2020年九年级数学中考复习课件：11 一次函数的应用 (共40张PPT)
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答案：C
重难点2 分段收费问题 【例 2】 (2019·仙桃)某农贸公司销售一批玉米 种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部 分的种子价格打 8 折．设一次购买量为 x 千克，付 款金额为 y 元． (1)求 y 关于 x 的函数表达式；
(2)解释图中点 C 的实际意义，求出点 C 的坐标； 解：∵快车的速度为 120km/h， ∴快车驶完全程的时间为 720÷120＝6(h)， 此时慢车行驶的路程为 80×6＝480(km)． ∴点 C 的坐标为(6，480)． 点 C 表示的意义：当行驶时间为 6h 时，快车到 达了乙地，此时慢车已行驶 480km.
答：若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍 当月用电量为 100 千瓦时．
考点3 行程问题 4．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时 出发，沿同一路线相向而行，抵达对方出发地时停 止运动．设慢车行驶 xh 时，两车之间的路程为 ykm. 图 1.11-3 中折线 ABCD 表示 y 与 x 的函数关系，根 据图像，解决以下问题：
图答 1.11-1
∴PA3DO＝PO3BD，即P13O＝4－3P3O，解得 P3O＝1， 或 P3O＝3
∴点 P3 的坐标为(0，－1)或(0，－3)． 综上所述，点 P 的坐标为(0，－3.5)或(0，1.5) 或(0，－1)或(0，－3)．
跟踪训练 1．如图 1.11-4，在平面直角坐标系中，点 A(3， 4)，P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果△POA 是 等腰三角形，求点 P 的坐标．
图 1.11-2
(1)写出点 B 的实际意义； 解：图中点 B 的实际意义表示当用水 25m3 时， 所交水费为 90 元．
(2)求线段 AB 所在直线的函数表达式； 解：设第一阶梯用水的单价为 x 元/m3，则第二 阶梯用水单价为 1.5x 元/m3，
ax＝45， 设 A(a，45)，则ax＋1.5x（25－a）＝90.
图 1.11-5
解：存在． 如图答 1.11-2①，若点 P 在 OD 上，△PDB∽ △AOP， 则ODAP＝DOBP，即8－6OP＝O2P，解得 OP＝2 或 OP ＝6. ∴P(0，2)或 P(0，6)．
如图答 1.11-2②，若点 P 在 OD 上方，△PDB ∽△POA，
则PPDO＝DOBA，即OPO－P 8＝26，解得 OP＝12，∴P(0， 12)；
考点4 方案选择问题 5．(2018·巴中)学校需要添置教师办公桌椅 A， B 两型共 200 套，已知 2 套 A 型桌椅和 1 套 B 型桌 椅共需 2000 元，1 套 A 型桌椅和 3 套 B 型桌椅共需 3000 元． (1)求 A，B 两型桌椅的单价；
解：设 A 型桌椅的单价为 a 元，B 型桌椅的单 价为 b 元，
3．为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿
舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不
超过 a 千瓦时，则一个月的电费为 20 元；若超过 a
千瓦时，则除了交 20 元外，超过部分每千瓦时要交
a 元．某宿舍 100
3
月份用电
80
千瓦时，交电费
35
元；
4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元．
(1)求 a 的值； 解：根据 3 月份用电 80 千瓦时，交电费 35 元 得，20＋1a00(80－a)＝35，即 a2－80a＋1500＝0，解 得 a＝30 或 a＝50. 由 4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元，得 a≥45. ∴a＝50.
图 1.11-3
(1)慢车的速度为___8_0____km/h，快车的速度为 ____1_2_0__km/h；
解析：由图像可知两车 3.6h 相遇，且慢车行驶 9 小时驶完全程 720km，
∴慢车的速度为 720÷9＝80(km/h)， 设快车的速度为 xkm/h，根据相遇时间可得 3.6(80＋x)＝720，解得 x＝120.
关联知识 关联点 函数图像与特殊三角形的讨论 【例】 已知直线 y＝kx－6 经过点 A(1，－4)， 与 x 轴相交于点 B．若 P 是 y 轴上一点，且△ABP 为直角三角形，求点 P 的坐标．
解：把点 A 的坐标(1，－4)代入 y＝kx－6，得 －4＝k－6，解得 k＝2.∴y＝2x－6.
根据题意得2aa＋＋3bb＝＝23000000，，解得ba＝＝860000.，
答：A，B 两型桌椅的单价分别为 600 元，800 元．
(2)若需要 A 型桌椅不少于 120 套，B 型桌椅不 少于 70 套，平均每套桌椅需要运费 10 元．设购买 A 型桌椅 x 套时，总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数表达 式，并直接写出 x 的取值范围；
③PA＝PO 时，即|x|＝ （x－3）2＋42，解得 x ＝265，∴点 P 的坐标为265，0；
综上所述，点 P 的坐标为(6，0)或(5，0)或265，0.
2．如图 1.11-5，△ABC 中，A(－6，0)，B(2， 8)，C(6，0)，过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D．在 y 轴上 是否存在点 P，使以 P，B，D 为顶点的三角形与以 P，O，A 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出 满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
对于 y＝2x－6，令 x＝0，则 y＝－6，令 y＝0， 则 x＝3，
∴B(3，0)，直线与 y 轴的交点 C 的坐标为(0， －6)．
如图答 1.11-1，当∠BAP1＝90°时，易证△P1CA ∽△BCO，
∴OACC＝PB1CC，即 65＝3P1C5，解得 P1C＝2.5，∴ OP1＝3.5，
解：当 x≤5 时，y＝20x；当 x>5 时，y＝100＋ 16(x－5)＝16x＋20，∴y＝1260xx＋（2x0≤（5x）>，5）.
(2)某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多 少元？
解：当 x＝30 时，y＝16×30＋20＝500(元)． 答：某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款 500 元．
∴点 P1 Байду номын сангаас坐标为(0，－3.5)． 当∠ABP2＝90°时，易证△P2BO ∽△BCO， ∴PB2OO＝OOBC，即P32O＝36，解得 P2O＝1.5，
∴点 P2 的坐标为(0，1.5)． 过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，则 D(0，－4)． 当∠AP3B＝90°时，易证△P3BO ∽△AP3D，
a＝15， 解得x＝3. ∴A(15，45)． 设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝kx＋ b(k≠0)，
则4950＝＝1255kk＋＋bb，，解得kb＝ ＝－ 92，425. ∴线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝92x－425.
(3)某户 5 月份按照阶梯水价应缴水费 102 元， 其相应用水量为多少立方米？
∴点 P 的坐标为(0，2)或(0，6)或(0，12)或(0， 4＋2 7)或(0，4－2 7)．
图答 1.11-2
如图答 1.11-2③，若点 P 在 OD 上方，△PDB ∽△AOP，
则OPDA＝DOBP，即OP6－8＝O2P，
解得 OP＝4＋2 7或 OP＝4－2 7(不合题意，舍 去)，
∴P(0，4＋2 7)． 如图答 1.11-2④，若点 P 在 y 轴负半轴上，△ PDB∽△AOP， 则OPDA＝DOBP，即OP6＋8＝O2P，解得 OP＝－4＋ 2 7或 OP＝－4－2 7(不合题意，舍去)，∴P(0，4 －2 7)．
考点训练 考点1 路程—时间图像 1．(2019·随州)第一次“龟兔赛跑”，兔子因为 在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再 比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌 龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一 次输掉了比赛，则下列函数图像可以体现这次比赛 过程的是( )
答案: B
考点2 分段收费问题 2．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某 市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量 划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之 比等于 1∶1.5∶2.如图 1.11-2 折线表示实行阶梯水价 后每月水费 y(元)与用水量 x(m3)之间的函数关系．其 中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关 系．
图 1.11-4
解：∵A(3，4)，∴OA＝5.设点 P 的坐标为(x， 0)(x＞0)，
∴OP＝|x|，AP＝ （x－3）2＋42. ①AO＝AP 时，即 5＝ （x－3）2＋42，解得 x ＝0(舍去)或 x＝6，∴点 P 的坐标为(6，0)； ②OA＝OP 时，5＝|x|，解得 x＝－5(舍去)或 x ＝5，∴点 P 的坐标为(5，0)；
(2)若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍当 月用电量为多少千瓦时？
解：设月用电量为 x 千瓦时，交电费 y 元． 则 y＝2200（ ＋00.≤5（x≤x－505）0），（x＞50）. ∵5 月份交电费 45 元，∴5 月份用电量超过 50 千瓦时， ∴45＝20＋0.5(x－50)，解得 x＝100.
解：根据题意，得 y＝600x＋800(200－x)＋ 200×10＝－200x＋162000(120≤x≤130)．
(3)求出总费用最少的购置方案． 解：由(2)知，y＝－200x＋162000(120≤x≤130)， ∴当 x＝130 时，总费用最少， 即购买 A 型桌椅 130 套，购买 B 型桌椅 70 套， 总费用最少，最少费用为 136000 元．
(3)当 x 取何值时，y＝500? 解：由图像可知，两车相遇时间是 3.6h， 因此 y＝500 要分相遇前与相遇后两种情况． ①两车相遇前：(120＋80)x＝720－500，解得 x ＝1.1. ②两车相遇后，由点 C 的意义可知，快车到达 乙地时，两车相距 480km，此时快车停止运动，剩 下 20km 由慢车继续行驶，于是有 500－480＝(x－6)×80，解得 x＝6.25. 故当 x 的值为 1.1 或 6.25 时，y＝500.
11 一次函数的应用
重点突破
重难点1 路程—时间图像
【例 1】 (2019·东营)甲、乙两队参加了“端午 情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s(米) 与时间 t(秒)之间的函数图像如图 1.11-1 所示，请你 根据图像判断，下列说法正确的是( )
图 1.11-1
A．乙队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了 126 米 C．在 47.8 秒时，两队所走路程相等 D．从出发到 13.7 秒的时间段内，乙队的速度 慢
解：设该户 5 月份用水量为 ym3(y＞90)，由(2) 知第二阶梯用水的单价为 4.5 元/m3，
∵一、二、三级阶梯用水的单价之比等于
1∶1.5∶2， ∴第三阶梯用水的单价为 6 元/m3.∵90＜102， ∴90＋6(y－25)＝102，解得 y＝27. 答：该户 5 月份用水量为 27m3.
重难点2 分段收费问题 【例 2】 (2019·仙桃)某农贸公司销售一批玉米 种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部 分的种子价格打 8 折．设一次购买量为 x 千克，付 款金额为 y 元． (1)求 y 关于 x 的函数表达式；
(2)解释图中点 C 的实际意义，求出点 C 的坐标； 解：∵快车的速度为 120km/h， ∴快车驶完全程的时间为 720÷120＝6(h)， 此时慢车行驶的路程为 80×6＝480(km)． ∴点 C 的坐标为(6，480)． 点 C 表示的意义：当行驶时间为 6h 时，快车到 达了乙地，此时慢车已行驶 480km.
答：若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍 当月用电量为 100 千瓦时．
考点3 行程问题 4．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时 出发，沿同一路线相向而行，抵达对方出发地时停 止运动．设慢车行驶 xh 时，两车之间的路程为 ykm. 图 1.11-3 中折线 ABCD 表示 y 与 x 的函数关系，根 据图像，解决以下问题：
图答 1.11-1
∴PA3DO＝PO3BD，即P13O＝4－3P3O，解得 P3O＝1， 或 P3O＝3
∴点 P3 的坐标为(0，－1)或(0，－3)． 综上所述，点 P 的坐标为(0，－3.5)或(0，1.5) 或(0，－1)或(0，－3)．
跟踪训练 1．如图 1.11-4，在平面直角坐标系中，点 A(3， 4)，P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果△POA 是 等腰三角形，求点 P 的坐标．
图 1.11-2
(1)写出点 B 的实际意义； 解：图中点 B 的实际意义表示当用水 25m3 时， 所交水费为 90 元．
(2)求线段 AB 所在直线的函数表达式； 解：设第一阶梯用水的单价为 x 元/m3，则第二 阶梯用水单价为 1.5x 元/m3，
ax＝45， 设 A(a，45)，则ax＋1.5x（25－a）＝90.
图 1.11-5
解：存在． 如图答 1.11-2①，若点 P 在 OD 上，△PDB∽ △AOP， 则ODAP＝DOBP，即8－6OP＝O2P，解得 OP＝2 或 OP ＝6. ∴P(0，2)或 P(0，6)．
如图答 1.11-2②，若点 P 在 OD 上方，△PDB ∽△POA，
则PPDO＝DOBA，即OPO－P 8＝26，解得 OP＝12，∴P(0， 12)；
考点4 方案选择问题 5．(2018·巴中)学校需要添置教师办公桌椅 A， B 两型共 200 套，已知 2 套 A 型桌椅和 1 套 B 型桌 椅共需 2000 元，1 套 A 型桌椅和 3 套 B 型桌椅共需 3000 元． (1)求 A，B 两型桌椅的单价；
解：设 A 型桌椅的单价为 a 元，B 型桌椅的单 价为 b 元，
3．为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿
舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不
超过 a 千瓦时，则一个月的电费为 20 元；若超过 a
千瓦时，则除了交 20 元外，超过部分每千瓦时要交
a 元．某宿舍 100
3
月份用电
80
千瓦时，交电费
35
元；
4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元．
(1)求 a 的值； 解：根据 3 月份用电 80 千瓦时，交电费 35 元 得，20＋1a00(80－a)＝35，即 a2－80a＋1500＝0，解 得 a＝30 或 a＝50. 由 4 月份用电 45 千瓦时，交电费 20 元，得 a≥45. ∴a＝50.
图 1.11-3
(1)慢车的速度为___8_0____km/h，快车的速度为 ____1_2_0__km/h；
解析：由图像可知两车 3.6h 相遇，且慢车行驶 9 小时驶完全程 720km，
∴慢车的速度为 720÷9＝80(km/h)， 设快车的速度为 xkm/h，根据相遇时间可得 3.6(80＋x)＝720，解得 x＝120.
关联知识 关联点 函数图像与特殊三角形的讨论 【例】 已知直线 y＝kx－6 经过点 A(1，－4)， 与 x 轴相交于点 B．若 P 是 y 轴上一点，且△ABP 为直角三角形，求点 P 的坐标．
解：把点 A 的坐标(1，－4)代入 y＝kx－6，得 －4＝k－6，解得 k＝2.∴y＝2x－6.
根据题意得2aa＋＋3bb＝＝23000000，，解得ba＝＝860000.，
答：A，B 两型桌椅的单价分别为 600 元，800 元．
(2)若需要 A 型桌椅不少于 120 套，B 型桌椅不 少于 70 套，平均每套桌椅需要运费 10 元．设购买 A 型桌椅 x 套时，总费用为 y 元，求 y 与 x 的函数表达 式，并直接写出 x 的取值范围；
③PA＝PO 时，即|x|＝ （x－3）2＋42，解得 x ＝265，∴点 P 的坐标为265，0；
综上所述，点 P 的坐标为(6，0)或(5，0)或265，0.
2．如图 1.11-5，△ABC 中，A(－6，0)，B(2， 8)，C(6，0)，过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D．在 y 轴上 是否存在点 P，使以 P，B，D 为顶点的三角形与以 P，O，A 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出 满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
对于 y＝2x－6，令 x＝0，则 y＝－6，令 y＝0， 则 x＝3，
∴B(3，0)，直线与 y 轴的交点 C 的坐标为(0， －6)．
如图答 1.11-1，当∠BAP1＝90°时，易证△P1CA ∽△BCO，
∴OACC＝PB1CC，即 65＝3P1C5，解得 P1C＝2.5，∴ OP1＝3.5，
解：当 x≤5 时，y＝20x；当 x>5 时，y＝100＋ 16(x－5)＝16x＋20，∴y＝1260xx＋（2x0≤（5x）>，5）.
(2)某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多 少元？
解：当 x＝30 时，y＝16×30＋20＝500(元)． 答：某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款 500 元．
∴点 P1 Байду номын сангаас坐标为(0，－3.5)． 当∠ABP2＝90°时，易证△P2BO ∽△BCO， ∴PB2OO＝OOBC，即P32O＝36，解得 P2O＝1.5，
∴点 P2 的坐标为(0，1.5)． 过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，则 D(0，－4)． 当∠AP3B＝90°时，易证△P3BO ∽△AP3D，
a＝15， 解得x＝3. ∴A(15，45)． 设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝kx＋ b(k≠0)，
则4950＝＝1255kk＋＋bb，，解得kb＝ ＝－ 92，425. ∴线段 AB 所在直线的函数表达式为 y＝92x－425.
(3)某户 5 月份按照阶梯水价应缴水费 102 元， 其相应用水量为多少立方米？
∴点 P 的坐标为(0，2)或(0，6)或(0，12)或(0， 4＋2 7)或(0，4－2 7)．
图答 1.11-2
如图答 1.11-2③，若点 P 在 OD 上方，△PDB ∽△AOP，
则OPDA＝DOBP，即OP6－8＝O2P，
解得 OP＝4＋2 7或 OP＝4－2 7(不合题意，舍 去)，
∴P(0，4＋2 7)． 如图答 1.11-2④，若点 P 在 y 轴负半轴上，△ PDB∽△AOP， 则OPDA＝DOBP，即OP6＋8＝O2P，解得 OP＝－4＋ 2 7或 OP＝－4－2 7(不合题意，舍去)，∴P(0，4 －2 7)．
考点训练 考点1 路程—时间图像 1．(2019·随州)第一次“龟兔赛跑”，兔子因为 在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再 比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌 龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一 次输掉了比赛，则下列函数图像可以体现这次比赛 过程的是( )
答案: B
考点2 分段收费问题 2．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某 市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量 划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之 比等于 1∶1.5∶2.如图 1.11-2 折线表示实行阶梯水价 后每月水费 y(元)与用水量 x(m3)之间的函数关系．其 中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关 系．
图 1.11-4
解：∵A(3，4)，∴OA＝5.设点 P 的坐标为(x， 0)(x＞0)，
∴OP＝|x|，AP＝ （x－3）2＋42. ①AO＝AP 时，即 5＝ （x－3）2＋42，解得 x ＝0(舍去)或 x＝6，∴点 P 的坐标为(6，0)； ②OA＝OP 时，5＝|x|，解得 x＝－5(舍去)或 x ＝5，∴点 P 的坐标为(5，0)；
(2)若该宿舍 5 月份交电费 45 元，那么该宿舍当 月用电量为多少千瓦时？
解：设月用电量为 x 千瓦时，交电费 y 元． 则 y＝2200（ ＋00.≤5（x≤x－505）0），（x＞50）. ∵5 月份交电费 45 元，∴5 月份用电量超过 50 千瓦时， ∴45＝20＋0.5(x－50)，解得 x＝100.
解：根据题意，得 y＝600x＋800(200－x)＋ 200×10＝－200x＋162000(120≤x≤130)．
(3)求出总费用最少的购置方案． 解：由(2)知，y＝－200x＋162000(120≤x≤130)， ∴当 x＝130 时，总费用最少， 即购买 A 型桌椅 130 套，购买 B 型桌椅 70 套， 总费用最少，最少费用为 136000 元．
(3)当 x 取何值时，y＝500? 解：由图像可知，两车相遇时间是 3.6h， 因此 y＝500 要分相遇前与相遇后两种情况． ①两车相遇前：(120＋80)x＝720－500，解得 x ＝1.1. ②两车相遇后，由点 C 的意义可知，快车到达 乙地时，两车相距 480km，此时快车停止运动，剩 下 20km 由慢车继续行驶，于是有 500－480＝(x－6)×80，解得 x＝6.25. 故当 x 的值为 1.1 或 6.25 时，y＝500.
11 一次函数的应用
重点突破
重难点1 路程—时间图像
【例 1】 (2019·东营)甲、乙两队参加了“端午 情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s(米) 与时间 t(秒)之间的函数图像如图 1.11-1 所示，请你 根据图像判断，下列说法正确的是( )
图 1.11-1
A．乙队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了 126 米 C．在 47.8 秒时，两队所走路程相等 D．从出发到 13.7 秒的时间段内，乙队的速度 慢
解：设该户 5 月份用水量为 ym3(y＞90)，由(2) 知第二阶梯用水的单价为 4.5 元/m3，
∵一、二、三级阶梯用水的单价之比等于
1∶1.5∶2， ∴第三阶梯用水的单价为 6 元/m3.∵90＜102， ∴90＋6(y－25)＝102，解得 y＝27. 答：该户 5 月份用水量为 27m3.