第十章 §10.2 二项式定理

二项展开式 的通项 二项式系数
Tk＋1＝ Cknan－kbk ，它表示展开式的第 k＋1 项 Ckn (k＝0,1，…，n)
知识梳理
2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等 . (2)增减性与最大值： ①当 k<n＋2 1时，Ckn随 k 的增加而 增大 ；由对称性知，当 k>n＋2 1时， Ckn随 k 的增加而 减小 .
知识梳理
n
②当n是偶数时，中间的一项 Cn2 取得最大值；当n是奇数时，中间的
n1
n1
两项 Cn2 与 Cn2 相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为 C0n＋C1n
＋C2n＋…＋Cnn ＝ 2n .
常用结论
1.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 2.Cmn＋1＝Cmn －1＋Cnm.
思维升华
(1)赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令 g(x)＝(a＋bx)n， 则(a＋bx)n 的展开式中各项的系数和为 g(1)，(a＋bx)n 的展开式中奇数项 的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n 的展开式中偶数项的系数和为12[g(1) －g(－1)].
微拓展
破解三项展开式问题 求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法： (1)两项看成一项，利用二项式定理展开. (2)因式分解，转化为两个二项式再求解. (3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答. 典例 (1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为__2_1_0___.
微拓展
因为(x2＋a)x＋1x8＝x2x＋1x8＋a·x＋1x8， 且x＋1x8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－k1xk＝Ck8x8－2k， 当 8－2k＝6 时，k＝1，此时 x6 的系数为 C18. 当 8－2k＝8 时，k＝0，此时 x8 的系数为 C08. 所以展开式中 x8 的系数为 C18＋aC08＝8＋a＝9，解得 a＝1.
因为(3x2＋2x＋1)10＝[3x2＋(2x＋1)]10＝C010(3x2)10＋C110(3x2)9(2x＋1)＋ C210(3x2)8(2x＋1)2＋…＋C910(3x2)1(2x＋1)9＋C1100(2x＋1)10， 所以含有 x2 的项为 C9103x2·C9919＋C1100C810(2x)218＝210x2. 所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210.
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2， 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
a
5
x
的展开式的通项为
Tk＋1＝Ck5x5－k－
微拓展 (2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为___9_2____.
微拓展
将(1＋2x－3x2)5看作5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展 开式中形成x5的来源有： ①5 个因式各出一个 2x，这样的方式有 C55种，对应的项为 C55(2x)5； ②有 3 个因式各出一个 2x，有 1 个因式出一个－3x2，剩余 1 个因式 出一个 1，这样的方式有 C35C12种，对应的项为 C35(2x)3C12(－3x2)；
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，即展开式
中所有项的系数和为1，故B正确；
令 x＝0，可得 a0＝1，令 x＝12，可得1－2×122 024＝a0＋a21＋a222＋…＋
a2 22
002233＋a222
002244＝0，
所以a21＋a222＋a233＋…＋2a22 002233＋a222 002244＝－1，故 C 正确； 将等式(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024两边同 时求导可得， 2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a1＋2a2x1＋…＋2 023a2 023x2 022＋2 024a2 024x2 023， 再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048， 故D正确.
x2－
1
n
x
的展开式中第3项与第5项的系数之比
为3∶14，则下列结论成立的是
√A.n＝10 √B.展开式中的常数项为45 √C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
二项展开式的通项为
Tk＋1＝Cknx2n－2k
(1)k
k
x2
＝ ( 1)k
C xk
2n5k 2
n
，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
√B.展开式中所有项的系数和为1 √C.a21＋a222＋a233＋…＋a222 002233＋a222 002244＝－1 √D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 023a2 023＋2 024a2 024＝4 048
由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为 C21 002142，易知
应为第 1 013 项(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是(a＋b)n 的展开式中的第 k 项.( × ) (2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.( √ ) (3)通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 中的 a 和 b 不能互换.( √ ) (4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.( × )
自主诊断
4.在二项式x2－2xn 的展开式中二项式系数之和是 32，则展开式中各项系 数的和为___－__1___.
因为二项式系数之和为2n＝32，所以n＝5. 令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
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第二部分
探究核心题型
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式 例1 (1)(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为__1_1_2__(用数字作答).
axk＝
(
a)k
C5k
5
x
3 2
k
.
由 5－32k＝5，得 k＝0， 由 5－32k＝2，得 k＝2， 所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
64，
所以2n＝64，则n＝6，
所以二项式为2x＋
1x6，
则二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck6(2x)6－k
1xk＝
C6k
26k
6 3 k
x2
，
令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第4项的二项式系数最大，此时k＝3，则二项展开式中二项式系数最
大的项为T4＝C36
263
x
6
则含 x5 的项的系数为(－1)6C610＝210，故 C 正确； 令 20－52k∈Z，则 k 为偶数， 此时k＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D错误.
(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝_－__2_.
由(1＋x)4 的展开式通项为 Tk＋1＝Ck4xk， 所以含 x3 的项为 C34x3＋(－ax2)C14x＝(C34－aC14)x3， 故 C34－aC14＝4－4a＝12，可得 a＝－2.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和 例3 (1)(多选)已知 1x－2x2n＋1 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值 之比为1∶8，则
√A.n＝4
B.展开式中所有项的系数和为1 C.展开式中二项式系数和为24
√D.展开式中不含常数项
由题意得CC2212nn＋＋11××－－222＝18， 则4×22n2＋n2＋1！1× 2n＝18，解得 n＝4，故 A 正确； 所以1x－2x2n＋1＝1x－2x9，令 x＝1，
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
则所有项的系数之和为－1，故B错误；
所以1x－2x9 的二项式系数和为 29，故 C 错误； 1x－2x9 的通项公式为 Tk＋1＝Ck91x9－k(－2x)k＝Ck9(－2)kx2k－9， 若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0， 解得 k＝92∉N，所以不存在常数项，故 D 正确.
(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023 ＋a2 024x2 024，则 A.展开式中二项式系数最大项为第1 012项
自主诊断
3.(选择性必修第三册
P34T1
改编)CC0202
023＋C12 024＋C22
023＋C22 024＋C42
023＋…＋C22 024＋…＋C22
023
002234的值为
024
√A.1
C.2 023
B.2 D.2 023×2 024
原式＝222 202042－3 1＝2222
023
023＝1.
(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1， 代回通项即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律， 结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1
(1)(多选)已知
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
，
令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
微拓展
③有 1 个因式出一个 2x，2 个因式各出一个－3x2，剩余 2 个因式各出 一个 1，这样的方式有 C15C24种，对应的项为 C15×2x×C24×(－3x2)2； 所以含 x5 的项的系数为 C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C42× (－3)2＝92.
思维升华
33 2
＝160
x
3 2
，故B错误；
令 6－32k＝0，则 k＝4，
所以二项展开式中的常数项为
C64
264
6
x
3 2
4
＝60，故C错误；
令第 k＋1 项的系数最大，则CC6kk62266－－kk≥≥CCk6k6－＋112266－ －kk＋ －11， ，
解得43≤k≤73， 因为k∈N，所以k＝2. 所以二项展开式中系数最大的项为 T3＝C2624x3＝240x3，故 D 正确.
命题点2 系数与二项式系数的最值
例4
已知
2x＋
1
n
x
的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论
正确的是
A.二项展开式中各项系数之和为37
3
B.二项展开式中二项式系数最大的项为 90x2
C.二项展开式中无常数项
√D.二项展开式中系数最大的项为240x3
因为2x＋
1
n
x
的二项展开式中二项式系数之和为