直线方程综合大题归类高二数学选择性必修第一册)(原卷版)

专题5直线方程综合大题归类
目录
一、....热点题型归纳
【题型一】求直线方程 (1)
【题型二】平行线距离 (2)
【题型三】解三角形：求边对应的直线方程 (3)
【题型四】解三角形三大线：中线对应直线 (3)
【题型五】解三角形三大线：高对应直线 (4)
【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线 (4)
【题型七】最值：面积最值 (5)
【题型八】最值：截距与长度 (5)
【题型九】叠纸 (6)
【题型十】三直线 (7)
【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根 (7)
【题型十二】直线应用题 (8)
培优第一阶——基础过关练 (9)
培优第二阶——能力提升练 (10)
培优第三阶——培优拔尖练 (11)
【题型一】求直线方程
【典例分析】
（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()0,2A 和()4,6,C AB 所在直线的方程为240x y +-=.(1)求对角线BD 所在直线方程；
(2)已知直线l 过点()2,1P ，与直线AB 的夹角余弦值为
5
，求直线l 的方程.
1.（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）已知直线1l 的方程为280x y -+=，直线2l 的方程为4310x y +-=.
(1)设直线1l 与2l
的交点为P ，求过点P 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程；
(2)设直线3l 的方程为10ax y ++=，若直线3l 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的取值的集合.
2.（2022·全国·高二专题练习）如图，射线OA OB ，与x 轴正半轴的夹角分别为45︒和30︒，
过点()10P ，
的直线l 分别交OA ，OB
于点A B ，．(1)当线段AB 的中点为P 时，求l 的方程；(2)当线段AB 的中点在直线2
x y =上时，求l 的方程【题型二】平行线距离
【典例分析】
（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l 过点()2,3P ，且被平行直线1l ：3470x y +-=与2l ：3480x y ++=
所截取的线段长为l 的方程．
【变式训练】
1.（2022·江苏·高二专题练习）两平行直线1l ，2l 分别过(
)1,0A ，()0,5B .(1)1l ，2l 之间的距离为5，求两直线方程；
(2)若1l ，2l 之间的距离为d ，求d 的取值范围.
2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l 与2l 的方程分别为7890x y ++=，7830x y +-=，
直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的距离为1d ，与2l 的距离为2d ，且1212
d d =，求直线l 的方程．【题型三】解三角形：求边对应的直线方程
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，顶点A 的坐标为()5,4，直角边BC 所在的直线方程为2360x y +-=，求边AB 和AC 所在的直线方程．
1.（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的ABC 中，()1,1A ，()5,1B ，60A ∠=︒，45B ∠=︒，求：(1)AB 边所在直线的方程；(2)AC 边与BC 边所在直线的方程．
2.（2022·江苏·高二专题练习）已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与x ，y 轴分别交于P ，Q 两点，分别过点P ，Q 作直线20x y +=的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PQSR 的面积的最小值．
【题型四】解三角形三大线：中线对应直线
【典例分析】
（2021·江苏·高二专题练习）已知直线1:0l mx y m -+=，2:(1)0l x my m m +-+=，3:(1)(1)0l m x y m +-++=，记122331l l A l l B l l C ⋂=⋂=⋂=，，．
（1）当2m =时，求原点关于直线1l 的对称点坐标；
（2）在ABC 中，求BC 边上中线长的最小值．
1.（2021·湖北·华中师大一附中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.
（1）求BC 边所在直线的一般方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为()20x y t t R -+=∈，且ABC 的面积为4，求点A 的坐标.
2.（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知ABC 的顶点()0,4A ，()6,0B ，边AB 上的中线CM 的方程为10x y --=，边BC 所在直线的方程为27120
x y --=(1)求边AB 所在直线的方程，化为一般式；(2)求顶点C 的坐标.
【题型五】解三角形三大线：高对应直线
【典例分析】
（2022·江苏·高二课时练习）已知ABC 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线所在的直线方程为10y -=，AC 边上的高所在直线的方程为210x y -+=.分别求AC ，AB 边所在直线的方程.
1.（2021·湖北黄冈·高二期中）在ABC 中，()1,1A -，边AC 上的高BE 所在的直线方程为60x y +-=，边AB 上中线CM 所在的直线方程为4560x y -+=.
(1)求点C 坐标：
(2)求直线BC 的方程.
2.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．
(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．
【题型六】解三角形三大线：角平分线对应直线
【典例分析】
（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的一个顶点()2,4A -，且B Ð，C ∠的角平分线所在直线的方程依次是20x y +-=，360x y --=，求ABC 的三边所在直线的方程.
1.（2021·全国·高二专题练习）在ABC ∆中，已知(1,1)A ，(3,5)B --.
(1)若直线l 过点(2,0)M ，且点A ，B 到l 的距离相等，求直线l 的方程；
(2)若直线:260m x y --=为角C 的内角平分线，求直线BC 的方程.
2.（2020·上海·高二课时练习）已知：ABC 的顶点(2,3)A 和(1,1),--∠B ABC 的角平分线所在直线方程为320x y --=，求边BC 所在直线方程．
【题型七】最值：面积最值
【典例分析】
（2022·江苏南京·高二开学考试）已知直线l ：
20kx y k -++=()R k ∈.(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB 的面积为S （O 为坐标原点）
，求S 的最小值和此时直线l 的方程.
1.（2022·全国·高二课时练习）在直角坐标系中，已知射线:0(0)OA x y x -=≥，过点()3,1P 作直线分别交射线OA 、x 轴正半轴于点A 、B ．
(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的两点式方程；(2)求△OAB 面积的最小值．
2.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的方程为()()()120R 1a x y a a a ++--=∈≠-.
(1)若直线l 与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取得最小值时直线l 的方程.
【题型八】最值：截距与长度
【典例分析】
（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）一条直线经过点()3,4P ．分别求出满足下列条件的直线方程．
(1)与直线250x y -+=垂直；
(2)交x 轴、y 轴的正半轴于A ，B 两点，且PA PB ⋅取得最小值．
【变式训练】
1.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）在平面直角坐标系中，点()2,3A ，()1,1B ，直线:10l x y ++=.
(1)在直线l 上找一点C 使得AC BC +最小，并求这个最小值和点C 的坐标；
(2)在直线l 上找一点D 使得AD BD -最大，并求这个最大值和点D 的坐标.
2.（2022·全国·高二课时练习）已知()2,1P -．
(1)若直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)是否存在直线l ，使得直线l 过点P ，且原点到直线l 的距离为6？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【题型九】叠纸
【典例分析】
（2022·全国·高二单元测试）如图，OAB 是一张三角形纸片，∠AOB ＝90°，OA ＝1，OB ＝2，设直线l 与边OA ，AB 分别交于点M ，N ，将△AOB 沿直线l 折叠后，点A 落在边OB 上的点A '处．
(1)设OA m '=，试用m 表示点N 到OB 的距离；(2)求点N 到OB 距离的最大值．
1.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平面直角坐标中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，边AB ､AD 分别在x 轴､y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k ，则折痕所在的直线方程为__________.
2.（2021·安徽·桐城市第八中学高二阶段练习）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若108
k -≤≤时，求折痕长的取值范围．【题型十】三直线
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）平面上三条直线250x y -+=，10x y ++=，0x ky -=，如果这三条直线将平面划分为六个部分，求实数k 的所有可能的取值．
【变式训练】
1.（2022·江苏·高二课时练习）已知三条直线12:20(0),:4210l x y a a l x y -+=>-++=和3:10l x y +-=，且1l 与2l 的距离是7510．(1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ，使同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的1
2
；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 25若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【题型十一】直线与曲线：韦达定理与求根
【典例分析】
（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的轨迹方程;
(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k 【提分秘籍】
基本规律
1.直线与曲线有两个交点，则可以连立方程，消去一个变量后的一元二次方程有两个根。

1.（2022·江苏·高二专题练习）已知曲线22:40C x y -=．
(1)说明曲线C 是什么图形，并画出该图形；
(2)直线l 经过点)(2,1A ，与曲线C 交于M ，N 两点，且点A 是线段MN 的中点，求直线l 的方程；
(3)直线:1l y kx =+与曲线C 交于M ，N 两点，且8MN =，求直线l 的方程．
【题型十二】直线应用题
【典例分析】
（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），4tan 3
∠=BCO ．(1)求新桥BC 的长；(2)OM 长的范围是多少？
【变式训练】
1.（2022·江苏·高二）如图，在一段直的河岸同侧有A 、B 两个村庄，相距5km ，它们距河岸的距离分别为3km 、6km ．现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水．如果预计修建抽水站需8.25万元（含设备购置费和人工费），铺设输水管每米需用24.5元（含人工费和材料费）．现由镇政府拨款30万元，问A 、B 两村还需共同自筹资金多少才能完成此项工程？（精确到100元）
8.06=9.85= 3.28= 6.57=）
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 经过两条直线2380x y ++=和10x y --=的交点，且________，若直线m 与直线l 关于点(1,0)对称，求直线m 的方程．
试从①与直线3280x y ++=垂直，②在y 轴上的截距为12，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．
2.（2022·全国·高二期中）已知直线1:320l x y ++=与2:20l mx y n ++=平行，且直线1l 与直
线2l ，求m 、n 的值．
3.（2022·江苏·高二课时练习）在等腰直角三角形中，已知一条直角边所在直线的方程为20x y -=，斜边的中点为()4,2A ，求其它两边所在直线的方程.
4.（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）
、B （-2，-1）、C （4，3），
(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求AB 边的高所在直线方程.
5.（2022·全国·高二课时练习）三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C .
（1）求BC 边上的高所在直线的方程.
（2）求BC 边的垂直平分线的方程.
6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）在ABC 中，点()2,1A -，AB 边上中线所在的直线方程为360x y +-=，ABC ∠的内角平分线所在的直线方程为10x y -+=.（1）求点B 的坐标；
（2）求ABC 的边BC 所在直线的方程.
7.（2022·江苏·连云港高中高二开学考试）设直线l 的方程为()()120R a x y a a ++--=∈.
(1)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；
(2)若直线l 与x 轴､y 轴分别交于点,M N ，求MON △（O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程.
8.（2022·全国·高二单元测试）将一张纸沿直线l 对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，点()6,8C 与点(,)D m n 重叠.
(1)求直线l 的方程；(2)求m n +的值.
9.（2020·四川·石室中学高二阶段练习（理））如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为3，宽为2，边,AB AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合.将矩形折
叠，使点A 落在线段DC 上，已知折痕所在直线的斜率为12
-.
（1）求折痕所在的直线方程；
（2）若点P 为BC 的中点，求PEF 的面积.
培优第二阶——能力提升练
1.（2022·全国·高二课时练习）已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．
(1)若点Q 满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥，求点Q 的坐标；
(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．
2.（2022·全国·高二专题练习）已知两直线l 1与l 2，直线l 1经过点（0，3），直线l 2过点（4，0），且l 1∥l 2．(1)若l 1与l 2距离为4，求两直线的方程；(2)若l 1与l 2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
3.（2021·广东·南海中学高二阶段练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(1,4)A -、(2,1)B --、(2,3)C ．
(1)求边BC 的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；(2)求BCD △的面积．
4.（2022·全国·高二）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点()2,0C .
(1)求直线CD 的方程；(2)求AB 边上的高CE 所在直线的方程.
5.（2021·广东·佛山市顺德区文德学校高二阶段练习）已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x -2y +2=0上.
(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积.
6.（2021·全国·高二单元测试）已知ABC ，()1,0A
，(B ，3ABC π
∠=，x 轴为BC 边
中线．
（1）求AC 边所在直线方程；
（2）求A ∠内角角平分线所在直线方程．
7.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线():210R l kx y k k -++=∈.
(1)若直线l 不能过第三象限，求k 的取值范围；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，
交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
8..（2022·江苏·高二专题练习）过点(1,4)P 作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程．
9.（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;
（2）当20k -≤≤时，求折痕长的最大值．
培优第三阶——培优拔尖练
1.（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R 过定点T ，若直线l 被
直线60x y -+=和x 轴截得的线段恰好被定点T 平分，求k 的值.
2.（2022·江苏·高二课时练习）若点()1,2A 和()5,1B -到直线l 的距离都是()0m m >.
(1)根据m 的不同取值，讨论满足条件的直线l 有多少条？(2)从以下三个条件中：①2m =；②3m =；③52
m =；选择一个条件，求出直线l 的方程.3.
（2022·全国·高二专题练习）正方形ABCD 一条边AB 所在方程为350x y +-=，另一边CD 所在直线方程为370x y ++=，
(1)求正方形中心G 所在的直线方程；
(2)设正方形中心()00G x y ，，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求0x 的取值范围．
4.（2020·安徽·合肥市第五中学高二期中（理））已知ABC 的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，AC 的边上的高BH 所在直线方程为250x y = --．
(1)求顶点C 的坐标；(2)求直线BC 的方程．
5.（2022·江苏·高二专题练习）已知ABC 的顶点()5,1B ，AB 边上的高所在的直线方程为250x y --=．
(1)求直线AB 的方程；(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A 的平分线所在直线方程为2130
x y +-=②BC 边上的中线所在的直线方程为250
x y --=______，求直线AC 的方程．
6.（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC 的内角平分线CD 的方程为210x y +-=，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．（1）求点A 到直线CD 的距离；（2）求点C 的坐标．
7.（2020·北京十五中高二期中）已知直线12,l l 均过点P (1，2).
(1)若直线1l 过点A (-1，3)，且12l l ⊥求直线2l 的方程；
(2)如图，O 为坐标原点，若直线1l 的斜率为k ，其中02k <≤，且与y 轴交于点N ，直线2l 过点22(0,2)Q R
+，且与x 轴交于点M ，求直线12,l l 与两坐标轴围成的四边形PNOM 面积的最小值.
8.（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点()3,1P 作直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A ，B ．
(1)求AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求当AP PB ⋅取得最小值时直线l 的方程．
9.（2021·江苏·高二专题练习）将一张纸沿直线l 对折一次后，点()0,4A 与点()8,0B 重叠，点()6,8C 与点(),D m n 重叠.
（1）求直线l 的方程；
（2）求m n +的值；（3）直线l 上是否存在一点P ，使得||||||PB PC -存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.。