2019年中考数学专题复习第五单元四边形第26课时正方形及中点四边形课件
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(2)设 EF=x,则 AE=x+2,BF=AE=x+2.
∵△ ABF≌△DAE,∴S 四边形
ABED=S△ BEF+S△ ABF+S△ ADE=S△ BEF+2S△ ABF=24.
பைடு நூலகம்
即 x(x+2)+ ×2(x+2)×2=24.
2 2
1
1
图26-4
解得:x1=4,x2=-10(舍去).∴EF=4,BF=6,
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90° . ∴∠BAE+∠EAD=90° . ∵BF⊥AM,DE⊥AM, ∴∠DEA=∠AFB=90° , ∴∠EAD+∠EDA=90° . ∴∠BAE=∠EDA. ∴△ ABF≌△DAE.∴AE=BF.
图26-4
课堂考点探究
例 1 [2018· 潍坊] 如图 26-4,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F, 连接 BE. (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的 面积为 24,求∠EBF 的正弦值.
∴BE= 42 + 62 =2 13. ∴sin∠EBF=������������ =2
������������ 4 13
=
2 13 13
.
课堂考点探究
针对训练
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
[2018· 聊城] 如图 26-5,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一 点,连接 AE,过点 B 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (1)求证:AE=BF; (2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长.
课前双基巩固
判定正方形的思路图:
课前双基巩固
考点二 中点四边形
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 常见 结论 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是① 菱形 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是② 矩形 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是③ 正方形 常见 结论 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是④ 菱形 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是⑤ 矩形
第 26 课时
正方形及中点四边形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
正方形
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (1)正方形对边平行 (2)正方形四边① 相等
正方形的定义
正方形的性质 (3)正方形四个角都是② 直角 (4)正方形对角线相等且互相③垂直平分,每条对角线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点 正方形的判定 (1)有一组邻边相等的④ 矩形 (2)有一个角是直角的⑤ 菱形 是正方形 是正方形
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90° , ∵BH⊥AE,垂足为点 H, ∴∠BAE+∠ABH=90° , ∵∠CBF+∠ABH=90° ,∴∠BAE=∠CBF.
∠������������������ = ∠������ = 90° , 在△ ABE 和△ BCF 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������������,
[答案]B
图 26-3 A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.平行四边形
课堂考点探究
探究一 正方形的性质
【命题角度】 (1)正方形结合等腰三角形的性质求角度或线段的长; (2)应用正方形的对称性解决线段求值或线段和(差) 的最值问题.
例 1 [2018· 潍坊] 如图 26-4,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F, 连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的 面积为 24,求∠EBF 的正弦值.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90° ,
图 26-2
∴∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED, ∴△ ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE. ∵AF-AE=EF,∴AF-BF=EF.
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】 在原四边形的基础上增加条件判定正方形知识混乱;对各 类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
1.[八下 P62 习题 18.2 第 13 题] 如图 26-1,E,F,M,N 分别是正方形 ABCD 四条边上的点,且 AE=BF=CM=DN,试判断四边形 EFMN 是什么图形,并证明你的结论.
解:四边形 EFMN 是正方形. 证明:∵AE=BF=CM=DN,∴N=DM=CF=BE.
3.下列命题,其中是真命题的为 ( )
[答案] D
A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的菱形是正方形 C.对角线相等的矩形是正方形 D.一组邻边相等的矩形是正方形
课前双基巩固
4.[2018· 湘潭] 如图 26-3,已知点 E,F,G,H 分别是菱形 ABCD 各 边的中点,则四边形 EFGH 是 ( )
∴△ ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.
图26-5
课堂考点探究
[2018· 聊城] 如图 26-5,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一 点,连接 AE,过点 B 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长.
课前双基巩固
2.[八下 P62 习题 18.2 第 15 题] 如图 26-2,四边形 ABCD 是正 方形.G 是 BC 上的任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF∥DE,且交 AG 于点 F.求证:AF-BF=EF.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90° . ∵DE⊥AG,∴∠AED=90° , ∴∠ADE+∠DAE=90° .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° , ∴△ ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF. ∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN. ∴四边形 EFMN 是菱形. ∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90° ,
图 26-1
∴∠ENA+∠DNM=90° ,∴∠ENM=90° , ∴四边形 EFMN 是正方形.
∵△ ABF≌△DAE,∴S 四边形
ABED=S△ BEF+S△ ABF+S△ ADE=S△ BEF+2S△ ABF=24.
பைடு நூலகம்
即 x(x+2)+ ×2(x+2)×2=24.
2 2
1
1
图26-4
解得:x1=4,x2=-10(舍去).∴EF=4,BF=6,
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90° . ∴∠BAE+∠EAD=90° . ∵BF⊥AM,DE⊥AM, ∴∠DEA=∠AFB=90° , ∴∠EAD+∠EDA=90° . ∴∠BAE=∠EDA. ∴△ ABF≌△DAE.∴AE=BF.
图26-4
课堂考点探究
例 1 [2018· 潍坊] 如图 26-4,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F, 连接 BE. (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的 面积为 24,求∠EBF 的正弦值.
∴BE= 42 + 62 =2 13. ∴sin∠EBF=������������ =2
������������ 4 13
=
2 13 13
.
课堂考点探究
针对训练
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
[2018· 聊城] 如图 26-5,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一 点,连接 AE,过点 B 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (1)求证:AE=BF; (2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长.
课前双基巩固
判定正方形的思路图:
课前双基巩固
考点二 中点四边形
定义 顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 常见 结论 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是① 菱形 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是② 矩形 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是③ 正方形 常见 结论 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是④ 菱形 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是⑤ 矩形
第 26 课时
正方形及中点四边形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
正方形
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (1)正方形对边平行 (2)正方形四边① 相等
正方形的定义
正方形的性质 (3)正方形四个角都是② 直角 (4)正方形对角线相等且互相③垂直平分,每条对角线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点 正方形的判定 (1)有一组邻边相等的④ 矩形 (2)有一个角是直角的⑤ 菱形 是正方形 是正方形
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90° , ∵BH⊥AE,垂足为点 H, ∴∠BAE+∠ABH=90° , ∵∠CBF+∠ABH=90° ,∴∠BAE=∠CBF.
∠������������������ = ∠������ = 90° , 在△ ABE 和△ BCF 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������������,
[答案]B
图 26-3 A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.平行四边形
课堂考点探究
探究一 正方形的性质
【命题角度】 (1)正方形结合等腰三角形的性质求角度或线段的长; (2)应用正方形的对称性解决线段求值或线段和(差) 的最值问题.
例 1 [2018· 潍坊] 如图 26-4,点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点,连接 AM,作 DE⊥AM 于点 E,BF⊥AM 于点 F, 连接 BE. (1)求证:AE=BF; (2)已知 AF=2,四边形 ABED 的 面积为 24,求∠EBF 的正弦值.
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90° ,
图 26-2
∴∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED, ∴△ ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE. ∵AF-AE=EF,∴AF-BF=EF.
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】 在原四边形的基础上增加条件判定正方形知识混乱;对各 类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
1.[八下 P62 习题 18.2 第 13 题] 如图 26-1,E,F,M,N 分别是正方形 ABCD 四条边上的点,且 AE=BF=CM=DN,试判断四边形 EFMN 是什么图形,并证明你的结论.
解:四边形 EFMN 是正方形. 证明:∵AE=BF=CM=DN,∴N=DM=CF=BE.
3.下列命题,其中是真命题的为 ( )
[答案] D
A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的菱形是正方形 C.对角线相等的矩形是正方形 D.一组邻边相等的矩形是正方形
课前双基巩固
4.[2018· 湘潭] 如图 26-3,已知点 E,F,G,H 分别是菱形 ABCD 各 边的中点,则四边形 EFGH 是 ( )
∴△ ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.
图26-5
课堂考点探究
[2018· 聊城] 如图 26-5,正方形 ABCD 中,E 是 BC 上的一 点,连接 AE,过点 B 作 BH⊥AE,垂足为点 H,延长 BH 交 CD 于点 F,连接 AF. (2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF 的长.
课前双基巩固
2.[八下 P62 习题 18.2 第 15 题] 如图 26-2,四边形 ABCD 是正 方形.G 是 BC 上的任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF∥DE,且交 AG 于点 F.求证:AF-BF=EF.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD=AB,∠BAD=90° . ∵DE⊥AG,∴∠AED=90° , ∴∠ADE+∠DAE=90° .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° , ∴△ ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF. ∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN. ∴四边形 EFMN 是菱形. ∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90° ,
图 26-1
∴∠ENA+∠DNM=90° ,∴∠ENM=90° , ∴四边形 EFMN 是正方形.