相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线 段或出等角，
等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下 几种： 一、添加平行线构造“ A “ X 型
例1:如图，D 是厶ABC 的 BC 边上的点，BD DC=2 1，E 是AD 的中 BE EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,贝U ••• PE=EF BP=2PF=4E 所以 BE=5EF ： BE: EF=5 1.
解法二：过点 D 作BF 的平行线交AC 于点Q, ••• BE EF=5: 1. E 作BC 的平行线交AC 于点S , E 作AC 的平行线交BC 于点T ,
BCC 边上的点',，BD DC=2 1, E 是 AD 的中点,
求AF: CF 的值.
D 作CA 的平行线交 D 作BF 的平行线交
E 作BC 的平行线交 E 作AC 的平行线交 ABC 的 AB 边和AC 边上各取一点D 和 使 AD= AE, DE 延长线与BC 延长线相交于
F ,求证： （证明：过点C 作CG//FD 交AB 于
G ） 例 3:女口图，△ ABC 中, ABvAC 在 AB AC 上分别截取 BD=CE DE, BC 长线相交于点F ,证明：AB- DF=AC EF. 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对 比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间 得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

• 方法一：过E 作EM//AB,交BC 于点M 则厶EM OA
ABC （两角
等，两三角形相似）•
方法二:过D 作DN//EC 交BC 于 N.
解法三：过点 解法四：过点 BE _BT ； 点，求: 变式:T 如'图，D 是厶ABC 的
F, 过点 过点 过点 过点 解法一 解法二 解法三 解法四 例2:如图，在△ 和厶EFB 相
似, ••• BE EF=5 1. 连结BE 并延长交AC 于
BF 于点 AC 于点 AC 于点
BC 于点 P, Q s,
T ，
应边成
比代换 例4:在厶ABC 中, D 为AC 为CB 延长线上的一点， AB 于 F 。

求证：EF X
BC=AC 证明：过D 作DG// BC 交AB 上的一点，E BE=AD DE 交
X DF 于G 则厶
DFG
DG DF 二 DG AD,A HED G EIBC 可得△ ADG 和△D\CB |F 似,
A
A EF X BO AC X DF. 例5:已知点D 是BC 的中点，过D 点的直线交AC 于E,交
线于F, 求证：
即
E ,且
的延 对应相
BA 的延长
例11.如图，在梯形 ABCD 中 AD// BC ，若/ BCD 的平分线CHLAB 于
BH=3AH 且四边形AHCD 勺面积为21，求△ HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD 所以可构造相似三角形。

把问题转 相似
三角形的面积比而加以解决。

解：延长BA CD 交于点P v CHL AB, CD 平分/ BCD
分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 •
（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段 EC,使得所得四条线段分
个三角形.） 例6:已知：在等腰三角形ABC 中，AB=ACBD 是高，求证：B C=2AC ・
CD 别构成两
分析：本题的重点在于如何解决“ 2”倍的问题；让它归属一条线段, 找到这一线段2倍是哪一线段. 例7:如图，△ ABC 中, AD 是 BC 边上中线，E 是AC 一点，连接ED 且交AB 的延长线于F 点.求证：AE
EC=AF BF.
分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中 平行与2倍关系的结论，证明所得结论.找到后 所在三角形与哪个三角形相似 例8:在？
ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作 BP 交 AC 于 E ，交 CF 于 F,求证：BPZ =PE ・
PF
分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化， 线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相 在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明. CF// AB,延长 也可以通过
似证明.另外
、作垂线构造相似直角三角形
例9:如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF, 分别为E 、F ， AB ，
AE + AD AF 求证C 2
证明：过B 作BM L
AC 于M,过D 作DNL AC 于N ••• AM: AE=AB 垂足
AC B ■ AE = AC ■ AM
代 — :' AD 、AF = AC AN (R (1) AC
(1) + (2)得
例 10： ?ABC 中, AC=BC P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点
(不是中点),MN S Q 且MN L CP 交AC BC 于 M N,求证： 证明：过P 作PEI AC 于 E, PF L CB 于F ,则CEPF 为矩形 PF EC v / A =Z B=45° 二 Rt △ AEP=R1A PFB
v EC=PF PA.± PE 二 PE (1)
在 A ECP^P A CNM 中 CP1 MNr E Q
••• / QCN £QNC=90 又 v / QCN £ QCM=90 /-Z MCQ H CNQ
••• Rt A PE3 Rt A MCN E/= EC EPJ 即如 (2)
PA CM 由(1)C ( 2)
PB CN
三、作延长线构造相似三角形
点H, 化为
••• CB=CP 且 BH=PH T BH=3AH /• PA AB=1: 2 /• PA PB=1
3
••• AD// BC •••△ P PBC S A PBC =1 : 9
例12.如图，RtABC 中, CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点， AE 的延长线交BC 于F , FG 交AB 于G,求证：FG=CF BF 分析：欲证式即 由“三点定形”，△ BFG 与 A CFG 会相似吗？显然不可能。

（因为A BFG 为Rt A ）， 但由E 为CD 的中点，.••可设法构造一个与A BFG 相似的三角
形来求解。

不妨延长GF 与AC 的延长线交于F <H 』F H FG =巴
又ED=EC D FG=FH 又易证 Rt A CFH^ Rt A GFBP EC
CF
_FH D FG - FH=CF BF V FG=FH D FG2=CF BF
FG BF
四、利用中线的性质构造相似三角形
例13:如图，中，AB 丄AC AE 丄BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1求AC. 解：取 BC 的中点 M 连 AM V AB 丄AC D AM=CM ：/ 1 = Z C 又 BD=DC
•••/ DBC M DCB D/ CAM M C=/ DBC DA MAC^A DBC
是解题关键
MC AC 1
又 D AC =1 WC BC BC BC D
又D Rt A AEC^ Rt A BAC 又 2 ' EC=1 D A C D C = CE ? BC = BC (2) AC 由（A ）（2
）
得AC =3 2
D
2
小结：利用等腰三角形有公共底角 ，则这两个三角形相似，取 BC 中点M,构造A MA S
(1)
A DBC
A
.。