河北省涞水波峰中学高考数学模拟试题1文(含答案)

河北省涞水波峰中学高考数学模拟试题（1）文
一、选择题 (每小题5分，共60分)
1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝
A ．{x ｜0＜x ＜3}
B ．{0，1，2}
C ．{1，2}
D ．{x ｜0＜x ＜π}
2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、
《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为
A ．
35 B ．710 C ．45 D ．9
10
4．已知双曲线22
221y x a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的
离心率为
A ．
2
B C ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（
6π，0）对称；③在[0，4
π
]上是增函 数”的一个函数可以是
A ．3sin
24y x π＝（－） B ．sin 23
y x π
＝（－）
C ．2cos 23y x π＝（＋
） D ．sin 26
y x π
＝（＋） 6．在△ABC 中，若点D 满足CD uuu r ＝2DB uuu r ，点M 为AC 中点，则MD uuu r
＝
A ．
2136AB AC － B ．11
36AB AC － C ．
2133AB AC － D ．21
36
AB AC ＋ 7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a
＝f （－1），b ＝1
4
2log f （），c ＝f （20．3
），则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜b ＜c
8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半
径与圆柱的底面半径之比为
A
B ．2 C
．．4
9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝
1
n n
b b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为 A ．10
1312
（－） B ．10
118
（9－） C ．9
1126
（27－） D ．10
1126
（27－）
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出
的是某几何
体的三视图，则该几何体的体积为
A
B
．
643
－
C ．
6483π
－ D ．
643
π
－4 11．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]
上的
值域为[
2m ，2
n ]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x
＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是
A ．（0，
14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（1
4
，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：22
19
y x －＝
有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2
878a ＝ B ．2
12a ＝
C ．298
b ＝ D ．21b ＝
二 填空题(每小题5分，共20分).
13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪
⎨⎪⎩
＋－1≥，
－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．
14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD
＝，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC 外接球的表面积为
__________．
15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *
），
则8a ＝__________．
16．已知函数2
1
ln 2
f x a x x （
）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________． 二．
三，解答题。

(17题10分，后面每题12分，共70分).
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝
13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12
CD ，
AD
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求△ABD的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO⊥平面ABCD，四边形OAEF为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）若AB＝FO＝BD＝2，点H在线段BF上，且FH＝λFB，三棱锥B－AHC的体积等于三棱锥O－DEF的体积，求λ的值．
19．（本小题满分12分）
某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：
（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．
（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：
根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27
z y x e
＝
－（其中e ＝2．71828 …），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少 研发费用?
附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为
20．（本小题满分12分）
已知抛物线y 2
＝－2px （p ＞0）的焦点为F ，x 轴上方的点M （－2，m ）在抛物线上，且｜MF ｜＝5
2
，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当k 1＋k 2＝－2时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标．
21．（本小题满分12分）
设函数f （x ）＝ae x
－x ，g （x ）＝blnx ．
（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值；
（Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，
x k f x x （－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．
（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
2
1
x t
y t
⎧
⎨
⎩
＝－－，
＝＋
（t为参数），曲线C1
：y
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ
＝
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
α－．
（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求BA·BP的取值范围；
（Ⅱ）若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM｜－｜QN｜｜的值．
23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝｜x＋1｜＋a｜x＋2｜．
（Ⅰ）求a＝1时，f（x）≤3的解集；
（Ⅱ）若f（x）有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）
1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．
13． 5． 14．π6. 15.
425． 16．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3
1
84222⋅
-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216
943642cos 2
222a
a CD AC AC CD AD ADC -+=
⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693
642cos 22
2
22a
c a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分
又π=∠+∠ADC ADB
0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423
222
=+-c a -----------------------② 联
立
①
②
得
，
6
=c 即
6=AB ---------------------------------------------------------------8分
（Ⅱ）3
1
cos =
∠CAB 322cos =∠∴CAB
28sin 21
=∠⨯⨯⨯=
∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10
分
32
831=
=∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分
18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴
．
∵平面
，
平面
，
∴．----------------------------------------------------------------2分
又四边形为平行四边形，
∴∥
， ∴，
，------------------------------------------------------4分 ∵，∴平面
．
∵平面， ∴平面平面
．----------------------------------------------------6分
（Ⅱ）∵
，四边形
为菱形，
∴为等边三角形，且，．
∵，，，
∴
平面
，
∴四棱锥AOFE D -的体积为
．
33
21===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分
∵
平面
，点在线段
上，且
，
所以点到平面
的距离
．
所以，
解得21
=
λ------------------------------------------------------------12分
19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得
，即
-------------------2分
由表中数据得：
，
∴()(
)()
3
1
ˆ2
1
2
1
1
2
1
=
--=
---=∑∑∑∑====u
n u v
u n v u u u v
v u u
d
n
i i i n
i i n
i i
i n
i i
，-------------------------------4分
∴，∴，
∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，
∴，--------------------------------------------------------8分
令，得，
且当
时，单调递增；
当时，单调递减．----------------------------------10分
所以当
千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.
答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2
5
22=--=P MF ， 1
=∴p
抛
物
线
的
方
程
为
x y 22-=-------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2- 当
直
线
l
斜率不存在时，此时B A ,重合，舍
去.-------------------------------------------------------5分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：
⎩⎨⎧-=+=x
y b kx y 22
()0222
22=+++b x kb x k 2
212
2k kb x x --=
+，2221k b x x =——————————————————①-------------7分 又22
2
22221121-=+-++-=
+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx
()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx
将①带入得，()01222
=+---b k b b
即()()0221=--+k b b
得1-=b 或k b 22+=--------------------------------------------------------------------------------------10分
当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-
当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去）
所以直线l 恒过定点()1,0----------------------------------------------------------------------------------12分
21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x
-+=+=ln ()1-+='x b ae x h x
由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x +-+<1
1 设
()x e x x F x +-+=11 ()()()212---='x x x e x e e x F -------------------------------------------------6分
令()2--=x e x R x
()1-='x e x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立 ()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R
()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分 ()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x
()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分
()0x F k <∴ 2max =∴k
--------------------------------------------------------------------12分
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B
1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，
[]
12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分
（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x 直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m
设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m
221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号
2
21=+=-∴m m QN QM
------------------------------------------------------------------10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 解析：（1）当1a =时，232()|1||2|1
21231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩
()3f x ≤
当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-
当21x -<<-时()13f x =≤恒成立
当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤
综上可得解集[3,0]-………………5分
（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩
当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-； 当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值；
当1a =-时，()f x 有最小值1-；
当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。