泰勒公式与泰勒级数的若干应用

泰勒公式与泰勒级数的若干应用
摘要：泰勒公式与泰勒级数是数学分析中非常重要的数学工具，它是处理高阶导问题的一个有效的武器，其应用十分广泛. 本文首先介绍了泰勒公式与泰勒级数的相关内容，包括两种余项的泰勒公式及一些常见函数的幂级数展开式；然后介绍了泰勒公式与泰勒级数的应用，包括求极限、证明不等式、近似计算、求级数的和、判断或证明级数的敛散性、行列式的计算等，并通过实例说明其在每一个方面上的应用.
关键词： 带有佩亚诺余项的泰勒公式 带有拉格朗日余项的泰勒公式 泰勒级数 应用
Taylor formula and Some Applications of Taylor Series
Abstract : The Taylor formula and the Taylor series of mathematical analysis is very important
mathematical tool to deal with the problem of a higher derivative effective weapon, which is widely used. This paper introduces the Taylor formula with the Taylor series of related content includes two more than the Taylor formula and some of the common functions of power series expansion; then introduced the Taylor formula with the Taylor series of applications, including seeking the limit to prove that inequality, approximate calculation, find the series and to determine or prove convergence and divergence of series ，the calculation of the determinant ，and through example on every aspect of its application.
Key words : with the remainder of the Taylor formula Peano with Lagrange remainder of the
Taylor formula Taylor series application
若函数f 在点0x 可导，则有()()()()()0000x x o x x x f x f x f -+-'+=，其误差为
()0x x -的高阶无穷小量，然而在很多实际问题中仅取一次多项式逼近是不够的，有
时需要用二次或高于二次的多项式逼近，并要求误差为()()n
x x o 0-.于是泰勒公式与
泰勒级数就体现出了它们的优势，用收敛的泰勒级数或泰勒公式刻画函数，可以使各种不同类型的函数都统一为同一结构的幂函数之和.泰勒公式与泰勒级数是利用高阶导数研究函数的一个重要手段，具有重要的应用价值，本文主要介绍了泰勒公式与泰勒级数在求极限、证明不等式、近似计算、求级数的和、判断级数敛散性、计算行列式等方面的应用,特别是其在行列式计算方面的应用，可以说是分析与代数的一个有很好的结合点.巧妙合理的利用泰勒公式及泰勒级数,可以解决一些较难解决的高阶导问题，泰勒公式与泰勒级数的应用远不止本文所介绍的这些，其在其他方面的应用有待于我们进一步地研究和探讨.
1.泰勒公式与泰勒级数
1.1泰勒公式
1.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式
定理1[]8 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有()()()()n
n x x o x T x f 0-+=，即
()()()()()()
()
()
()()()
.!
!20002
00000n
n
n x x o x x n x f
x x x f x x x f x f x f -+-+
+-''+
-'+=
当00=x 时，()()()()()
()
()n
n
n x
o x n f
x f x f f x f ++
+''+'+=!
0!
20002
，称为（带有佩亚
诺余项的）麦克劳林公式
1.1.2带有拉格朗日余项的泰勒公式
定理2[]8 (泰勒定理)若函数f 在][b a ,上存在直到n 阶的连续导数,在)(b a ,内存在()1+n 阶导函数,则对任意给定的][b a x x ,,0∈,至少存在一点)(b a ,∈ξ,使得
()()()()()()()
()
()
n
n x x n x f
x x x f x x x f x f x f 002
00000!
!
2-
+
+-
''+
-'+= ()
()()()
1
01!
1++-
++
n n x x n f
ξ
当00=x 时,得到泰勒公式
()()()()()
()
()
()()1
12
!
1!
0!
2000++++
+
+''+
'+=n n n
n x n x f
x n f
x f x f f x f θ ()10<<θ
称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.
1.2泰勒级数
泰勒公式与泰勒级数的不同之处是泰勒公式加上相应的拉格朗日余项或佩亚诺余项，而泰勒级数不需要写出其余项.
定理3[]9 设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在区间()r x r x +-00,内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式r x x <-0的x ，有
()0
lim
=∞
→x R n n
这里()x R n 是f 在0x 的泰勒公式余项.
如果f 能在0x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,则称函数f 在0x 的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式
()()()()()()
()
()
() +-+
+-''+
-'+=n
n x x n x f
x x x f x x x f x f x f 002
00000!
!
2
的右边为f 在0x x =处的泰勒展开式,或称幂级数展开式.
特别地00=x 时,()()()()
++
+''+
'+
n
n
x n f
x f x f f !
0!
20!
1002
称为麦克劳林级数.
1.3一些简单的初等函数的幂级数展开式
下面我们给出一些简单的初等函数的麦克劳林展开式,熟悉这些展开式对我们以后的解题是很有帮助的.
++
++
+
=!
!
21!
1112
n x
x x e n
x
()+∞∞-∈,x .
()
() +--+++
-
=-+!
121!5!3sin 1
21
5
3
n x
x
x
x x n n ()+∞∞-∈,x .
()
() +-+++
-
=!
21!
4!
21cos 24
2
n x
x
x
x n
n
()+∞∞-∈,x .
()()
+-++-
+
-
=+-n
x
x
x
x
x x n
n 1
4
3
2
14
3
2
1ln ](1,1-∈x .
() +-+++-=+n
n
x x x x
11112
](1,1-∈x .
()()
()()
++--+
+-+
+=+n
x n n x x x !
11!
21112
ααααααα
)(1,1-∈x .
上面简单介绍了泰勒公式与泰勒级数的相关内容，下面来从以下几个方面讨论一下它们的应用.
2.泰勒公式与泰勒级数的应用
2.1在求极限方面的应用
有些不定式极限不容易用定义直接求出，用洛必达法则求解又比较繁琐，但若用泰勒公式就比较容易了.当用泰勒公式求极限时，求解过程就会变的很简单.下面将给
出两个用泰勒公式求极限的经典例子.
例1 求()[]
x x x x
e x
x -+--
→1ln cos 2
2
2
lim
的值.
分析:这是“0
0”型的不定式,用洛比达法则比较麻烦，依题意可将分子分母展开
成带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，把分子分母的各因子展开合并后均保留最低次幂、次项，其余项用高阶无穷小表示.
解:由于 ()()4
4
2
4
2
22
2
8
2
1!222
12
x
o x
x
x o x x
e
x
++
-
=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-
=-
()4
4
2
!
42
1cos x
o x
x
x ++
-
=
()()()()2
2
2
2
2
12
1ln x
o x
x x
o x x x +--=+--
-=-
故
()[]
()
()
()
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+--⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++--++-=
-+-→-
→22244
244
2
2
2
21!42182131ln 3cos lim
lim
2
x o x x x x x o x x x o x
x
x x x x
e
x x
x
()
()
6
12
112
4
4
4
4
lim
-
=+-
+=
→x
o x x
o x
x .
对于0→x 时的“
0”型不定式,若用洛比达法则比较麻烦,可考虑用麦克劳林公
式.在解题过程中需要注意以下两点：
()1如果分母（或分子）是n 阶时，就将分子（或分母）展开为n 阶麦克劳林公式. ()2如果分子、分母都需要展开，则分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的
首个非零项的次幂的次数
下面看一下用泰勒公式求抽象函数极限的例子.
例2 设()x f 在点0x 处可导，{}{}n n βα,为趋于零的正数列，求极限
()()
n
n n n n x f x f βαβα+--+∞
→00lim
.
分析:此类极限的结果往往与函数()x f 在0x x =处的导数有关，应用()x f 在
0x x =处带有peano
余项的一阶泰勒公式将分子展开，并利用无穷小量的相关性质即
可获解.
解:由定理1 可得 ()()()()()0000x x o x x x f x f x f -+-'+= 令n x x α+=0 得
()()()()n n n o x f x f x f ααα+'+=+000 令n x x β-=0 得
()()()()n n n o x f x f x f βββ+'-=-000 于是()()
()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++++'=
+--+∞
→∞
→n n n n n n n n
n n n n o o x f x f x f βαββααβαβα000lim
lim
因为 当∞→n 时，{}{}n n βα,是趋于零的正数列，故 10<+<n
n n βαα
再由无穷小量乘以有界量仍为无穷小量知
()
()
0lim
lim
=+⋅
=
+∞
→∞
→n
n n n
n n n
n n n o o βααααβαα
同理()
0lim
=+∞
→n
n n n o βαβ，于是()()
()000lim
x f x f x f n
n n n n '=+--+∞
→βαβα
此例中的函数f 是一个抽象函数并未给出具体的函数表达式,故用定义求解或用洛必达法则都是行不通的，只能考虑用泰勒公式将其展开.很多时候用泰勒公式求解可省时省力，起到意想不到的效果.由这两个例子可以看出泰勒公式与泰勒级数在求极限方面的优越性.
2.2在不等式证明方面的应用
不等式的证明比较难，关键是找到一个突破口,泰勒公式和泰勒级数有时就是我们证明不等式的突破口.应用泰勒公式与泰勒级数证明不等式的一般步骤是:
()1写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式； ()2选择等式两边的x 与0x ；
()3根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.
下面看一下具体的例子. 例3 证明:当0>x 时,
)
()
2
2
1ln 1-≥-x x x .
分析:令()()()221ln 1---=x x x x ϕ，要证原不等式成立,只要()0≥x ϕ即可.我们 通常的思路是求出()x ϕ的最小值，只要()x ϕ的最小值大于等于零，那么()0≥x ϕ必成立.但此题()x ϕ的最小值不容易求出,于是我们就考虑用泰勒公式求解.
证明: 令()()()221ln 1---=x x x x ϕ 则 ()x
x x x x 12ln 2-
+-='ϕ，()2
11ln 2x
x x -
+=''ϕ，()(
)3
2
12x
x x -=
'''ϕ
故()01=ϕ，()01='ϕ，()21=''ϕ
又当10<<x 时,()0<'''x ϕ；当+∞<<x 1时,()0>'''x ϕ 由定理2可得:
()()()()()
()()
()()()
()32
32
16
11!
31!
21111-'''+
-=-'''+
-''+
-'+=x x x x x x ξϕξϕϕϕϕϕ
当10<<x 时，1<<ξx 故()()013
>-'''x ξϕ,
当+∞<<x 1时，x <<ξ1故()()013
>-'''x ξϕ
综上可得:当 0>x 时，总有()0≥x ϕ.且等号在1=x 时成立. 接下来看一个用泰勒公式证明微分不等式的例子.
例 4 设函数()x f 在区间][a a ,-，()0>a 上三阶可导,()(),,33a a f a a f -=-=
()2
02
a
f =
'. 则至少存在一点)(a a ,-∈ξ,使得 ()3≥'''ξf .
证明:由定理2 ()()()()()
3
2
!
3!
2000x
f x f x f f x f ξ'''+
''+'+=，ξ于0与x 之间
令a x =，可得
()()()()()3
12
3!
3!
2000a f a f a f f a f a ξ'''+
''+'+==. ()1
令a x -=，可得
()()()()()()()322
3
!
3!
2000a f a f a f f a f a -'''+
''+
-'+=-=-ξ. ()2
其中 a <<10ξ，02<<-ξa
()1-()2得:
()()()[]213
3
!
3022ξξf f a
f a a '''+'''+
'=，
又()2
02
a
f =
'，故 ()()[]213
3
3
!
32ξξf f a
a a '''+'''+
=
化简得 ()()621='''+'''ξξf f .
令()()(){}21,max ξξξf f f ''''''=''',则ξ要么取1ξ，要么取2ξ，
又()ξf '''2()()621='''+'''≥ξξf f ，即至少存在一点)(a a ,-∈ξ,使得 ()3≥'''ξf . 利用泰勒公式与泰勒级数不仅在证明一般的不等式、微分不等式方面上有广泛的应用，其在证明积分不等式上也有非常好的应用，这里就不再赘述了.泰勒公式与泰勒级数有时要结合其他一些知识，这样方能使解题过程更加简洁.
2.3在近似计算方面的应用
有些近似计算是不容易求的,特别是涉及到定积分的近似计算时，就更棘手了.通常我们会遇到这样的情形:
(1)定积分()dx x f b
a ⎰中()x f 的原函数不能用初等函数表示；
（2）()x f 是以非解析形式给出的，如以表格或图像方式给出，从而无法求出原函数.
计算()dx x f b
a ⎰的过程很复杂.但是当应用泰勒公式与泰勒级数进行近似计算时,
就会变得很容易.下面将给出实例.
例4 计算积分dx x ⎰1
02sin ，精确到210-的值.
分析:我们知道函数2sin x 的原函数不能表示成初等函数，因此，这里用牛顿—莱布尼兹公式是不行的，此时就可用泰勒公式求解.
解:在][1,1-上,成立精确到3
10
-的等式 ()x p x
x
x x =+
-
≈!
5!
3sin 5
3
然而,如果在区间上有 ()310sin -<-x p x . 则成立()32210sin -<-x p x 当10≤≤x 时,
()()3
1
3
1
2
2
1
1
2
2
10
10
sin sin --=<-≤
-
⎰⎰
⎰
⎰dx dx x
p x dx
x
p dx x .
这样一来,计算dx x ⎰1
2sin 的近似值就只要计算()dx x p ⎰1
2就可以保证在精度范围
内了.
而()3
10106
21
0210310.011!517!3131!
51!31-±=⨯+⨯-
=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-=
⎰⎰dx x x x dx x p ， 所以 231
21031.0102310.0sin --±=⨯±≈⎰dx x .
泰勒公式与泰勒级数除了可以进行积分的近似计算,还可以进行微分的近似计算,这里就不再介绍了.
2.4在求级数的和、判断级数敛散性方面的应用
用收敛的泰勒级数或泰勒公式表述函数，可以使各种不同函数都统一为同一结构的幂函数之和，它是利用高阶导数研究函数的一个重要手段，具有广泛的应用意义. 用泰勒级数或泰勒公式可以求级数的和，判断级数的敛散性.
例5 求下面级数的和()∑
∞
=+1
2
!
1n n n
解:由所给的数项级数特性,构造幂级数()∑
∞
=+1
2
!
1n n
x
n n ,易知此幂级数的收敛半径
+∞
=R .即对任何x ,该幂级数都收敛.设其和函数为()x S ,即设()x S ()∑
∞
=+=
1
2
!
1n n
x
n n .
由函数x e 的幂级数展开式,经变换得:
()x S ()()n
n n
n n
n n n
x
n x n n x n n n x
n n ∑
∑
∑
∑
∞
=∞
=∞
=∞
=+
+-=
+=
1
1
1
1
2
!
1!
3!
1!
1
()()∑
∑
∑∞
=∞
=--∞
=+
-+-=0
11
2
2
2
!
!
11
3!21
n n
n n n n n x
x
n x x
n x
()
x
n n
n n n n e x x n x
n x
x n x
x
13!
!
3!
2
00
2
++=+
+=∑
∑
∑
∞
=∞
=∞
=
令1=x ,得原级数项级数的和()e n n n 5!
11
2
=+∑
∞
=.
此题的关键是先构造幂级数，再把幂级数变换成我们想要的形式.绝妙之处在令
1=x ,便可使题目得到解决.
下面看一个用泰勒公式判断级数敛散性的例子,在给出例子之前,先来介绍一下级数收敛的性质:
性质 1 设∑n u 与∑n v 为两个正项级数,若l v u n
n n =∞
→lim
,则当+∞<<l 0时,级
数∑n u 与∑n v 同时收敛或同时发散.
例6 判断级数的∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-111ln 1
n n n 的敛散性.
解：根据定理１有
⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222
12111211111ln 1
n o n n o n n n n n 所以 211121
1
11ln 1
2
22
2
lim
lim
=
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-∞
→∞
→n
n o n
n
n n n n
又级数∑
∞
=1
2
1n n
收敛，由级数的收敛性质得
∑
∞
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-1
11ln 1n n n 也是收敛的.
判断级数敛散性是很复杂的，尤其是当级数的通项比较复杂时更是麻烦，此题是利用泰勒公式判断级数收敛的经典例子，当然解题过程中对一些数项函数的放缩和使用级数的相关性质也是非常重要的，只有把这些内容综合运用起来，做题时才能得心应手.
2.5在行列式计算方面的应用
在高等代数中，行列式的计算大多用的都是代数知识，利用微积分中的思想计算行列式的很少见.只要行列式函数的各阶导数较易计算，则应用泰勒公式计算行列式是一个不错的选择 .下面将给出用泰勒展开式计算行列式的一个例子.
例7 求n 阶行列式的值
=n D a
c
c
c
b a
c c
b b a c
b b b a
. 解: 令()=y D n y
c
c
c
b y
c c
b
b y c
b b b y
，则()a D D n n =. 将()y D n 在b y =处泰勒公展开得
()=y D n ()()()()()
()
()
()n n n
n
n
n b y n y D b y y D b y y D b D -+
+-''+
-'+
!
!
2!
12
.
把行列式前面1-n 行都减最后一行可得到
这里 ()=b D n ()1
0000
00--=------=n c b b b
c
c
c
c b c b c b c b c b c b b
c
c
c
b b
c c
b b b c
b b b b
.
下面求行列式函数()y D n 的各阶导数,
()='y D n
+y c
c
c
b y
c c b
b y c
0001y
c
c
c
b y
c c b b b y
010
()y nD b y c c b
b y c
b b b y n 11
-=++
. 类似的()()()
()()
(),,,111y nD y D y D n y D n n n n n n
---='=''
由递推关系还可以得
()()()()()()y y D y D y D y D n y D n n
=='-='--11221,2,,1 则有 ()()()2
1---=='n n n
c b nb b nD b D
()()()()()()3
2111-----=-='=''n n n n
c b b n n b D n n b D n b D ,
()()()()()()b D n n b D n n b D n b D n n n n
32121----='-=''=''' ()()()421----=n c b b n n n ,
…
()()()()()b n n b D n n b D n n 212111 -=-=-,
()()!n b D n n =.
把上面各式代入()y D n 在b y =的泰勒展开式：
()()
()()()()() +---+--+-=---2321!21!1b y c b b n n b y c b nb c b b y D n n n n ()()()().!1211n n b y b y n b n n -+---+
- 若c b =可得
)()
()()()[]b n y b y b y b y nb y D n n n n 10011-+-=-+-+++=-- ， 若c b ≠可得
()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---+--+--=--n n n n n b y b y c b n n b y c b n c b c b b
y D 221!21!1 ()n b y c b c --- ()()[]()n n
b y
c b c
b y
c b c b b
----+--=
()()
c b b y c c y b n n ----=
令a y = 得
()()[]()()⎪⎩
⎪⎨⎧≠----=-+-=-c b c b b a c c a b c b b n a b a D n n n n ,,11
此题用泰勒公式求解虽然也比较繁琐，但也不失为一种好方法，其解题思路很明确，是分析与高代的一个结合点,是用分析的思想求行列式的一个非常经典的例子.
本文首先介绍了泰勒公式与泰勒级数的相关定理，而后又介绍了泰勒公式与泰勒
级数在求极限、不等式的证明、近似计算、求级数的和与判断级数敛散性、行列式的计算方面的应用，泰勒公式与泰勒级数除了上面的应用以外在积分求值与定积分的证明、概率的计算等方面也有应用，这里就不再赘述.总之，泰勒公式与泰勒级数的应用范围相当的广泛. 巧妙合理的利用泰勒公式及泰勒级数,可以解决一些较难解决的高阶导问题，泰勒公式与泰勒级数的应用远不止本文所介绍的这些，其在其他方面的应用有待于我们进一步地研究和探讨.
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