1v n
K ≥n Z ={v K+1
K ≤n −1v
n
K ≥n
其数学期望即精算现值，记为
A x:n ̅| =E (Z )=∑v k+1
⋅p k x q x+k n−1
k=0
+v n p n x =A x:n
̅|1+A x:n ̅| 1
例2-13 已知某(35)的寿命服从de Moivre 律，ω=100,i =0.05，Z 为对其发行的20年定期两全寿险的现值随机变量，计算Z 的期望和方差。

4、延期保险
对于离散型m 年延期终身寿险保险，
b K+1={
1K ≥m
0K ≤m −1
v K+1=v K+1
现值随机变量为
Z ={v K+1K ≥m 0
K ≤m −1
其数学期望即精算现值，记为
A m| x
=E (Z )=∑v k+1⋅p k x q x+k ∞
k=m
=
E m
x A x+m
故有
A x =A x:n|
̅̅̅1+A n|
x 例2-14 假设利率i =4%，利用示例生命表，求：
（1）A 35；（2）A 35:30̅̅̅̅|1；（3）A 35:30̅̅̅̅| ；（4） 30A 35。

思考题：还可以讨论在死亡所在的1/m 年度末支付的保险。

变额保险
1、增额终身寿险
考虑在第k +1年末提供k +1单位死亡保额的年度单增终身寿险，
b K+1=K +1 v K+1=v K+1 Z =(K +1)v K+1
(IA)x =E (Z )=∑(k +1)v k+1⋅p k x q x+k ∞
k=0
(IA )x:n
̅|1=∑(k +1)v k+1⋅p k x q x+k n−1
k=0
2、减额定期寿险
考虑在n 年内，在第k +1年末提供n −k 单位死亡保额的年度减少定期寿险，
b K+1={
n −K
K ≤n −1
0K ≥n
v K+1=v K+1
Z ={
(n −K )v K+1
K ≤n −10
K ≥n
(DA )x:n ̅|1=∑(n −k)v k+1⋅p k x q x+k n−1
k=0
=∑A x:n−j
̅̅̅̅̅̅|1n−1
j=0
几种主要的离散型保险的精算现值公式见P52 ✧ 作业 P61 13，14，18
2.3 连续型保险与离散型保险之间的关系
前面两节的讨论表明，离散型保险的趸缴纯保费的计算要容易和简便很多，可编制如P467的终身寿险精算现值表，而实务中使用的是连续型保险，因而寻找连续型保险与离散型保险之间的关系是有意义的。

假设死亡于各年龄内是均匀分布（UDD 假设）下，有
A x =∫v t f T (t )dt ∞
0=∑∫
v t
⋅
p t
x μx+t dt
k+1
k
∞
k=0=∑∫v k+s p k x ⋅p s x+k μx+k+s ds 1
∞
k=0
在UDD 假设下，p s x+k μx+k+s =q x+k ，故有
A x =
∑v k+1p k x ∞
k=0
⋅q x+k ∫v s−1ds 1
=
i δA x
同理，在UDD 假设下，我们可得
A x:n ̅|1=i δA x:n ̅|1
m|A x:n ̅|1=i
δ m|A x:n ̅|1 (IA )x =i
δ(IA)x (IA )x:n ̅|1=i
δ(IA)x:n ̅|1 (DA )x:n
̅|1=i
δ
(DA)x:n ̅|1 注意：
A x:n ̅| =
i δ
A x:n ̅|1
+A x:n ̅| 1
例2-17 对（45）男性发行的2年期连续型两全保险，死亡保额为1000元。

利用示例生命表、年内均匀分布假设和i =5%，计算该保险的精算现值。

例2-18 对于（50）的连续型5年期年度递减保险，其第一年的死亡保额为5000，第二年为4000，如此等等，利用示例生命表、均匀分布假设和i =4%，计算该保险的精算现值。

探究问题：在指数假设或双曲假设下讨论连续型保险和离散型保险的关系。

✧ 作业 P61 19
2.4 换算函数
实务中，常用换算函数来计算人寿保险趸缴纯保费。

注意到，
A x =∑v k+1⋅p k x q x+k ∞
k=0。