高二数学选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介

高二数学选修4-4柱坐标系与球坐标系简介
本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.
一、 温故而知新 1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？
2．如何确定一个球面上的点的位置？
回顾：
二、 重点、难点都在这里
【问题1】：（1）点A 的柱坐标是)7,6,
2(π
，则它的直角坐标是； （2）点B 的直角坐标是)4,3,
1(，则它的柱坐标是.
练一练：
3．点P 的柱坐标是)2,3,
4(-π，则它的直角坐标是.
4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-
，则它的柱坐标是.
【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4
,4,2(ππ，则它的直角坐标是； （2）点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是.
课前小测
典型问题
【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.
5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,32,4(),1,6,
2(-ππQ P .
6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：
)23,,5(),35,2,4(ππππB A .
7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,
1,1(--N M .
8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
9．设M 的球坐标为)45,4,
2(ππ，则它的柱坐标为.
10．在球坐标系中，)4,6,
3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是.
11．球坐标满足方程3=r
的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.
应该记住的内容：
重点内容：
个人心得：
12．点A 的柱坐标是)4,6,2(-
，则它的直角坐标是.
13．点M 的球坐标是)65,3,
8(ππ，则它的直角坐标是.
14．点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是.
15．在球坐标系中，)6,4,4(ππM 与)3
2,4,4(ππN 两点间的距离是.
七、 记下你的疑惑
本课质疑
§—第三课时答案
【问题1】解：（1）∵7,6
,2===z πθρ， ∴7,1sin ,3cos =====z y x θρθρ，
∴点A 的直角坐标是)7,1,3(
； （2）∵4,3,1===z y x
， ∴4,3tan ,222====+=z x y y x θρ
， ∵0,0>>y x ，∴3π
θ=，
∴点B 的柱坐标是)4,3,2(π
.
【问题2】解：（1）∵4,4,2πθπϕ===r
， ∴1sin sin ,1cos sin ====θϕθϕr y r x ，2cos ==ϕr z ，
∴点A 的直角坐标是)2,
1,1(； （2）∵22,2,2==-=z y x
， ∴4222=++=z y x r ，1tan -==
x y θ， 22cos ==
r z ϕ， ∵0,0,0>><z y x ，∴43π
θ=，4π
ϕ=，
∴点B 的柱坐标是)43,4,
4(ππ.
【问题3】解：
以正方体的一个顶点为极点，相邻的两条棱所在的射线分别为O X 轴和O Z 轴，建立如图所示的球坐标系，则有
),2,2,1(),4,2,2(),0,2,
1(),0,0,0(πππππC B A O ),4,33arccos ,3(),0,4,2(),0,0,1(ππF E D )2
,4,2(ππG . 1．建立柱坐标系，则圆柱侧面上一点的位置可用柱坐标),20,0(),,(R z z ∈<≤≥πθρθρ表示；
2．建立球坐标系，则球面上一点的位置可用球坐标)20,0,0(),,(πθπϕθϕ<≤≤≤≥r r 表示； 3．)2,32
,2(-； 4．)2,35,
2(π； 5．)3,32,2(),1,1,3(--Q P ；
6．)5,0,0(),0,32,2(--B A ；
7．),4
3,8(),4,6,22(ππππN M ； 8．答案不唯一.如图，设底面正⊿ABC 的中心为O ，以O 为极点建立柱坐标系与球坐标系.在柱坐标系中，)6,0,0(),0,34,3(),0,32,
3(),0,0,3(D C B A ππ. 在球坐标系中，),3
2,2,3(),0,2,3(πππ
B A )0,0,6(),3
4,2,3(D C ππ；
9．)2,4
5,2(π； 10．2
23； 11．由球坐标系中坐标r 的意义得，球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是以原点O 为球心，3为半径的球面，化成直角坐标方程是9222=++z y x
； 12．)4,1,3(-；
13．)4,32
,6(； 14．)3,4
3,23
(-π； 15．4．。