一元二次方程与函数的综合练习题

一元二次方程与函数的综合练习题
一、填空题
1. 解方程x^2−5x+6=0的解是__________、__________。

2. x=x^2+4x−5的图像在x轴上的截距是__________。

3. 当x^2=16时，x的值是__________、__________。

4. 解不等式２(3−x) + 5 > 7−(x−1) 的解集为__________ < x <
__________。

5. 设函数x=x^2+3x+2，x=−2时，函数x的值是__________。

二、选择题
1. 方程 2x^2 − x + 6 = 0 的判别式为：
(A) 1 (B) 15 (C) −1 (D) −15
2. 函数x = x^2 − 2x− 3的图像在x轴上的截距是：
(A) 3 (B) −1 (C) 2 (D) −3
3. 若函数x = (x + 3)(x + 2)的图像经过点(−4, 0)，则x = 0的根为：
(A) 0 (B) 1 (C) −2 (D) −3
4. 方程x^2 − 13x + 30 = 0 的根为：
(A) 10、3 (B) −10、−3 (C) 10、−3 (D) −10、3
5. 若x = x^2 − 3x + x有两个相等的实根，则x的值为：
(A) 1 (B) −1 (C) 2 (D) −2
三、解答题
1. 求解方程 3x^2 − 2x− 1 = 0。

解：使用一元二次方程的求根公式，根据判别式计算方程的解。

判别式x = x^2 − 4xx= (−2)^2 − 4×3×(−1) = 4 + 12 = 16
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。

根据求根公式：x= (−x± √x) / (2x)
所以，方程的两个解为：
x1 = (−(−2) + √16) / (2×3) = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
x2 = (−(−2) − √16) / (2×3) = (2 − 4) / 6 = −2 / 6 = −1/3
所以方程 3x^2 − 2x− 1 = 0的解为x = 1 和x = -1/3。

2. 求解函数x = x^2 − 6x + 8 的图像在x轴上的截距。

解：当x = 0 时，计算函数的值x = x^2 − 6x + 8：
x= (0)^2 − 6(0) + 8 = 8
所以，函数的图像与x轴交于点(0, 8)。

x轴上的截距为 8。

3. 求函数x= −x^2 + 4 的图像与x轴的交点，并判断其与x轴的交点形态。

解：当x = 0 时，解方程−x^2 + 4 = 0：
x^2 = 4
x = ±√4
所以，函数的图像与x轴交于两个点(−2, 0) 和 (2, 0)。

根据二次函数图像与x轴的交点，可以判断函数与x轴的交点形态。

由于二次函数的开口向下，且x的值为负数，所以函数与x轴的交点形
态为两个开口朝下的抛物线。

4. 求解不等式 2x^2 + 3x− 2 < 0。

解：将不等式转化为方程 2x^2 + 3x− 2 = 0，并求出方程的解。

使用一元二次方程的求根公式，根据判别式计算方程的解。

判别式x = x^2 − 4xx= (3)^2 − 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。

根据求根公式：
x= (−x± √x) / (2x)
所以，方程的两个解为：
x1 = (−3 + √25) / (2×2) = (−3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2
x2 = (−3 − √25) / (2×2) = (−3 − 5) / 4 = −8 / 4 = −2
现在我们得到方程x = 1/2 和x= −2 的两个解。

为了解不等式 2x^2 + 3x− 2 < 0，我们需要确定在这两个解之间的
区间，函数的值是负数。

我们将这两个解放在一个数轴上，并选取区间中的测试点。

选取测试点x = 0 检查不等式的符号：
2(0)^2 + 3(0) − 2 < 0
0−2 < 0
−2 < 0
所以x = 0 在解集合内。

因此，解不等式 2x^2 + 3x− 2 < 0的解集为 (-2, 1/2)。

5. 设函数x = 2x^2 + 5x + 3，求x= −4 时，函数x的值。

解：将x= −4 代入函数x = 2x^2 + 5x + 3：
x= 2(−4)^2 + 5(−4) + 3 = 2×16 − 20 + 3 = 32 − 20 + 3 = 15
所以，当x= −4 时，函数x = 2x^2 + 5x + 3 的值为 15。

这些是一元二次方程与函数的综合练习题的解析与解答。

希望本文能够帮助你对这个主题有更深入的理解。

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