新课标A版高中数学必修4：双基限时练 (12)

双基限时练(十)
1．当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于x 轴对称
D ．没有对称轴
答案 B
2．函数y ＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z
B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ≠k π2＋3π4，k ∈Z
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≠k π＋3π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π
8，k ∈Z . 答案 A
3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π
4.则ω的值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π
4，∴ω＝4. 答案 C
4．y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析 y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A
5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 1
2sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos25°，则有( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．c <b <a
D ．a <c <b
解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 1
2tan70°<0.
又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .
答案 D
6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y
＝tan|x |在x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关
系式应是( )
a
b
c
d
A ．①②③④
B ．①③④②
C ．③②④①
D ．①②④③
解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝
⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2上是减函数，只有图象d
符合，即d 对应③.
答案 D
7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，∴ω＝1
2，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋π6，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫12×π6＋π6＝tan π
4＝1. 答案 1
8．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________． 解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π2，3π4上都是增函数，
∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π
4＝－1.
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
9．满足tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．
解析 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π
3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π
6，k ∈Z .
故满足tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
k π－2π3≤x <k π＋π
6，k ∈Z
答案 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
k π－2π3≤x <k π＋π
6，k ∈Z
10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π24＝________.
解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝1
4π，
即周期为1
2π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫38π，0，所以0
＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝1
4π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝ 3. 答案
3
11．已知函数f (x )＝2tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．
解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π
3<k <π. ∵k ∈N *
，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －π3， 由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π
3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得
－π18＋k π3<x <5π18＋k π
3，k ∈Z .
∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3x －π3的单调增区间为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0，其中0<φ<π
2，试求函数f (x )的单调区间．
解 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，0， 其中k ∈Z .
故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π
4. 由于0<φ<π
2， 所以当k ＝2时，φ＝π
4.
故函数解析式为f (x )＝tan ⎝
⎛
⎭
⎪⎫3x ＋π4.
由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝
⎛
⎭
⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．
则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2， 解得k π3－π4<x <k π3＋π
12，k ∈Z ，
故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π3－π4，k π
3 ＋π12，k ∈Z . 13．求函数y ＝－tan 2
x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π3的最值及相应的x
的值．
解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π
3，∴1≤tan x ≤ 3.
∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π
3. 当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π
4.。