2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(江西)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（江西）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简2)1(42i i
++的结果是
A ．2＋i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．－2－i 2．1
lim 231--→x x x x
A ．等于0
B ．等于l
C ．等于3
D ．不存在
3．若3)4
tan(=-απ，则cot α等于
A ．－2
B ．21-
C ．21
D ．2 4．已知(
x ＋33x )n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n
等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．若0＜x ＜2
π，则下列命题中正确的是
A ．sin x ＜x π3
B ．sin x ＞x π
3 C ．sin x ＜224x π D ．sin x ＞224x π 6．若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012}，则N 中元素的个数为
A ．9
B ．6
C ．4
D ．2
7．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂
足为点H ．则以下命题中，错误的命题是
A ．点H 是△A 1BD 的垂心
B ．AH 垂直平面CB 1D 1
C ．AH 的延长线经过点C 1
D ．直线AH 和BB 1所成角为45°
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、
杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是
A ．h 2＞h 1＞h 4
B ．h 1＞h 2＞h 3
C ．h 3＞h 2＞h 4
D ．h 2＞h 4＞h 1
9．设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝2
1,右焦点为F (c ,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1,x 2)
A ．必在圆x 2＋y 2＝2内
B ．必在圆x 2＋y 2＝2上
C ．必在圆x 2＋y 2＝2外
D ．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A ．19 B ．112 C ．115 D ．118
11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为
A ．－
B ．0
C ．
D ．5 12．设12ln )(:2++++=mx x x e x f p x 在(0，＋∞)内单调递增，5:-≥m q ，则p
是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 ．
14．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p +q ，若a 1=9
1，则a 36＝ ． 15．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线
AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若n m ==,,则m +n 的值
为 ．
16．设有一组圆)(2)3()1(:*422N k k k y k x C k ∈=-++-．下列四个
命题：
A ．存在一条定直线与所有的圆均相切
B ．存在一条定直线与所有的圆均相交
C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交
D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧
≤++=-
)
1(2)
0(1)(2＜＜＜x c k c x cx x f c x 在区间(0，
1)
内连续,且89
)(2=c f ．
（1）求实数k 和c 的值；
（2）解不等式182
)(+＞x f
18．（本小题满分12分）
如图,函数的
图象与y 轴交于点(0，)，且在该点处切线的斜
率为一2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A(，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是P A的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6，
0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到
的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A l B l C1＝90°，
AA l＝4，BB l＝2，CC l＝3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B—AC—A1的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，
∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两
点,试确定λ的范围,使OM·ON＝0,其中点
O为坐标原点．
22．（本小题满分14分）
设正整数数列{a n }满足：a 2＝4，且对于任何 n ∈N *，有n n n n a n n a a a 121
111
1211++-++++＜＜． （1）求a 1，a 3；
（2）求数列{ a n }的通项a n ．
参考答案
1．C
【解析】略
2．B
【解析】略
3．A
【解析】略
4．C
【解析】略
5．D
【解析】略
6．C
【解析】略
7．D
【详解】
因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面
A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D.
8．A
【解析】略
9．A
【解析】略
10．B
【分析】
先求出将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的情况，再求出若不考虑限制它落地时向上的点数情况，前者除以后者即可．
【详解】
∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列
∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5
共有6×
2=12种情况， 也可全相同，有6种情况
∴共有18种情况
若不考虑限制，有36=216 落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
18121612= 故选：B.
【点睛】
在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n
=
求得概率 11．B
【解析】
试题分析：根据导数的定义，曲线在的切线的斜率为，因为函数()f x 是上以5为周期的可导偶函数，所以
因为()f x 是上的偶函数，所以必有，故曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为0 考点：导数的定义，导数的几何意义，周期函数的性质，定义在R 上的偶函数的性质
12．B
【解析】略
13．[5)+，∞
【解析】略
14．4
【解析】略
15．2
【解析】略
16．B,D
17．（1）1k =,12
c = （2
）()1f x >+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
【解析】解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12
c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤在12x =处连续， 所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩
≤
由()1f x >
+得，当102x <<
12x <<． 当112x <≤时，解得1528
x <≤，
所以()1f x >
+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．（1）θ=π6,ω=2
（2）x 0=
2π3或x 0=3π4． 【解析】
解：（1）将x =0，y =√3代入函数y =2cos(ωx +θ)得cosθ=√32， 因为0≤θ≤π2，所以θ=π6．
又因为y ′=−2ωsin(ωx +θ)，y ′|
x=0=−2，θ=π6，所以ω=2， 因此y =2cos(2x +π6)．
（2）因为点A(π2，0)，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0=√32， 所以点P 的坐标为(2x 0−π2，√3)．
又因为点P 在y =2cos(2x +π6)的图象上，所以cos(4x 0−
5π6)=√32． 因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0−
5π6≤19π6， 从而得4x 0−
5π6=11π6或4x 0−5π6=13π6． 即x 0=2π3或x 0=3π4．
19．（1）)()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
（2）()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=
【解析】解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，
（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 )()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，
所以~(30.3)B ξ，，
故30.30.9E np ξ==⨯=．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===，
所以3
(0)(10.3)0.343P ξ==-=， 2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，
2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，
3(3)0.30.027P ξ===．
于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．
20．(1)OC ∥平面A 1B 1C 1
(2) 二面角的大小为30∘
(3)
【解析】
（1）证明：作OD ∥AA 1交A 1B 1于D ，连C 1D ．
则OD ∥BB 1∥CC 1．
因为O 是AB 的中点，
所以OD =12(AA 1+BB 1)=3=CC 1．
则ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D ．
C 1
D ⊂平面C 1D ⊂且OC ⊄平面C 1D ⊂，
则OC ⊄面C 1D ⊂．
（2）如图，过O 作截面BA 2C 2∥面C 1D ⊂，分别交AA 1，AA 1于A 2，A 2．
作BH ⊥A 2C 2于B ，连CH ．
因为A 1B 1C 1面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥BH ，则BH ⊥平面AA 1．
又因为AB =√5，AB =√5，AC =√3⇒AB 2=BC 2+AC 2．
所以BC ⊥AC ，根据三垂线定理知BC ⊥AC ，所以∠BCH 就是所求二面角的平面角． 因为BH =√22，所以sin∠BCH =BH BC =12，故∠BCH =30∘， 即：所求二面角的大小为30∘．
（3）因为BH =√22
，所以
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系，
则∠BCH ，A(0，1，4)，∠BCH ，因为O 是AB 的中点，所以BH =
√22
， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−12
，0)． 易知，n ⃗ =(0，0，1)是平面C 1D ⊂的一个法向量．
因为n ⃗ =(0，0，1)，OC ⊄平面C 1D ⊂，所以OC ⊄平面C 1D ⊂．
（2）AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−1，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， 设m ⃗⃗ =(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则
则得：{−y −2z =0x +z =0 取x =−z =1，m ⃗⃗ =(1，2，−1)．
显然，l
=(1，1，0)为平面C(1，0，3)的一个法向量． 则
,
结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)的大小是30∘． （3）同解法一． 21．（1）动点P 的轨迹C 为双曲线，方程为：22
11x y λλ
-=-
（223λ<<23
λ< 【解析】解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，
2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），
点P 的轨迹C 是以A B ，
为焦点，实轴长2a =的双曲线． 方程为：22
11x y λλ
-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．
即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<
，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-． 由22
11(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩
得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦， 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122
(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22
2
12122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--． 因为0=⋅ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以
2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩
．
由①②知，1223
λ<≤． 解法二：（1）同解法一
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．
①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=
-=⇒+-=-， 因为01λ<<
，所以12
λ=；
②当12x x ≠时，002222212111111y x k y x y x MN ⋅-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--λλλ
λλλ． 又001
MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭
2
20001(1)21x x x λλ
=-=+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-． 于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)
y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2
(1)123λλ
->-，又01λ<<，
23λ<<
23
λ<． 22．（1）11a =，39a =
（2）对任意n ∈*N ，2n a n =
【解析】解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭
① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837
a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭
， 解得3810a <<，所以39a =．
（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．
下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝
⎭ 2212(1)(1)11
k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22
212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22
(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]2
2(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011
k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．
故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．
由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．
（2）方法二：
由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．
下面用数学归纳法证明． 1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k
a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k
+++++<+<+ ② 由②左式，得21
11k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，
则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k
+++-+-+<=． 则23
1(1)(1)k k k a k k +-+>+．
因为两端为正整数，则243
1(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221
(1)11k k k k
a k k k k k +++=+--+-+≥．
又因2k ≥时，1k a +为正整数，则2
1(1)k a k ++≥
④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2
n a n =成立．
由1，2知，对任意n ∈*N ，2
n a n =．。