安徽省合肥市一六八中学高三数学适应性训练 理 新人教版

安徽省合肥市一六八中学2009届高三适应性训练数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{4,5,6},{1,2,3}P Q ==，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合
P Q ⊕的所有真子集的个数为（ ）
A.32
B.31
C.30
D.以上都不对 2. 如果复数
i
bi
212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．2 B ．
32 C ．3
2
- D ．2 3. 对任意x R ∈，2|2||3|4x x a a -++≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A.[1,5]-
B.(1,5]-
C.[1,5)-
D.(1,5)-
4. 已知两个不同的平面,αβ和两条不重合的直线,m n ，有下列四个命题：①若
//,m n m α⊥，则n α⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；③若,//,m m n n αβ⊥⊂，
则αβ⊥；④若//,m n αα
β=，则//m n ；其中不正确的命题的个数为（ ）
A.0
B. 1
C. 2
D. 3
5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体
积是
A ．31
3
cm
B ．323cm
C ．343cm
D ．383
cm
6. 要得到函数sin(
2)3
y x π
=-的图像，只需将函数cos 2y x =的图像（ ）
A.向右平移
6
π个单位 B. 向右平移12π个单位
C. 向左平移
6
π个单位 D. 向左平移12π
个单位
7. 已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=，若命题
“p q ∧” 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2a ≤-或1a = B. 2a ≤-或12a ≤≤ C. 1a ≥ D. 21a -≤≤
8. 椭圆
22
11612
x y +=的长轴为12A A ，短轴为12B B ，将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得1A 点在平面122B A B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ） A.30 B.45 C.60 D.75
9. 在区间)1,0(上任取两个数，则两个数之和小于
5
6
的概率为（ ） A.
2512 B. 2518 C. 2516 D. 25
17 10. 右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（ ）
A ．
12 B. 23 C.34 D. 45
11. 设函数()
f x =
，类比课本推导等差数列的前 n 项和公式的推导方法计算(4)(3)...(0)(1)...(4)(5)f f f f f f -+-++++++的值为（ ）
A ．
2 B. 22 D. 2
12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果
124x x +<，且()()12220x x --<，则()()12f x f x +的值为（ ）
A ．恒小于0 B. 恒大于0 C.可能为0 D.可正可负
第Ⅱ卷（共90分）
二. 填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13.已知直线l 的极坐标方程为c o s s i n ρθθ+
=（），圆C 的参数方程为
12c o s 12s i n x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
（为参数），若以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，则直线被圆截得的弦
长为 .
14.设
(sin cos )a x x dx π
=
+⎰
，则二项式6
(展开式中含2x 项的系数是 . 15.设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且
120PF PF ⋅=，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ．
16.给出下列四个命题中：
①命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；
②“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆222
20(
4
0)x y D x E y F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为
1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；
④关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是 .
三. 解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，C B A 、、 的对边分别是c b a 、、，且满足C b B c a cos cos )2(=-. （1）求B 的大小；
（2）设m )2cos ,(sin A A =，n )1,4(k =)1(>k ，且m ·n 的最大值是5，求k 的值.
18.（本小题满分12分）
有编号为n ,,3,2,1 的n 个学生，入坐编号为n ,,3,2,1 的n 个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知2=ξ时，共有6种坐法． （Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）
一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：P
1
D
C
B
A
C
B P
A B
2
1
1
（Ⅰ）求三棱锥A-PDC 的体积；
（Ⅱ）试在PB 上求点M ，使得CM ∥平面PDA ；
(Ⅲ) 在BC 边上是否存在点Q ，使得二面角A-PD-Q 为120？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．
20（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构
成等边三角形. （1）求椭圆的方程；
（2）过点Q （－1，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x=－4于点E ，点Q 分 所
C
成比为λ，点E 分AB 所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数2
()s i n 2(),()
()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+，且对于任意实数x ，恒有
(5)(5)F x F x -=-。

（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调，求实数a 的取值范围； （3）函数2
1
()ln(1)()2
h x x f x k =+--有几个零点？
22.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 中，2
11111,(,2)n n n n n a a a a a a n N n +--+==+∈≥，且1
1.n n
a kn a +=+ （1）求证：1k =；
（2）设
1
()
(1)!
n
n
a x
g x
n
-
=
-
，()
f x是数列{()}
g x的前n项和，求()
f x的解析式；
（3）求证：不等式
3
(2)(3)
f g
n
<对于n N
+
∈恒成立。

高三数学理科适应性训练试题答案及评分标准
一、选择题:1.B; 2.C;3.A;4.B;5.C;6.D;7.A;8.C; 9.D;10.C; 11.B;12.A 二、填空题：
13. ； 14. -192 ;
15. 16. ①③④. 三、解答题
17．（1） C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ， 即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=……………………..3分
.sin cos sin 2,A B A C B A =∴=++π 0sin 0≠∴<<A A π . 2
1cos =
∴B . 3
0π
π=
∴<<B B …………………………………………………………….6分
（2）m·n=)3
2,0(,1sin 4sin 22cos sin 42
π
∈++-=+A A k A A A k ，…..8分 设,sin t A =则]1,0(∈t .
则m·n=,21)(2142222k k t kt t ++--=++-]1,0(∈t ……………………….10分
1,1=∴>t k 时，m·n 取最大值.
依题意得，(m·n)max =2
3
,5142=
∴=++-k k …………………………………12分 18．解：（Ⅰ） 当2=ξ时，有2
n C 种坐法， …………………………2分
62
=∴n C ，即
62
)
1(=-n n ， 0122=--n n ，4=n 或3-=n （舍去）． 4=∴n ． ……………………4分 （Ⅱ）ξ 的可能取值是4,3,2,0，
又 ()241
1044===A P ξ， ()41246124
424==⨯==A C P ξ， ()31248234
4
3
4==⨯==A C P ξ，()83
2494===ξP ，………………………8分
ξ∴的概率分布列为：
…………………10分
则38
3
43134122410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………12分
19. （Ⅰ）由三视图可知：PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，PB=BC=CD=1，AB=2，∴111
11326
A PCD P CDA V V --==⨯⨯⨯= . …………3分
（Ⅱ）当M 为PB 的中点时，CM ∥平面PDA . 取PA 中点N ，连结MN ，DN ，可证MN ∥
CD ，且MN ＝CD ，∴CM ∥DN ，故CM ∥平面PDA . …………6分
（Ⅲ）分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,1B A D P . 假设在BC 边上存在点Q ，使得二面角A-PD-Q 为120，设(,0,0)[0,1]Q x x ∈，，平面PDQ 的法向量为1111(,,)n x y z =，则由110 0n DQ n PQ ⋅=⋅=，
，及(1,1,0),(1,1,1)DQ x PD =--=-，得11111(1)00
x x y x y z --=⎧⎨
+-=⎩，11z =令，得111
(,1,1)n x x =-. 同理，设平面PDA 的法向量为2222(,,)n x y z =，可得2(1,1,2)n =；∴121212
cos ,n n n n n n
⋅=
⋅
1
2==-=
cos120，解得12x =，∴1(,0,0)2
Q ，故存在点Q 为BC 的中点，使二面角A-PD-Q 为120.………12分
20．解：（1）由条件得2
22112b a a b b a
⎧=⎧=⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎩
，所以方程2214x y += ………3分 （2）易知直线l 斜率存在，令11220:(1),(,),(,),(4,)l y k x A x y B x y E y =+- 由2222222
(1)(14)84404816014
y k x k x k x k k x y =+⎧⎪⇒+++-=∆=+>⎨+=⎪⎩
22121222
844
,1414k k x x x x k k -+=-=++
…………………6分 由12112212
(1)(1)
(1,)(1,)x x AQ QB x y x y y y λλλλ-+=+⎧=⇒---=+⎨=-⎩即
得121
1
x x λ+=-
+ …………………8分 由111012200120(4)(4)
(4,)(4,)()x x AE EB x y y x y y y y y y μμμμ-+=+⎧=⇒---=+-⎨-=-⎩即
得124
4x x μ+=-+
…………………10分
121212
122222(1)(4)(4)(1)25()8
(1)(4)(1)(4)
x x x x x x x x x x x x λμ++++++++∴+=-
=-++++ 将22121222
844,1414k k x x x x k k
-+=-=++代入 有22222
222
22228840884083281414140(1)(4)(1)(4)k k k k k k k k x x x x λμ---++-++++∴+=-
=-=++++
……………12分 21.（1）由题设得2()sin F x x b x =+， (5)(5)F x F x -=-，则()()F x F x ∴-=，
所以2
2
sin sin x b x x b x -=+……………………………………………………2分 所以sin 0b x =对于任意实数x 恒成立
0=∴b .故2)(2-=x x f …………………………………………………………..3分
（2）由x a x x x a x x f x g ln 2ln )1(2)()(2
++=+++=，求导数得
)0(22)('>+
+=x x a
x x g ，)(x g 在)1,0(上恒单调，只需0)('≥x g 或0)('≤x g 在)1,0(上恒成立，即0222≥++a x x 或0222≤++a x x 恒成立，所以)22(2
x x a +-≥或)22(2x x a +-≤在)1,0(上恒成立…………………………………………………6分 记10),22()(2
<<+-=x x x x u ，可知：0)(4<<-x u ，
0≥∴a 或4-≤a ………………………………………………………………….8分
（3）令)(21)1
l n (2
x f x y -+=，则22'1)
1()1(12x x x x x x x y +-+-=-+=. 令0'=y ，则1,0,1-=x ，列表如下.
>∴k 22ln +
时，无零点；1<k 或=k 22ln +时，有两个零点；1=k 时有三个零点；21
2ln 1+<<k 时，有四个零点…………………………………………………………12分
22.（1）11+=+kn a a n n ，∴121
2+==k a a a
………………………………….1分
又因为)2*,(,12
1111≥∈+==--+n N n a a a a a a n n n n n ，则2
21213a a a a a +=，即22
3
1a a a +=，又
122
3
+=k a a ，k a 22=∴，1=k …………………………………….4分
（2）
11+=+n a a n n ，!12)1(11
2211n n n a a a
a a a a a n n n n n =⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- …….5分 因为11
)!
1()(--=-=n n n nx n x a x g ，所以
当1=x 时，2
)
1(321)1(+=
++++=n n n f 当1≠x 时，12321)(-++++=n nx x x x f ，①
n nx x x x x xf ++++=
∴ 3232)(，②
①-②：n n
n
n nx x
x nx x
x x x f x ---=-++++=--111)()1(1
2
，……………8分
x nx x x x f n n ----=∴1)1(1)(2.综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=1,1)1(11,2
)
1()(2
x x
nx x x x n n x f n n ……………9分 （3）12)1(2
12)21(21)2(2
+-=----=n n
n n n f ，…………………………………..10分 又
n g n
3)3(3
=，易验证当3,2,1=n 时不等式成立；…………………………………11分 假设)3(≥=k k n ，不等式成立，即12)1(3+->k k k ，两边乘以3得
222)1(31232)1(3311+--++⋅=+->++k k k k k k k k k
又因为022)3(2)233(2222)1(31
>+-=+--=+--+k k k k
k k k k k
所以12222)1(3123111
+⋅>+--++⋅>+++k k k k k k k k k
即1+=k n 时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14分
20．解：（1）由条件得2
22112b a a b b a
⎧=⎧=⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎩
，所以方程2214x y += ………3分 （2）易知直线l 斜率存在，令11220:(1),(,),(,),(4,)l y k x A x y B x y E y =+- 由2222222
(1)(14)84404816014
y k x k x k x k k x y =+⎧⎪⇒+++-=∆=+>⎨+=⎪⎩
22121222
844
,1414k k x x x x k k -+=-=++
…………………6分 由12112212
(1)(1)
(1,)(1,)x x AQ QB x y x y y y λλλλ-+=+⎧=⇒---=+⎨=-⎩即
得121
1
x x λ+=-
+ …………………8分
由111012200120(4)(4)
(4,)(4,)()x x AE EB x y y x y y y y y y μμμμ-+=+⎧=⇒---=+-⎨-=-⎩即
得124
4x x μ+=-+
…………………10分
121212
122222(1)(4)(4)(1)25()8
(1)(4)(1)(4)
x x x x x x x x x x x x λμ++++++++∴+=-
=-++++ 将22121222
844,1414k k x x x x k k -+=-=++代入
有22222
222
22228840884083281414140(1)(4)(1)(4)k k k k k k k k x x x x λμ---++-++++∴+=-
=-=++++
……………12分 21.（1）由题设得2()sin F x x b x =+， (5)(5)F x F x -=-，则()()F x F x ∴-=，
所以2
2
sin sin x b x x b x -=+……………………………………………………2分 所以sin 0b x =对于任意实数x 恒成立
0=∴b .故2)(2-=x x f …………………………………………………………..3分
（2）由x a x x x a x x f x g ln 2ln )1(2)()(2++=+++=，求导数得
)0(22)('>+
+=x x a
x x g ，)(x g 在)1,0(上恒单调，只需0)('≥x g 或0)('≤x g 在)1,0(上恒成立，即0222≥++a x x 或0222
≤++a x x 恒成立，所以)22(2x x a +-≥或)22(2x x a +-≤在)1,0(上恒成立…………………………………………………6分 记10),22()(2
<<+-=x x x x u ，可知：0)(4<<-x u ，
0≥∴a 或4-≤a ………………………………………………………………….8分
（3）令)(21)1
l n (2
x f x y -+=，则22'1)
1()1(12x x x x x x x y +-+-=-+=. 令0'=y ，则1,0,1-=x ，列表如下.
>∴k 22ln +
时，无零点；1<k 或=k 22ln +时，有两个零点；1=k 时有三个零点；2
1
2ln 1+<<k 时，有四个零点…………………………………………………………12分
22.（1）11+=+kn a a n n
，∴121
2+==k a a a
………………………………….1分
又因为)2*,(,121111≥∈+==--+n N n a a a a a a n n n n n ，则2
21213a a a a a +=，即22
3
1a a a +=，又
122
3
+=k a a ，k a 22=∴，1=k …………………………………….4分 （2）
11+=+n a a n n ，!12)1(11
2211n n n a a a
a a a a a n n n n n =⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- …….5分 因为11
)!
1()(--=-=n n n nx n x a x g ，所以
当1=x 时，2
)
1(321)1(+=
++++=n n n f 当1≠x 时，12321)(-++++=n nx x x x f ，①
n nx x x x x xf ++++=
∴ 3232)(，②
①-②：n n
n
n nx x
x nx x
x x x f x ---=-++++=--111)()1(1
2
，……………8分
x nx x x x f n n --
--=∴1)1(1)(2.综上所述，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠----=+=1,1)1(11,2
)
1()(2x x nx x x x n n x f n n ……………9分 （3）12)1(2
12)21(21)2(2
+-=----=n n
n n n f ，…………………………………..10分 又
n g n
3)3(3
=，易验证当3,2,1=n 时不等式成立；…………………………………11分 假设)3(≥=k k n ，不等式成立，即12)1(3+->k
k k ，两边乘以3得
222)1(31232)1(3311+--++⋅=+->++k k k k k k k k k
又因为022)3(2)233(2222)1(31>+-=+--=+--+k k k k k k k k k 所以12222)1(3123111
+⋅>+--++⋅>+++k k k k k k k k k
即1+=k n 时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………………..14分。