2019届四川省高三联合诊断数学(文)试题(解析版)21

高三联合诊断
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合
则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．复数（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．若函数的定义域是
，则
的定义域为（ ）
A ．R
B ．
C ．
D ．
4．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数
的最小正周期为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．与直线关于x 轴对称的直线的方程是（ ） A ． B ． C ．
D ．
7．由直线1y x =+上的一点向圆()2
231x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A ．1
B ．
C
D ．3 8．函数22x y x =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知双曲线的右焦点为F ，则点F 到C 的渐近线的距离为
（ ）
A ．3
B ．
C ．a
D ．
10．若函数
有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，
4AC =，AB ⊥AC ，112AA =，则球O 的半径为（ ）
A ．
2
B ．
C ．132
D ．12．若函数满足，当时，，当时，
的最大值为，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．e C ．2 D ．1
二、填空题
13．已知，
，向量与的夹角大小为60°，若
与
垂直，则
实数
_____．
14．设函数211log (2),1,
()2,1,
x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ．
15．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为
__________． 16．已知函数
则满足不等式成立的实数的取值
范围是_____．
三、解答题
17．等差数列中，．
（1）求的通项公式．
（2）记为的前项和，若，求m．
18．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：
x258911
y1210887
（1）求y关于x的回归方程；
（2）判定y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰
梯形，且，平面ABCD⊥平面ABEF
（1）求证：BE⊥DF；
（2）求三棱锥C﹣AEF的体积V．
20．如图，A、B分别是椭圆
22
1
3620
x y
+=的左、右端点，F是椭圆的右焦点，
点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
（1）点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
21．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若的图象在处的切线斜率为2，求；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线
（为参数，）．
（Ⅰ）若曲线与曲线有一个公共点在轴上，求的值；
（Ⅱ）当时，曲线与曲线交于两点，求两点的距离．
23．已知定义在上的函数，，若存在实数使成立.
（1）求实数的值；
（2）若，，，求证：.
高三联合诊断数学（文）试题【解析】
一、单选题
1．已知集合则=（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：根据题意得，，，所以.故本题正确答案为D.
【考点】集合的运算，集合的含义与表示.
2．复数（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接利用复数乘法的运算法则求解即可.
【详解】
由复数乘法的运算法则可得，
,故选C．
【点睛】
本题主要考查复数乘法的运算法则，意在考查对基本运算的掌握情况，属于基础题.
3．若函数的定义域是，则的定义域为（）
A．R B．C．D．
【答案】A
【解析】直接利用求抽象函数定义域的方法，由可得.
【详解】
∵的定义域是,
∴满足,
∴,∴的定义域为．故选A．
【点睛】
本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数
的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
4．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用特殊角的三角函数化为点，判断角的终边所在象限，从而可得结果.
【详解】
角的终边上一点坐标为，
即为点在第四象限，
且满足，且，故的最小正值为，故选C．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数以及根据角终边上点的坐标求角，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
5．函数的最小正周期为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】化简，利用周期公式可得结果.
【详解】
因为函数
，
所以最小正周期为，故选C ．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式，以及正弦函数的周
期公式，属于中档题. 函数的最小正周期为.
6．与直线关于x 轴对称的直线的方程是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】D
【解析】利用所求直线的点的坐标，关于轴的对称点的坐标
在已知的直线上求解即可. 【详解】
设所求直线上点的坐标，
则关于轴的对称点的坐标在已知的直线
上，
所以所求对称直线方程为：,故选D ．
【点睛】
本题主要考查对称直线的方程，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
7．由直线1y x =+上的一点向圆()2
231x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）．
A ．1
B ．
C
D ．3 【答案】C
【解析】因为切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取
得，圆心()3,0到直线的距离为d =
=1，那么切线
== 故选C ．
8．函数2
=-的图象大致是（）
y x
2x
A．B．C．
D．
【答案】A
【解析】由2
-=0得两个正根和一个负根，所以舍去B,C；因为2x x
x y
→-∞→-∞，所以舍D,选A..
,
9．已知双曲线的右焦点为F，则点F到C的渐近线的距离为（）
A．3 B．C．a D．
【答案】B
【解析】由双曲线的方程求出焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式化简可得结果.
【详解】
因为双曲线的右焦点为，渐近线,
所以点到渐近线的距离为，故选B．
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为. 10．若函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数
有两个零点，等价于
的图象与轴有两个
交点，利用导数研究函数的单调性性、求出最小值，令最小值小于零即可得结果. 【详解】 ∵函数有两个零点，
所以的图象与轴有两个交点， ∴函数
，
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数；
故当时，函数取最小值
， 又∵
，
；
∴若使函数有两个零点，则
且
，即
，故选B ．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性及零点，属于中档题. 函数零点的
几种等价形式：函数
的零点
函数
在轴的交点
方程
的根函数
与
的交点.
11．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，
4AC =，AB ⊥AC ，112AA =，则球O 的半径为（ ）
A ．
2
B ．
C ．132
D ．【答案】C
【解析】试题分析：因为三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，所以可以把三棱柱111ABC A B C -补成长宽高分别是3,4,12的长方体，且长方体的 外
接球就是三棱柱的外接球，根据长方体的性质可知外接球的直径2r等于长方
，所以
13
2
r=，故选C.
【考点】1、三棱柱及长方体的性质；2、多面体外接球的性质及半径的求法.【方法点睛】本题主要考查三棱柱及长方体的性质；多面体外接球的性质及半径的求法，属于难题.，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用2222
4R a b c
=++（,,
a b c为三棱的长）；②若SA⊥面ABC（SA a
=），则222
44
R r a
=+（r为ABC
∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题的解答是利用方法③进行的. 12．若函数满足，当时，，当时，
的最大值为，则实数a的值为（）
A．3 B．e C．2 D．1
【答案】D
【解析】若时，则，可得，由此可得时，，利用导数研究函数的单调性，由单调性可得，从而可得结果.
【详解】
由已知得：，
当时，，
设时，则，∴
∴时，
∴，
∵，∴，∴，
∴当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴，∴，
故选D．
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.
求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程
求出函数定义域内的所有根；(4) 判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左
减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
二、填空题
13．已知，，向量与的夹角大小为60°，若与垂直，则实数_____．
【答案】
【解析】先利用平面向量数量积公式求出的值，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.
【详解】
根据题意得，，
∴,而
∴
, ∴
故答案为﹣7． 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算
主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于
向量模的平方
.
14．设函数211log (2),1,
()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩
,2(2)(log 12)f f -+= ．
【答案】9 【
解
析
】
试
题
分
析
：
由
题
设
可
得62122)12(log ,321)2(1112log 22=⨯===+=---f f ,故
963)12(log )2(2=+=+-f f ,故应填答案9. 【考点】对数函数指数函数的概念及性质的运用．
15．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为
__________． 【答案】
【解析】试题分析：作出可行域如下图所示，当直线
过可行域中的点
时，的最小值．
【考点】线性规划． 16．已知函数
则满足不等式
成立的实数的取值
范围是_____．
【答案】
【解析】利用导数判断函数为增函数，利用奇偶性的定义判断为奇函数，从而可将，转化为，利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
由，得，∴函数为增函数，
又，∴为奇函数．
由，得
即，∴．解得．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的应用与利用导数研究函数的单调，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往先确定所给区间上的单调性，根据奇偶性转化为函数值的不等关系，然后再根据单调性列不等式求解.
三、解答题
17．等差数列中，．
（1）求的通项公式．
（2）记为的前项和，若，求m．
【答案】（1）；（2） .
【解析】（1）根据等差数列中，列出关于首项、公差
的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由
，利用等差数列求和公式列方程求解即可.
【详解】
（1）等差数列的公差为d，
∵，
∴，
解方程可得，=1，，
∴；
（2）由（1）可知，，
由，可得，，
∴m=6或m=﹣10（舍），故m=6．
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 18．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：
x258911
y1210887
（1）求y关于x的回归方程；
（2）判定y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．
【答案】（1）；（2）负相关，预测约为9.56千元.
【解析】(1)根据所给的数据，求出变量的平均数，根据最小二乘法所需要
的数据求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程
上，求出的值，可得出线性回归方程；(2)将代入所求的线性回归方程求出对应的的值，即可预测该店当日的营额.
【详解】
（1），
．
，
，
∴，．
∴回归方程为：．
（2）∵，∴y与x之间是负相关．
当x=6时，．
∴该店当日的营业额约为9.56千元．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的
值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本
点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰
梯形，且
，平面ABCD ⊥平面ABEF
（1）求证：BE ⊥DF ；
（2）求三棱锥C ﹣AEF 的体积V ．
【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】（1）取的中点，连结，则，利用勾股定理可得，由
面面垂直的性质可得 平面
，可得
，由此可得 平面
，则
平面，从而可得结果；（2）平面
，可得
，由（1）
得，
平面
，由棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
（1）取EF 的中点G ，连结AG ， ∵EF=2AB，∴AB=EG，
又AB∥EG，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴AG∥BE，且AG=BE=AF=2，
在△AGF 中，GF=，AG=AF=2，
∴
，∴AG⊥AF，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD⊥AB， 又平面ABCD⊥平面ABEF ，且平面ABCD
平面ABEF=AB ，
∴AD⊥平面ABEF ，又AG 平面ABEF ，
∴AD⊥AG， ∵AD
AF=A ，∴AG⊥平面ADF ，
∵AG∥BE，∴BE⊥平面ADF ， ∵DF
平面ADF ，∴BE⊥DF；
（2）∵CD∥AB 且平面ABEF ，BA
平面ABEF ，
∴CD∥平面ABEF ，∴
，
由（1）得，DA⊥平面ABEF ，
∵，∴．
【点睛】
本题主要考查面面垂直的性质、线面垂直的判定定理与性质，属于中档题. 解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；解答本题的关键是由面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直，线线垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直.
20．如图，A 、B 分别是椭圆22
13620
x y +
=的左、右端点，F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF. （1）点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.
【答案】（1）32⎛ ⎝⎭
（2【解析】试题分析：（1）先求出PA 、F 的坐标，设出P 的坐标，求出、
的坐标，由题意可得，且y ＞0，
解方程组求得点P 的坐标．
（2）求出直线AP 的方程，设点M 的坐标，由M 到直线AP 的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M 的距离d 的平方得解析式，配方求得最小值． 试题解析：
（1）由已知可得点A （﹣6，0），F （4，0），设点P （x ，y ），则=（x+6，
y ），
=（x ﹣4，y ）．
由已知可得
，2x 2+9x ﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．
由于y ＞0，只能x=，于是y=
．∴点P 的坐标是32⎛ ⎝⎭
．
（2）直线AP 的方程是 ，即 x ﹣
y+6=0．
设点M （m ，0），则M 到直线AP 的距离是．
于是
=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M （2，0）．
设椭圆上的点（x ，y ）到点M 的距离为d ，有 d 2=（x ﹣2）2+y 2 =x 2﹣4x+4+20﹣x 2 =（x ﹣）2+15，
∴当x=时，d 21．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若的图象在
处的切线斜率为2，求；
（2）若
有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）求出，根据导数的几何意义，由，解方程即
可得结果；（2）由，得，利用导数可得在
上递减；在上，递增，，结合时，
时
，从而可得结果.
【详解】
（1），
，∴．
（2）由，得，
记
，则，
，
，
递减；
时，
，
递增．
∴． 而x→0时
，
时
，
故．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数零点，以及导数的几何意义的应用，属于中
档题.导数几何意义的应用主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求
斜率,即求该点处的导数
；(2) 己知斜率求切点
即解方程
；(3) 巳知切线过某点
(不是切点) 求切点, 设出切点
利用求解.
22．在平面直角坐标系
中，已知曲线（为参数）与曲线
（为参数，
）．
（Ⅰ）若曲线与曲线有一个公共点在轴上，求的值；
（Ⅱ）当时，曲线与曲线交于两点，求两点的距离．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）曲线化成,令可得与轴的交点,曲线直角坐标方程为,利用与轴的交点；（2）当时,
曲线化为.利用点到直线的距离公式可得:圆心到直线的距离为
,利用弦长公式可得.
试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，
曲线与轴交点为，
曲线的直角坐标方程为，
曲线与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在轴上，知
（2）当时，曲线，为圆，
圆心到直线的距离，
所以两点在距离
【考点】参数方程化成普通方程.
23．已知定义在上的函数，，若存在实数使成立.
（1）求实数的值；
（2）若，，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析。

【解析】（1）
由三角绝对值不等式可得，因存在实数
使
成立，所
以，从而可得结果；（2）
由
，，可
得
，化简可得，由
，利用基本不等式可得结果.
【详解】
（1）因为，
因存在实数使成立，所以，
解之得，
因为，所以；
（2）因，，所以
，
因为，所以，所以，
因为
，且时等号成立，
又，
，所以等号不成立，.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成
立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用
或时等号能否同时成立）.
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