《对数的运算性质》 讲义

《对数的运算性质》讲义
一、对数的定义
在数学中，如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠ 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝ log_a
N\）。

其中，＼（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。

例如，因为\（2^3 ＝ 8\），所以\（log_2 8 ＝ 3\）。

二、对数的运算性质
1、积的对数
＼（log_a （MN) ＝ log_a M ＋ log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））
为了理解这个性质，我们可以假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（a^p ＝ M\），＼（a^q ＝ N\）。

那么\（MN ＝ a^p × a^q ＝ a^｛p ＋ q}＼）
所以\（log_a （MN) ＝ p ＋ q ＝ log_a M ＋ log_a N\）
例如，＼（log_2 4×8 ＝ log_2 4 ＋ log_2 8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5\）
2、商的对数
＼（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））
同样假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（M ＝
a^p\），＼（N ＝ a^q\）
那么\（＼frac{M}｛N} ＝＼frac{a^p}｛a^q} ＝ a^｛p q}＼）
所以\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ p q ＝ log_a M log_a N\）
比如，＼（log_3 ＼frac{27}｛9} ＝ log_3 27 log_3 9 ＝ 3 2 ＝ 1\）
3、幂的对数
＼（log_a M^n ＝ n log_a M\）（＼（M ＞ 0\））
设\（log_a M ＝ p\），则\（M ＝ a^p\）
那么\（M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^｛pn}＼）
所以\（log_a M^n ＝ pn ＝ n log_a M\）
例如，＼（log_5 25^2 ＝ 2 log_5 25 ＝ 2×2 ＝ 4\）
三、对数运算性质的应用
1、化简计算
例 1：计算\（log_2 8 ＋ log_2 16\）
＼
＼begin{align}
log_2 8 ＋ log_2 16&＝log_2 （8×16)＼＼
＆＝log_2 128\＼
＆＝7
＼end{align}
＼
例 2：计算\（log_3 27 log_3 9\）
＼
＼begin{align}
log_3 27 log_3 9&＝log_3 ＼frac{27}｛9}＼＼
＆＝log_3 3\＼
＆＝1
＼end{align}
＼
2、求解方程
例 3：解方程\（log_2 （x ＋ 1) ＋ log_2 （x 1) ＝ 3\）＼
＼begin{align}
log_2 （x ＋ 1)（x 1)＆＝3\＼
（x ＋ 1)（x 1)＆＝2^3\＼
x^2 1 ＆＝ 8\＼
x^2 ＆＝ 9\＼
x ＆＝ ±3
＼end{align}
＼
但因为对数中的真数必须大于\（0\），所以\（x ＝ 3\）3、证明等式
例 4：证明\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\）
则\（M ＝ a^p\），＼（N ＝ a^q\）
＼
＼begin{align}
log_a ＼frac{M}｛N}＆＝log_a ＼frac{a^p}｛a^q}＼＼
＆＝log_a a^｛p q}＼＼
＆＝p q\＼
＆＝log_a M log_a N
＼end{align}
＼
四、对数运算性质的注意事项
1、对数的底数\（a\）必须大于\（0\）且不等于\（1\）。

2、真数\（M\）、＼（N\）必须大于\（0\）。

3、在运用对数运算性质时，要注意检查运算条件是否满足。

总之，对数的运算性质是对数运算中的重要规律，熟练掌握这些性质，能够帮助我们更加高效、准确地进行对数的运算和相关问题的解决。

通过不断的练习和应用，我们能够更好地理解和运用对数的知识，为进一步学习数学打下坚实的基础。

希望同学们在学习过程中，多思考、多练习，不断提高自己的数学能力。