华师大版初中数学八年级下册《19.2.2 菱形的判定》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期《19.2.2 菱形的判定》
同步练习卷
一．选择题（共4小题）
1．如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（）
A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线D．CP=AP
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ABE=90°D．BE平分∠DBC 3．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD=∠DCE，
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）
A．AM=AN B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°
二．填空题（共2小题）
5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．
6．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=，平行四边形CDEB为菱形．
三．解答题（共32小题）
7．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M 交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．
8．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
9．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．
10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM=ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点E，F分别是AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
12．如图，在▱ABCD中，AB⊥BD，P，O分别为AD，BD的中点，延长PO交BC 于点Q，连结BP，DQ，求证：四边形PBQD是菱形．
13．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，
求证：四边形AEFG是菱形．
14．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
15．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A 作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．
16．在Rt△ABC中∠B=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D 作DE⊥AB于E，过A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接FC
求证：（1）△AEF≌△CED；
（2）四边形ADCF是菱形．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC 于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．
（1）求证：BF=CF．
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
判断四边形EBGD的形状，并说明理由．
19．已知，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA 上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求证：（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
21．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
22．如图，Rt△ABC中∠C=90°，D为AB的中点，分别作AE∥CB、BE∥AC，两线交于点E，连接DE．作EF∥AB交CB延长线于点F，取EF中点G，连接BG．问四边形DEGB是什么特殊四边形？说明理由．
23．如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如图2），保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上画出相应图形并写明结论．（画出图形，写明结论，不需证明）
（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图3），则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由．
24．已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点G恰好落在EF上．设BM 与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
26．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
27．在五边形ADBCE中，∠ADB=∠AEC=90°，∠DAB=∠EAC，M、N、O分别为AC、AB、BC的中点．
（1）求证：△EMO≌△OND；
（2）若AB=AC，且∠BAC=40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．
28．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC 于G，GF⊥BC于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．
29．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH=1，求BC的长；
（3）求证：EM=FG+MH．
30．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．
31．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．
（1）求证：四边形DFCE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．
32．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE=6，BF=8，CE=，求▱ABCD的面积．
33．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC 于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值．
34．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB 交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．
35．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
36．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD 上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交
AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
37．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
38．如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=8．求DE的长．
华师大新版八年级下学期《19.2.2 菱形的判定》
同步练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（）
A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线D．CP=AP
【分析】根据菱形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形CDPE是菱形，
∴∠DCP=∠ECP，
∴CP平分∠ACB，
故选：A．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．
2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ABE=90°D．BE平分∠DBC 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可；
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
C、∵∠ABE=90°，∴BD=DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确．故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键．
3．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD=∠DCE，
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由△ABC、△DCE是等边三角形，可求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD 是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD 是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断四边形ACED 是菱形，即③正确，继而判定④正确．
【解答】解：∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确；
∵四边形ACED是菱形，
∴∠ACD=∠DCE；故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定．解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形．
4．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）
A．AM=AN B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°
【分析】根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABM和△CDN中
，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM=CN，BM=DN，
∵AD=BC，
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥BC，
∴∠MNA=∠CMN，
∵MN是∠AMC的平分线，
∴∠NMA=∠NMC，
∴∠MNA=∠MAC，
∴∠MAC=∠NMA，
∴AM=AN，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．
二．填空题（共2小题）
5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．
【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP=BE，AO=EO，通过证△APG≌△EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．
【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG=AB=CD=FE，
在△EFG和△GBE中，，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO=BD=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，
在△APG和△EGP中，，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG=AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF=BE，
∵GP=BE=GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
6．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、
CB为边作平行四边形CDEB，当AD=，平行四边形CDEB为菱形．
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．
【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵AB•OC=AC•BC，
∴OC=．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB===，
∴AD=AB﹣2OB=．
故答案是：．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的对角线互相垂直平分．
三．解答题（共32小题）
7．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M 交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．
【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC交AD于M，交AC于E，
∵∠ABE=∠DBM，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠AEM=∠BMD，
∵∠AME=∠BMD，
∴∠AEM=∠AME，
∴AE=AM，
∵∠DAC的平分线交CD于N，
∴∠MAN=∠NAE，AN⊥ME，且AN平分ME，
在△BAO和△BNO中，
，
∴△ABO≌△NBO（ASA），
∴AO=NO，
∴AN和ME互相垂直平分，
∴四边形AMNE是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．8．已知：如图，AF∥DE，AC平分∠BAD交DE于点C，DB平分∠ADC交AF于点B，连接BC．求证：四边形ABCD是菱形
【分析】根据平行线的性质和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AF∥DE，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DB平分∠ADC交AF于点B，
∴∠ADB=∠BDC，
∵AF∥DE，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∴∠ADB+∠DAC=90°，
∴DB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形和菱形的判定解答．9．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．
【分析】（1）只要证明AD=BC，∠ADP=∠BCQ，DP=CQ即可解决问题；
（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB=AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCQ
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ．
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD=PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC，
∵∠APD+∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP是菱形．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM=ME；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．
【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP=∠BCP=30°，再根据角平分线的性质得PD=PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD=CE，然后证明△DCM≌△ECM得到DM=ME；
（2）利用∠DCP=30°得到PC=2PD，∠CPD=60°，则当DM=DP时，PD=PE=MD=ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD=PM，从而得到CM=PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，
∴PD=PE，
在Rt△DCP和Rt△ECP中
，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP，
∴CD=CE，
在△DCM和△ECM中
，
∴△DCM≌△ECM，
∴DM=ME；
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
理由如下：∵∠DCP=30°，
∴PC=2PD，∠CPD=60°，
∵PD=PE，MD=ME，
∴当DM=DP时，PD=PE=MD=ME，则四边形DMEP为菱形，
此时△PDM为等边三角形，
∴PD=PM，
∴CM=PM，
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形．也考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点E，F分别是AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形．
【解答】证明：
∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，
Rt△ACD中，DF=AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，在▱ABCD中，AB⊥BD，P，O分别为AD，BD的中点，延长PO交BC 于点Q，连结BP，DQ，求证：四边形PBQD是菱形．
【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
∵AP=PD，BQ=QC，
∴PB=PD=AP，DQ=BQ=QC，
∴PB=PD=BQ=DQ，
∴四边形PBQD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，
求证：四边形AEFG是菱形．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=∠CAD，根据角平分线性质求出AE=EF，由勾股定理求出AC=CF，证△ACG≌△FCG，推出∠CAD=∠CFG，得出∠B=∠CFG，推出GF∥AB，AD∥EF，得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可．【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），
∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AEFG是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也比较强．
14．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD，求证：
（1）AC⊥BD；
（2）四边形ABCD是菱形．
（1）证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；【分析】
（2）首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
【解答】证明：（1）∵AE∥BF，
∴∠BCA=∠CAD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠BCA=∠BAC，
∴△BAC是等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴AC⊥BD；
（2）∵△BAC是等腰三角形，
∴AB=CB，
∵∠CBD=∠ABD=∠BDA，
∴△ABD也是等腰三角形，
∴AB=AD，
∴DA=CB，
∵BC∥DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，难度不大．
15．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A 作AG∥DB交CB的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．
【分析】（1）根据已知条件证明AE=CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，
∴四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∵DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中．
16．在Rt△ABC中∠B=90°，∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D 作DE⊥AB于E，过A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接FC
求证：（1）△AEF≌△CED；
（2）四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得△AEF≌△CED；
（2）根据（1）中的全等三角形的性质推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠CDE，
在△AFE和△CDE中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS）．
（2）∵在Rt△ABC中∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AB=AC．
由（1）知，△AEF≌△CED，则AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，
∴△AED≌△ABD．
∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC 于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．
（1）求证：BF=CF．
（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由．
【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD=BD，进而可证明BF=CF；（2）当AC=BC时，四边形BCFD为菱形，根据菱形的判定得出即可；
【解答】解：
（1）证明：DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD=BF，
∴BF=CF；
（2）当AC=BC时，四边形BDCF为菱形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴DC=BD，
∵四边形BDCF是平行四边形，
∴四边形BDCF是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．
判断四边形EBGD的形状，并说明理由．
【分析】首先垂直平分线的性质得到BE=DE，BG=DG，再证明△BGF≌△DEF，得到DE=BG，利用四边相等的四边形是菱形得到结论．
【解答】解：四边形EBGD是菱形，
理由：∵EG垂直平分BD，
∴BE=DE，BG=DG，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBG，
∴∠DBG=∠EDB，
∵∠EFD=∠GFB，BF=DF，
∴△BGF≌△DEF，
∴DE=BG，
∴BE=DE=BG=DG，
∴四边形EBGD是菱形．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握四边形相等的四边形是菱形．
19．已知，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；
（2）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形．
【解答】解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；
（2）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形，
∵AB∥MP，点M是BC的中点，
∴==，
∴P是AC的中点，
∴PM是三角形ABC的中位线，
同理：QM是三角形ABC的中位线．
∵AB=AC，
∴QM=PM=AB=AC．
又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA 上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求证：（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG 是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．
【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）解：∵在ABCD中∠B=∠D，且AB=CD AD=BC
又∵AE=CG AH=CF，
∴BE=DG DH=BF，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF
又∵HE=GF
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EG平分∠HEF，
∴∠1=∠2
又∵HG∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴HE=HG，
∴EFGH是菱形；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
21．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
【解答】解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．22．如图，Rt△ABC中∠C=90°，D为AB的中点，分别作AE∥CB、BE∥AC，两线交于点E，连接DE．作EF∥AB交CB延长线于点F，取EF中点G，连接BG．问四边形DEGB是什么特殊四边形？说明理由．
【分析】由AE∥CB，BE∥AC，Rt△ABC中∠C=90°，可得四边形DEGB是矩形，△AEB和△EBF都是直角三角形，又由D、G分别是AB、EF的中点，可得四边形ABFE是平行四边形，继而可得ED=BD=EG=BG，则可证得四边形DEGB是菱形．
【解答】解：四边形DEGB是菱形．
理由：∵AE∥CB，BE∥AC，
∴四边形DEGB是平行四边形，
又∵∠C=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴∠AEB=∠CBE=90°，
∴△AEB和△EBF都是直角三角形，
又∵D、G分别是AB、EF的中点，
∴ED=BD，EG=BG，
∵AE∥BF，EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
又∵D、G分别是AB、EF的中点，
∴BD=EG，
∴ED=BD=EG=BG，
∴四边形DEGB是菱形．
【点评】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交。