卷积微分证明

卷积微分证明
卷积微分是指在函数的卷积运算过程中，对其中一个函数进行微分的操作。

设有函数 f(x) 和 g(x) 的卷积为 h(x)，即 h(x) = f(x) * g(x)。

我们要证明卷积微分的性质：(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) = f(x) *
g'(x)。

首先，我们将卷积的定义写成积分形式：
h(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t) dt
对卷积函数 h(x) 进行微分，我们可以利用导数的定义：
h'(x) = lim┬[Δx→0] [h(x+Δx) - h(x)] / Δx
将 h(x) 的表达式代入到 h'(x) 的定义中：
h'(x) = lim┬[Δx→0] [∫[a,b] f(t)g(x+Δx-t) dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t) dt] / Δx
我们可以交换积分符号和极限符号的顺序，然后对每一项应用微分的定义：
h'(x) = ∫[a,b] lim┬[Δx→0] [f(t)g(x+Δx-t) - f(t)g(x-t)] / Δx dt
我们可以将极限符号移到 f(t) 和g(x+Δx-t) 的乘积处：
h'(x) = ∫[a,b] f(t) lim┬[Δx→0] [g(x+Δx-t) - g(x-t)] / Δx dt
注意到由于每一项中都有Δx，我们可以将其移到极限符号和g(x+Δx-t) 的乘积处：
h'(x) = ∫[a,b] f(t) g'(x-t) dt
这里，我们使用了极限的性质lim┬[Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx = f'(x)。

因此，我们得到 (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) = f(x) * g'(x)，从而证明了卷积微分的性质。