2018年高三最新 高考数学湖南师大附中高三第六次月考试卷 精品

湖南师大附中高三第六次月考试卷
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分，考试时量120分钟。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是
符合题目要求的） 1．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是
（ ）
A ．βαsin sin =
B ．βαcos cos =
C ．βαtan tan =
D ．βαcot cot =
3．设全集U=R ，(},7log 7log |{},4|{32 A x B x x A x 则>=>= B ）是
（ ）
A ．}2|{-<x x
B ．}32|{≥-<x x x 或
C ．}3|{≥x x
D ．}32|{<≤-x x
4．函数x x x f ln 3)(⋅+=的单调递增区间是
（ ）
A ．)1,0(e
B ．),(+∞e
C ．),1(+∞e
D ．),1(e e
5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．3:4
D ．1:3
6．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+ ，则-++++211531)(a a a a 212420)(a a a a ++++ 的值是
（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
7．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．不充分也不必要条件
8．把)(x f 的反函数)(1
x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C ，函数)(x g 的图象与曲线
C 关于x y =成轴对称，那么)(x g 等于
（ ）
A ．2)()(+=x f x g
B ．2)()(-=x f x g
C ．)2()(+=x f x g
D ．)2()(-=x f x g
9．已知点A 为双曲线122=-y x 的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B
在y 轴的异侧，则正△ABC 的面积是 （ ）
A ．
3
3 B ．
33
2 C ．33
D ．36
10．设坐标原点为O ，抛物线x y 22
=与过其焦点的直线交于两点A 、B ，则⋅等于
（ ）
A ．
4
3 B ．4
3-
C ．－3
D ．3
11．记函数x x x f sin 3)(2
+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的 值为 （ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．8
12．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100
人上学，平均每人每月94.50元。

现在（存款年利率1.98%，并且扣20%税）用同样一 笔资金每年的存款利息最多可以资助（ ）人上学（平均每人每月100元）. A ．10 B ．13 C ．15 D ．20
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，请把各题答案填在题中横线上） 13．已知复数z 满足等式：i zi z 212||2
+=-，则z= .
14．某公司规定：一个工人在一个季度里如果有1个月完成任务，则可得奖金90元；如果有2个月完成任务，则可得奖金210元；如果有3个月完成任务，则可得奖金330元；
如果3个月都未完成任务，则不得奖金。

假如某工人每月能否完成任务是等可能的，则这个在一个季度里所得奖金的数学期望是。

15．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有种.（用数字作答）
16．一直角梯形ABCD，AB⊥AD，AD⊥DC，AB=2，BC=3，CD=1，E为AD中点，沿
CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D重合，则这三棱锥的体积等于.
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）
18．（本小题满分12分）已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=.
①若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；
②若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.
19．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中PB ⊥底面ABC ，︒=∠90BCA ，
PB=BC=CA=a ，E 是PC 的中点，点F 在PA 上，且3PF=FA. （1）求证：平面PAC ⊥PBC ；
（2）求平面BEF 与底面ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.
20．（本小题满分12分）设}{n a 是由正数组成的无穷数列，S n 是它的前n 项之和，对任意自
然数n a n ,与2的等差中项等于S n 与2的等比中项. （1）写出321,,a a a ；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）； （3）记)(lim ),(21211
1n b b b a a a a b n n n n n n n -++++=∞→++ 求.
21．（本小题满分12分）设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于
原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.3
2- （1）求a 、b 、c 、d 的值；
（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明
你的结论；
（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：3
4|)()(|21≤-x f x f .
22．（本小题满分14分）已知).)),,1(),0,(y x -⊥+== （1）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；
（2）若直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点，并且A 、B 在y 轴的同一侧，求实
数k 的取值范围.
（3）设曲线C 与x 轴的交点为M ，若直线1:-=kx y l 与曲线C 交于A 、B 两点，是否
存在实数k ，使得以AB 为直径的圆恰好过点M ？若有，求出k 的值；若没有，写
出理由.
湖南师大附中高三第六次月考试卷
数学参考答案（理科）
一、选择题答案：
1.B
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.A
9.C 10.B 11.C 12.B 二、填空题答案：
13．－1，－1－2i 14．153.75元 15．56 16．12
6
三、解答题
17．（1）22.0)6.0()3(33≈=P
（2）29.016.06.03)6.01(6.0)1
(2133≈⨯⨯=-⨯⨯=C P （3）94.0064.01)6.01(13
≈-=--=P
18．解①已知向量))3(,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA +--=-=-=
若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，………………2分
),1,2(),1,3(m m --== …………5分 故知m m -≠-2)1(3……7分
∴实数2
1
≠
m 时，满足的条件…………8分 （若根据点A 、B 、C 能构成三角形，必须|AB|+|BC|＞|CA|…相应给分） ②若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AC AB ⊥，
0)1()2(3=-+-∴m m …………10分 解得4
7
=
m …………12分
19．（1）证明：∵PB ⊥底面ABC ，∴PB ⊥AC …………1分，又∠BCA=90°
∴AC ⊥平面PBC …………4分
又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBC …………5分 （2）解：设FE 的延长线与AC 的延长线交于M ，连MB ，
则MB 为平面BEF 与平面ABC 的交线…………6分
在平面PCA 中，由已知E 是PC 的中点，F 是PA 的四等分点，
a AC MC 2
1
21==
∴…………7分 取BC 的中点H ，则EH//PB ， ∴EH ⊥底面ABC …………8分
过H 作HO ⊥MB 于O ，由三垂线定理，EO ⊥MB
则∠EOH 为平面BEF 与底面ABC 所成二面角的平面角…………9分 在a HO BCM Rt 10
5
,=
∆中，在a EH EHO Rt 21,....=∆中…………10分
5tan ==
∠∴HO
EH
EOH …………11分 即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为5arctan …………12分
若利用面积射影法，指出△HDB 是△EFB 在底面ABC 上的射影，并计算出其面积
2161a S =
射影…………7分 计算出2
16
6a S EFB =∆…………10分 6
1cos =
=
∆EFB
S S 射影θ…………11分
即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为6
6
arccos
…………12分 20．解（1）根据已知，
0,22
2
>=+n n n a S a ， ∴当n=1时，
2,222
2
1111===+a a S a 得…………1分 当n=2时，
6,16)2(,)2(222
2
222222==-+==+a a a S a 得…………2分
当n=3时，10,64)2(,)62(222
2323333==-++==+a a a S a 得 321,,a a a ∴分别等于2，6，10…………3分
（2）)2(8
)2(,8)2(,2222
112≥+=+=∴=+--n a S a S S a n n n n n n …………4分 0)4()(,8
)2(8)2(112121=--⋅++-+=-=∴----n n n n n n n n n a a a a a a S S a 整理得 4,0,011=-∴>>--n n n n a a a a …………6分，由（1）21=a ，
}{n a ∴是以2为首项，4为公差的等差数列，
∴数列的通项公式)(24),1(42*∈-=-+=N n n a n a n n 即…………8分
若用数学归纳法相应给分
（3）令=-+-+--+=-+=-=++)]11
212()11212[(21)2(21,111n n n n a a a a c b c n n n n n n n 则 1
21121+--n n …………10分 1)1
211(lim )(lim )(lim 2121=+-=+++=-+++∴∞→∞→∞→n c c c n b b b n n n n n ……12分 21．解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，
d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立……1分 0,0==∴d b …………2分 c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，
1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,3
1-==c a …4分 （2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分
假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直， 则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,12
22211-=-=x k x k ，
且1)1()1(2221-=-⋅-x x …………（*）…………7分
1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x
此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………8分
证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令，
或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，
]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且32)1()(,32)1()(min max -===
-=f x f f x f ……10分 ∴在[－1，1]上，]1,1[,,3
2|)(|21-∈≤x x x f 于是时， 3
43232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .…………12分
22．解（1）由0))),)=-⋅+-⊥+得到…………1分
又),13(,13(),,1(),0,(y x b y x b y b x a --=-+=+==………2分 0)()13()13(=-⋅+-⋅+∴y y x x ，故所求的轨迹方程是1322=-y x ……4分
（2）设),(11y x A 、),(22y x B ，把1312
2=--=y x kx y 代入，得 366,003,022)3(222±≠<<->∆≠-=-+-k k k kx x k 且得且由……6分 ∵A 、B 在y 轴的同一侧，021>∴x x ，得到33>
-<k k 或…………7分 综上，得)6,3()3,6( --∈k .…………8分
（3）由（2）得32221-=+k k x x …………① 3
2221-=k x x …………② 1,12211-=-=kx y kx y ……③………………9分
∵曲线C 与x 轴交点)0,33(1M 、)0,3
3(2-M ，若存在实数k ，符合题意，则 ,MB MA ⊥不妨取点0)33()33(,0,2121111=+-⋅-
=⋅y y x x B M A M M 得……11分
将①②③式代入上式,整理得到03322=--k k ,解得3(23=-=k k 舍去）……13分 根据曲线的对称性，知存在实数2
3±=k ，使得以AB 为直径的圆恰好过M 点…14分。