最新江苏省无锡市丁蜀学区2018届中考数学一模试卷((有答案))

江苏省无锡市丁蜀学区2018届九年级中考一模试卷
数学
一、单选题
1.﹣5的倒数是（）
A. B. ±5 C. 5 D. ﹣
【答案】D
【考点】有理数的倒数
【解析】【解答】：﹣5的倒数是﹣，故答案为：D.【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数可知答案。

2.函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A. x≠2
B. x≥2
C. x≤2
D. x＞2
【答案】A
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
2-x≠0,
∴x≠2.
故答案为：A.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为零列出不等式，求解即可。

3.分式可变形为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】分式的基本性质
【解析】【解答】分式的分子分母都乘以﹣1，得.
故答案为：D．
【分析】根据分式的变号法则，分子、分母、分式本身，同时改变其中任意两处的符号，分式的值不变，即可得出答案。

4.已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，则A，B两个样本的下列统计量对应相同的是（）
A. 平均数
B. 方差
C. 中位数
D. 众数
【答案】B
【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数
【解析】【解答】A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2，从而得出其平均数，中位数，众数都要发生变化；从而得出答案。

【分析】B样本中的平均数、中位数和众数都比A样本要增加2，只要方差不变．
5.若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为（）
A. 6
B. －6
C. 12
D. －12
【答案】A
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y= ，
把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12，
即y=﹣，
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，
故答案为：A．
【分析】首先将A点坐标代入反比例函数的解析式，求出k的值，得出反比例函数的一般形式，再将B点的坐标代入反比例函数，即可求出m的值。

6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A. 等边三角形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 圆
【答案】A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、只是中心对称图形，不合题意；
C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．
故选A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．7.如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）
A. ∠1＝∠3
B. ∠2＋∠3＝180°
C. ∠2＋∠4＜180°
D. ∠3＋∠5＝180°
【答案】D
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项不符合题意；
B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°，故本选项不符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，由于OC与OD不平行，故∠1=∠3不成立；由于OC与OD不平行，故∠2+∠3=180°不成立；根据AB∥CD，从而∠2+∠4=180°，根据AB∥CD，故∠3+∠5=180°，从而可得答案。

8.如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）
A.35°
B.140°
C.70°
D.70°或140°
【答案】B
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选B．
【分析】由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．
9.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB。

∴。

∵AD=1，BC=4，
∴。

故答案为：D。

【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，得出△AOD∽△COB，根据相似三角形面积的比等于相似边的平方即可得出S△AOD∶S△COB=
10.如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP∶DQ等于（）
A. 3∶4
B. ∶
C. ∶
D. ∶
【答案】D
【考点】三角形的面积，平行四边形的性质
【解析】【解答】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，
即AF×DP= CE×DQ，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，
则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，
求出AF= a，CE=2 a，代入可得a•DP=2 a•DQ，
即DP：DQ=2 ：．
故答案为：D．
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S △DEC = S △DFA = S 平行四边形ABCD，从而得出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，进一步表示出BF,BE,BN,BM,FN,CM,从而求出AF,CE,再代入AF×DP=CE×DQ即可得出DP：DQ的值。

二、填空题
11.分解因式：2x2－4x=________.
【答案】2x(x-2)
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】利用提公因式法分解因式，2x 2-4x=2x（x-2）.【分析】利用提公因式法分解因式，提出各项的公因式2x，再将剩下的商式写在一起作为一个因式。

12.去年，中央财政安排资金8 200 000 000元，免除城市义务教育学生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为________元.
【答案】8.2×109
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：8 200 000 000=8.2×109.【分析】科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成a ×10n,的形式，其中1 ≤∣a ∣＜10, n是原数的整数位数减一。

13.一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为________．
【答案】（3，0）
【考点】一次函数图像与坐标轴交点问题
【解析】【解答】把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，知该点的纵坐标为0，把y=0代入y＝2x－6得x=3，从而的到处答案。

14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题.(填“真”或“假”)
【答案】假
【考点】命题与定理
【解析】【解答】原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题.【分析】首先将原命题改写成如果那么的形式，然后根据原命题与逆用的关系，将原命题的题设和结论交换位置得到其逆命题：面积相等的两个三角形为全等三角形；再根据已有知识判断此命题显然是假命题。

15.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于________．
【答案】8
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【解析】【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD= = =8．
故答案是：8．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=10．再根据勾股定理得出CD的长度。

16.如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．
【答案】4
【考点】平行四边形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，在直角△AOE中，
，
∴．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【分析】在直角△AOE中，根据余弦函数的定义得出OA的长，再根据平行四边形的对角线互相平分得出AC的值。

17.如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．
【答案】5
【考点】点的坐标，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【解析】【解答】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案为：5．
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，根据平行四边形对边平行且相等得出OA∥BC，OA=BC，根据二直线平行内错角相等得出∠AOD=∠CBE，然后利用AAS判断出△AOD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等得出OD=BE=1，根据线段的和差得出结论。

18.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
【答案】3
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，
∴=2，
∴，
∴，
∵NL=LM，
∴，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
三、解答题
19.计算：
（1）；
（2）(x+1)2－(x+2)(x－2)．
【答案】（1）解：原式=3﹣4+1=0
（2）解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5
【考点】算术平方根，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，有理数的加减混合运算，合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据算出根的意义，乘方的意义，0次幂的意义，分别化简，再按有理数的加减法计算即可；
（2）根据完全平方公式，及平方差公式去括号，再合并同类项即可。

20.解答题
（1）解方程：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1），
解得：x=13，
检验：当x=13时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0，
故x=13是原方程的解。

（2）解：解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤6，
故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6
【考点】解分式方程，解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程得出方程的解，并检验得出答案；
(2）解出不等式组的每一个不等式，再根据大小小大中间找得出答案。

21.如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【答案】证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM(SAS)，
∴MD=ME.
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠DBM=∠ECM，然后利用SAS判断出△BDM≌△CEM，根据全等三角形对应边相等得出MD=ME.
22.某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这样一个问题：老师在课堂上放手让学生提问和表达，
A从不 B很少C有时D常常E总是
答题的学生在这五个选项中只能选择一项．下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该区共有________名初二年级的学生参加了本次问卷调查；
（2）请把这幅条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，“总是”的圆心角为________．（精确到度）
【答案】（1）3200
（2）解：“有时”的人数为3200-96-320-736-1344=704（人），图见下
（3）151°
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图
【解析】【解答】（1）96÷3%=3200（人）；（3）×100%=42%【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图可知：A类学生有96人，其所占的百分比是3%，用96÷3%即可得出该区初二年级的学生参加了本次问卷调查的人数；
（2）用该区初二年级的学生参加了本次问卷调查的人数-A类的人数-B类的人数-D类的人数-E类的人数即可得出C类的人数，根据人数补全条形统计图；
（3）用360°×E类所占的百分比即可得出在扇形统计图中，“总是”的圆心角。

23.综合题
（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”的方式给出分析过程）
（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是________（请直接写出结果）．
【答案】（1）解：画树状图：
或：列表：
∴P（第2次传球后球回到甲手里）＝＝．
（2）
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】（2）第三步传的结果是n3，传给甲的结果是n(n-1)，第三次传球后球回到甲手里的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意列出树状图，由图知：共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，根
据概率公式即可得出答案；
（2）第三步传的结果是n3，传给甲的结果是n(n-1)，根据概率公式，就可以得出第三次传球后球回到甲手里的概率。

24.如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于________；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点________为圆心，以线段________的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于；
②连OD，在OD上画出点P，使OP的长等于，请写出画法，并说明理由________．
【答案】（1）
（2）A；BC；解：∵OD= ，OP= ，OC=OA+AC=3，OA=2，∴．
故作法如下：
连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．
依此画出图形，如图2所示．
【考点】勾股定理，作图—复杂作图，平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC= = ．故答案为：
．（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD= ，∠OAD=90°，∴AD= = =BC，∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于．
依此画出图形，如图1所示．
故答案为：A；BC．
【分析】（1）在Rt△BAC中，利用勾股定理即可得出答案；
（2）①在Rt△OAD，∠OAD=90°，利用勾股定理求出AD的长，发现AD的长度=BC的长度，于是得出结论：以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于；②根据线段OA,OC,OP,OD的长度，可以得出OA∶OC=OP∶OD,根据平行线分线段成比例定理从而得出作法：连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．
25.某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？
【答案】（1）解：设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得：，解得：
（2）解：设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据题意得：120a+100（50﹣a）≤5500，整理得：20a≤500，解得：a≤25．
答：最多可购买25个足球
【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】(1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．列出方程组求解即可；
（2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据购买足球的费用与购买篮球的费用之和不超过5500元，列出不等式，求解即可得出答案。

26.如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
【答案】（1）解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴= ，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）
（2）解：∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x= =﹣1，
∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），
则16+ =36，解得y1=±2 （负值舍去）．
将A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x；
②当OC=BC时，设C（2，y2），
则4+ =36，解得y2=±4 （负值舍去）．
将A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y= x2+ x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y= x2+ x或y= x2+ x．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF ∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（-2，0），求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB>OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（-4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
27.如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）
与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．此时如答图1所示：
AQ边上的高h=AB•sin60°=6× = cm, S=S△APQ= AQ•h= AQ×3 = ,解得AQ=3cm. ∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．
（2）解：由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：
点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．过
点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18-2t）× ,
S=S△APQ= AD•PE= ×6×（−+ ）= .
∴FG段的函数表达式为：S= （6≤t≤9）
（3）解：菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18 ,
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．
此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°= t•2t× = ,
根据题意，得= ,
解得：t= s,
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．
此时，有S梯形ABPQ= S菱形ABCD，即（2t-6+t）×6× = ×18 ,
解得t= s,
答：存在，当t= 或时，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
【考点】与一次函数有关的动态几何问题，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．此时如答图1所示：根据锐角三角函数可知AQ边上的高h=AB•sin60°，根据三角形的面积计算公式得S=S△APQ= AQ•h，从而列出方程，求解得出AQ的长度，根据速度邓毅路程除以时间得出答案；
（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：点Q运动至点D 所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE ⊥AD交AD的延长线于点E，根据锐角三角函数得出PE=PD•sin60°，根据三角形的面积公式由S=S△
= AD•PE，得出s关于t的函数关系式;
APQ
(3）首先算出菱形的面积，当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．此时△APQ的面积S= AQ•AP•sin60°，根据PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分，列出关于t的方程，求解得出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ
两部分，如答图4所示．此时，有S梯形ABPQ= S菱形ABCD，从而列出方程，求解得出答案。

28.如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
【答案】（1）解：过P作PE⊥OA于E．
∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形．
∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60º，
∴PE＝PM·sin60º＝，ME＝，
∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，
∴∠PCE＝30º，∴∠CPM＝90º，
又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90 º，即CN⊥OB
（2）解：①－的值不发生变化．理由如下：
设OM＝x，ON＝y．∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y－x．
∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O．又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴＝，即＝，
∴6y－6x＝xy．两边都除以6xy，得－＝，即－＝．
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，
则S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，
∴＝．
∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O．又∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO．∴＝＝．
∴＝＝－（x－3）2＋．
∵0<x<6，由这个二次函数的图像可知，0＜≤ ．
【考点】二次函数的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
...
... 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形OMPQ 为平行四边形．根据平行四边形的对边相等得出PM ＝OQ ＝1，在Rt 三角形PME 中，根据正弦函数的定义得出PE 的长，进而得出ME 的长，根据线段的和差得出CE 的长，在Rt 三角形PEC 中，根据正切函数的定义得出∠PCE 的度数，根据三角形的内角和得出∠CPM ，根据二直线平行，同位角相等得出∠CNO ＝∠CPM ＝90 º；
（2）①的值不发生变化．理由如下：设OM ＝x ，ON ＝y,根据菱形的四边相等得出OQ ＝QP ＝OM ＝x ，NQ ＝y －x ．然后判断出△NQP ∽△NOC ，根据相似三角形对应边成比例得出QP ∶OC=NQ ∶ON ，从而得出关于x,y 的方程，根据等式的性质及等量代换即可得出答案；②过P 作PE ⊥OA 于E ，过N 作NF ⊥OA 于F ，根据菱形的面积即三角形的面积公式表示出S 1，S 2，进一步得出S 1，S 2之比，然后判断出△CPM ∽△CNO ，根据相似三角形对应边成比例得出PE ∶NF ＝CM ∶CO=(6-x)∶6,从而得出 S 1∶S 2=－
（x －3）2+，根据
0<x<6，由这个二次函数的图像即可得出答案。