第一章 章末检测试卷(一))

第一章章末检测试卷(一))
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0
D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
考点全称命题的否定
题点识别全称命题的否定
答案 C
解析全称命题的否定是存在性命题．
全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0.
考点充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点必要不充分条件的判断
答案 C
解析当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．
4．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
考点四种命题的真假判断
题点由四种命题的关系判断命题的真假
答案 D
解析原命题和逆命题是真命题，故逆否命题和否命题也是真命题．
5．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝
5
2，命题q：
∀x∈R，都有x2＋2x＋3>0.给出下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
其中正确的是()
A．②④B．②③
C．③④D．①②③
考点逻辑联结词与量词的综合应用
题点逻辑联结词与量词的综合应用
答案 B
解析因为p为假命题，q为真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，所以“p且q”为假命题，“p且綈q”为假命题，“綈p或q”为真命题，“綈p或綈q”为真命题．
6．“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的
()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点逻辑联结词与充要条件的综合应用
题点逻辑联结词与充要条件的综合应用
答案 B
解析p∨q是真命题⇒p与q至少有一个是真命题⇏p∧q是真命题，
p∧q是真命题⇒p∨q是真命题．
所以“p∨q”是真命题是“p∧q”是真命题的必要不充条件．
7．“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
考点四种条件
题点识别四种条件
答案 C
解析任意x∈[1,2]，x2－a≤0⇔a≥4，
又{a|a≥5}{a|a≥4}，
∴“a≥5”是“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．
8．给出以下四种命题：
①若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题；
②“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；
③“∀x∈R，x2＋x≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋x≤1”；
④“x>0”是“x＋1
x≥2”的充要条件．
其中正确的命题是() A．①②B．②③C．①④D．②④
考点四种命题及命题的否定
题点四种命题及命题的否定
答案 D
解析选项①中，若p∨q为真命题，则p与q 只需有一个为真命题即可，故①不正确；
选项③中，∀x∈R，x2＋x≥1的否定为∃x∈R，x2＋x<1，故③不正确．
9．若命题“∃x∈R，使ax2＋x－1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()
A．a<－1
4B．a>－1 4
C．a≥－1
4D．a≤－
1
4
考点存在性命题
题点由存在性命题的真假求参数的范围
答案 D
解析由题意知∀x∈R，ax2＋x－1≤0是真命
题．
当a ＝0时，x －1≤0，
得x ≤1，所以不成立．
当a ≠0时，由⎩
⎨⎧
a <0，Δ＝12＋4a ≤0， 得a ≤－14
，故选D. 10．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )
A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B
B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B
C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B
D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B
考点 全称命题的否定
题点 识别全称命题的否定
答案 D
解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B.故选D.
11．已知命题p：
1
x＋1
>0；命题q：lg(x＋1＋
1－x2)有意义，则綈p是綈q的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点四种条件与等价命题
题点四种条件与等价命题
答案 A
解析由p得x>－1，由q得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，
故綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )
A ．m >－1，n <5
B ．m <－1，n <5
C ．m >－1，n >5
D ．m <－1，n >5
考点 充要条件的探求与证明
题点 探求充要条件
答案 A
解析 A ∩(∁U B )满足⎩⎨⎧ 2x －y ＋m >0，x ＋y －n >0，
∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎨⎧ 2×2－3＋m >0，2＋3－n >0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m >－1，n <5. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为
____________，命题的否定为____________． 考点 否命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b
14．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －
1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．
考点 p ∧q 形式的命题
题点 由p ∧q 的真假求参数的范围
答案 ⎝
⎛⎦⎥⎥⎤12，23 解析 由y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数， ∴3a 2≤1，即a ≤23
， ∴p ：a ≤23
. ∵y ＝(2a －1)x 为减函数，
∴0<2a －1<1，即12
<a <1. ∴q ：12
<a <1， ∵p 且q 为真命题，∴p 与q 均为真命题， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23，12<a <1，
∴a 的取值范围是12<a ≤23
. 15．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．
考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由充分条件求参数的范围
答案 (－∞，－3]
解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B
＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，故a ≤－3.
16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．
①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0；
②∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.
考点 全称命题与存在性命题
题点 全称命题与存在性命题的真假判断 答案 4
解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0， 故①是真命题；
②中x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1一定是有理数， 故②是真命题；
③中当α＝π4，β＝－π4
时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题； ④中当x ＝4，y ＝1时，
3x －2y ＝10成立，故④是真命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知命题p ：x <－6或x >1，命题q ：5x －6>ax 2(a 为常数)．
(1)写出原命题“若p ：x <－6或x >1，则q ：5x －6>ax 2”的逆否命题．
(2)若p ⇔q ，则实数a 应满足什么条件？ 考点 四种条件
题点 由四种条件求参数的范围
解 (1)命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若5x －6≤ax 2，则－6≤x ≤1”．
(2)∵p ⇔q ，∴x <－6或x >1⇔5x －6>ax 2，即不等
式ax 2－5x ＋6<0的解集为{x |x ＜－6或x >1}，故方程ax 2－5x ＋6＝0有两根－6,1，即
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(－5)2－4a ×6>0，a (－6)2－5×(－6)＋6＝0，a －5×1＋6＝0，
解得a ＝－1，故实数a 应满足a ＝－1.
18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.
(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；
(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围．
考点 全称命题与存在性命题
题点 由命题的真假求参数范围
解 (1)A ＝{x |－2≤x ≤5}，
B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅.
∵“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， ∴B ⊆A ，B ≠∅，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，
2m －1≤5，解得2≤m ≤3.
(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，∵B ≠∅，
∴m ≥2，∴⎩⎨⎧ －2≤m ＋1≤5，m ≥2，
∴2≤m ≤4. 19．(12
分)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y | y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．
考点 充分条件、必要条件与充要条件的综合应用
题点 由四种条件由参数的范围
解 y ＝x 2
－32x ＋1 ＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －342＋716的对称轴为x ＝34， ∴y ＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x －342＋716在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34，2上为增函数， ∴716≤y ≤2，即A ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤716，2. 又B ＝{x |x ＋m 2≥1}＝{x |x ≥1－m 2}，
∵x ∈A ⇒x ∈B ，
∴716≥1－m 2，即m 2≥916，∴m ≥34或m ≤－34
. 即实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34，＋∞. 20．(12分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x 3
，则实数m 满足不等式f (m )＜2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R)有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围．
考点 p ∨q 与p ∧q 形式命题的综合应用 题点 由p ∨q 、p ∧q 的真假求参数的范围
解 p ：∵f (x )＝1－x 3
且f (m )＜2， ∴1－m 3
＜2，即m ＞－5. q ：∵关于x 的方程2x ＋m ＝0有根，
则m ＝－2x ，
∴m ＜0.
若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况；
①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎨⎧
m ＞－5，m ≥0，
∴m ≥0；
②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧
m ≤－5，m ＜0，
∴m ≤－5. 综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．
21．(12分)设命题p ：实数x 满足|x －1|>a ，其中a >0；命题q ：实数x 满足3x 2－x －6<1.
(1)若命题p 中a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若綈p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
考点 逻辑联结词与四种条件
题点 逻辑联结词与四种条件的综合应用
解 (1)当a ＝1时，p ：x >2或x <0，q ：－2<x <3， 又p ∧q 为真，∴p ，q 都为真，
∴由⎩⎨⎧ x >2或x <0，－2<x <3，
得－2<x <0或2<x <3， ∴实数x 的取值范围为(－2,0)∪(2,3)．
(2)p ：|x －1|>a ，∴x <1－a 或x >1＋a ，a >0， 綈p ：1－a ≤x ≤1＋a ，a >0.
∵綈p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋1≥3，
1－a ≤－2，
∴a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．
22．(12分)已知p ：x 2－8x －20≤0；q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.
(1)若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；
(2)若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．
考点 四种条件
题点 由四种条件求参数范围
解 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， 即p ：－2≤x ≤10，
q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.
(1)若p 是q 的必要条件，则⎩
⎨⎧ 1－m 2≥－2，
1＋m 2≤10， 即⎩⎨⎧
m 2≤3，m 2≤9，
即m 2≤3， 解得－3≤m ≤3，
即m 的取值范围是[－3，3]．
(2)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．
即⎩⎨⎧ 1－m 2≤－2，1＋m 2≥10，
(两个等号不同时成立) 即m 2≥9，解得m ≥3或m ≤－3.
即m 的取值范围是{m |m ≤－3或m ≥3}．。