人教A版数学必修一3.1函数与方程.docx

高中数学学习材料
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3.1函数与方程
一、填空题
1．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
解析设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内．
答案 2
2．已知a是函数f(x)＝2x－log 1
2
x的零点，若0＜x
＜a，则f(x0)的值满足
________(与零的关系)．
解析因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0.
答案f(x0)＜0
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由f(x)＝ax＋b有零点2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－
2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零点x＝0和x＝－1 2 .
答案0，－1 2
4．设函数y(x)＝1
3
x－ln x(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零
点个数分别为________．
解析设y＝1
3
x与y＝ln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在
(1，＋∞)内仅有两个零点．
答案 0,2
5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．
解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根， 由根与系数的关系知⎩⎨
⎧
－2＋3＝－a ，
－2×3＝b ，
∴⎩⎨
⎧
a ＝－1，
b ＝－6，
∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0， 即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0， 解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －
32＜x ＜1.
答案 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－
32
＜x ＜1
6.已知函数()421x x f x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为 . 解析 由题知:方程4210x x m +⋅+=只有一个零点.令2(0)x t t =>, ∴方程210t m t +⋅+=只有一个正根.
∴由图象(图略)可知2
0240m m ⎧->,
⎪⎨⎪∆=-=.
⎩
∴m=-2.
答案 -2
7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1，x ＞0，
－x 2
－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则
实数m 的取值范围是________．
解析 画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个， ∴0＜m ＜1.
答案 (0,1)
8．偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调，函数，且f (0)·f (a )＜0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．
解析 由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根． 所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根． 答案 2
9．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＜0与
g (x 0)＜0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝ax －2a ＝a (x －2)，
当a ＜0时，x ＞2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7，舍去； 当a ＞0时，x ＜2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7. 综上，a ∈(7，＋∞)． 答案 (7，＋∞)
10.若二次函数2y ax bx c =++中ac<0,则函数的零点个数是______个． 解析 令20ax bx c ++=,
因0a ≠,判别式240b ac ∆=->,故函数必有两个零点. 答案 2
11．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 4
4－…
－x 2 011
2 011
，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ]
(a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________． 解析 由f ′(x )＝1－x ＋x 2
－x 3
＋…＋x
2 010
＝1＋x 2 0111＋x
，则f ′(x )＞0，f (x )为增
函数，又f (0)＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a ，b ]
包含上述区间(b －a )min ＝9. 答案 9
12．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件： ①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；
②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，
Q )与(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．
已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x 2＋4x ＋1，x ＜0，
2
e x
，x ≥0，
则f (x )的“友好点对”有________个．
解析 根据题意：“友好点对”，可知，只须作出
函数y ＝2x 2＋4x ＋1(x ＜0)的图象关于原点对称的图象， 看它与函数y ＝2
e x (x ≥0)交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2. 即f (x )的“友好点对”有：2个． 答案 2
13．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．
解析 因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，
f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即2＜k ＜3. 答案 (2,3) 二、解答题
14．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元
二次方程ax 2
－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.
综上，当a ＝0或a ＝－1
4
时，函数仅有一个零点．
15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．
解析 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 依题意得⎩⎨
⎧
m ＞0，
f 4＜0或⎩⎨
⎧
m ＜0，f 4＞0，即⎩⎨
⎧
m ＞0，26m ＋38＜0
或⎩⎨
⎧
m ＜0，26m ＋38＞0.
解得－
19
13
＜m ＜0， 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1913，0.
16已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．
思路分析 由题意可知，方程4x ＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
解析 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，
∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，
t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．
综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转
化为方程根的问题．
17．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间 [－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
解析 当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3的零点x ＝3
2
∉[－1,1]．
当a ≠0时，函数f (x )在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况． ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有 ⎩⎨
⎧
Δ＝4－8a －3－a ＞0，
f －1f
1＝
a －a －
或
⎩
⎨⎧
Δ＝4－8a －3－a
＝0，－1≤－f(12a
≤1，
)
解得1≤a ≤5或a ＝
－3－7
2
. ②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有
错误!
或错误! 解得a ＜
－3－7
2
或a ≥5. 综上，得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，
－3－72∪[5，＋∞)． 18．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
解析 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.
由题意，知⎩
⎨
⎧
Δ＝4m 2－m ＋＞0，x 1＋x 2＋＞0，x 1＋
＋
x 2＋
＞0
⇔
⎩⎨⎧
m 2－3m －4＞0，
3m ＋4－2m ＋1＞0，－2m ＋2＞0
⇔⎩⎨⎧
m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，
∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．
法二
由题意，知⎩⎨⎧
Δ＞0，
－m ＞－1，
f －1＞0，
即⎩⎨⎧
m 2－3m －4＞0，
m ＜1，
1－2m ＋3m ＋4＞0.
∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，
则|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，
h (x )＝－a .
作出g (x )，h (x )的图象． 由图象可知，当0＜－a ＜4，
即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，。