广东佛山市2011届高三教学质量检测二理科数学试题

广东佛山市
2011届普通高中高三教学质量检测（二）
数学（理）试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集{}1,2,3,4,U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则()
U P Q =ð
A ．∅ B. {}1 C. {}2 D. {}1,2
2．若将复数
12i
i
+表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab 的值为 A ．-2 B ．21- C ．2 D ．2
1
3．在正项等比数列{}n a 中，若232a a +=，458a a +=，则56a a +=
A.16
B. 32
C. 36
D. 64
4．已知1x >，则1
1
y x x =+-的最小值为
A. 1
B. 2
C. D. 3
5．已知()(0,1)x f x a a a =>≠，()g x 为()f x 的反函数.若(2)(2)0f g -⋅<，那么()f x 与
()g x 在同一坐标系内的图像可能是
A B C D
6．设,x y 满足约束条件260
2600x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z x y =+的最大值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
7．设Rt △ABC 的三边长分别为a ，b ，c （c b a <<），则“::3:4:5a b c =”是“a ，b ，c 成等差数列”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 8．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数：
sin()y A x b ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为
A ．26C
B ．27C
C ．28C
D ．29C
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题) 9.已知2
,0
(),0
x x f x x x >⎧=⎨
≤⎩，则[(1)]f f -= ． 10. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次采购数 量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据
折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑， 则S = 元.
11.某射击爱好者一次击中目标的概率为p ，在某次射击训练中向
目标射击3次，记X 为击中目标的次数，且3
4DX =，则p =________. 12.已知双曲线22
1x y -=的一条渐近线与曲线313y x a =+相切，则a 的值为 ___.
13. 如右数表，为一组等式：某学生猜测
221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则3a b += ．
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14.（坐标系与参数方程）已知⊙O 的方程为
x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数），则⊙O 上的点到直线11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的距离的最大值为 ．
15.（几何证明选讲）如图，已知PA 是圆O 的切线， 切点为A ，直线PO 交圆O 于,B C 两点， 2AC =,
120PAB ∠=，则圆O 的面积为 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）
已知平面直角坐标系上的三点(0 1)A ，，(2 0)B -，，(cos sin )C θθ，（(0,)θπ∈），且BA 与OC 共线.
（1）求tan θ； （2）求sin(2)4
π
θ-的值.
1
23451,
235,45615,7891034,111213141565,
s s s s s ==+==++==+++==++++
=
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17．（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）
为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85)之间为良好；在[65,75)之间为合格；在
(0,60)之间，体能素质为不合格.
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图,并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价.
18．（本题满分14分）（第一问8分，第二问6分）
如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正 六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为
（1）证明：1DF ⊥平面11PA F ；
（2）求异面直线1DF 与11B C 所成角的余弦值．
65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93, 85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.
19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)
，且离心率为2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别
交直线:l x =,E F 两点.
证明：以线段EF 为直径的圆恒过x 轴上的定点.
20．（本题满分14分）（第一问5分，第二问4分，第三问5分）
已知数列{}n a ，{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++
++=-⋅+．
（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由； （3）求证：113
2n
i i i
a b =<∑．
21．（本题满分14分）（第一小题8分，第二小题6分）
（1）定理：若函数()f x 的图像在区间[,]a b 上连续，且在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.
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应用上述定理证明：
①1ln ln 1(0)x y
y x x y y x
-
<-<-<<； ②121
11
ln (1)n
n k k n n k k -==<<>∑∑ .
（2）设*()()n f x x n N =∈.若对任意的实数,x y ， ()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-恒成立，求n 所有可能的值.
参考答案
二、填空题（每题5分，共30分）
9．1 10．153000 11．
12 12．23或2
3
-（注：正确写出两个才得满分） 13．4 14． 15．4π
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）
解：（1）解法1：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，2分 ∵//BA OC ，∴2sin cos 0θθ-=， 4分 ∴1
tan 2
θ=
. 5分 解法2：由题意得：(2,1)BA =，(cos ,sin )OC θθ=，2分
∵//BA OC ，∴BA OC λ=，∴2cos 1sin λθ
λθ=⎧⎨=⎩
， 4分
∴1
tan 2
θ=
5分 解法3：由题意知，点C 为单元圆上的点，如图所示， ∵//BA OC ，∴//BA OC ，则BA OC k k =，3分 ∴1
tan 2
OC BA k k θ===；5分 （2）∵1tan 02
θ=
>，[0,)θπ∈，∴(0,)2πθ∈，
由22sin 1
cos 2sin cos 1
θθθθ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
，解得sin θ=
，cos θ= 8分
∴4
sin 22sin cos 25
θθθ===；22413cos 2cos sin 555θθθ=-=-=；
10分
∴43sin(2)sin 2cos cos 2sin 444525210
πππθθθ-=-=⨯-⨯=
．
12分
17．（本题满分12分）
解：(1)
评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分. 说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分. 频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分. 根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有
10
90030030
⨯=人 5分
(2) ξ的可能取值为0,1,2. 6分
211220*********
30303038409
(0),(1),(2).878787
C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= 8分
（上述3个对一个给1分） 分布列为：
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9分
所以，数学期望38409582()012878787873
E ξ=⨯
+⨯+⨯==. 10分
（3）答对下述三条中的一条即可给2分：
①估计该校高一学生中体能素质为优秀有10
90030030
⨯=人，占总人数的13，体能素
质为良好的有
1490042030
⨯=人，占总人数的7
15，体能素质为优秀或良好的共有2490072030
⨯=人，占总人数的4
5，说明该校高一学生体能素质良好.
②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有
1900330
⨯=人，占总人数的1
30，体能素质仅为合格的有5
90015030
⨯=人，占总人数的16，体能素质为不合格或仅为合格的
共有
6
90018030
⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼.
③根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有10
90030030
⨯=人，占总人数的13，
体能素质为良好的有
1490042030
⨯=人，占总人数的7
15，体能素质为优秀或良好的共有
2490072030
⨯=人，占总人数的4
5，但体能素质为不合格或仅为合格的共有6
90018030
⨯=人，占总人数的15，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步
提高，还需积极参加体育锻炼.
18．（本题满分14分）
解：（1）∵侧面全为矩形，∴1AF FF ⊥；
在正六边形ABCDEF 中，AF DF ⊥， 1分 又1DF
FF F =，∴AF ⊥平面1DFF ； 2分
∵11//AF A F ，∴11A F ⊥平面1DFF ； 又1DF ⊂平面1DFF ，∴111A F DF ⊥；5分
（注：也可以由勾股定理得到，利用勾股定理求得垂直关系2分） 在1DFF ∆中，12FF =
，DF =14DF =，
又11PF PD =
∴在平面11PA ADD
中，如图所示，PD ，
∴222
11DF PF PD +=，故11DF
PF ⊥； 7分 又1111A F PF F =，∴1DF ⊥平面11PA F ． 8分
（说明1：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了1DF
FF F = ，1DF ⊂平面
1DFF ，1111A F PF F =三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则
本题最多只能得4分）
（2）解法1：∵在正六边形111111A B C D E F 中1111//B
C F E ， ∴异面直线1DF 与11B C 所成角为11E F
D ∠（或其补角）； 10分 在11DF
E ∆中，14D
F =，112E F =
，1DE =， 11分
∴2221111111141683cos 22244
E F DF DE E F D E F DF +-+-∠===⋅⋅⨯⨯， 13分
∴异面直线1DF 与11B C 所成角的余弦值为
3
4
． 14分 解法2：以底面正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ， 以OD 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵(0,2,0)D
，11,2)B -
，1,2)C
，1(1,2)F -， ∴11(0,2,0)BC =
，1(3,2)DF =-， 11分
设异面直线1DF 与11B C 所成角为θ，则(0,
]2
π
θ∈，
∴11111111163
cos |cos ,|244
||||B C DF B C DF B C DF θ⋅-=<>===⨯⋅， 13分
∴
异
面
直
线
1DF 与
11
B C 所成角的余弦值为
3
4
． 14分 （说明1：坐标法，建系1分，写出四个坐标共2分，错一个或2个扣1分） 19．（本题满分14分）
解：（1）由题意可知，1b =，
1分
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而2
c a =
， 2分 且
222
a b c =+.
3分 解得
2
a =，
4分
所以，椭圆的方程为2
214
x y +=. 5分
（2）由题可得(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x y ， 6分 直线
AP
的方程为
0(2)2
y y x x =
++，
7分
令x =
则0
0(22y y x =+，
即0E ⎛ ⎝⎭
； 8分 直线
BP
的方程为
0(2)2
y y x x =
--，
9分
令x =
则0
0(22y y x =-，
即00(22y F x ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭
； 10分
证法一：设点(,0)M m 在以线段EF 为直径的圆上，则0ME MF ⋅=， 11分
即2
2
2
02)(04
y m x -+=-，
12分
22
2
4(4y m x ∴-=-， 而220014
x y +=，即22
0044y x =-，
2(1
m ∴-=
，1m ∴=
或
1
m =.
13分
所以以线段EF 为直径的圆必过
x 轴上的定
点1,0)
或1,0).
14分
证法二：以线段EF 为直径的圆为
2
00
(0
x y y
⎡⎡
-+⋅-=
⎢⎢
⎣⎦⎣⎦
11分
令0
y=，
得
2
20
2
(22)(22
(22)0
4
y
x
x
-+=
-
，
12分
∴
2
20
2
4
(
4
y
x
x
-=
-
，
而
2
2
1
4
x
y
+=，即22
00
44
y x
=-，
∴2
(1
x-=
，1
x
∴=
或1
x=.
13分
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定
点1,0)
或1,0).
14分
解法3：令(0,1)
P，则:1
21
AP
x y
l+=
-
，
令x=
得(22)
E6
分
同理
，(22
E.
7分
∴以EF为直径的圆
为22
((1)2
x y
-+-=
8分
当0
y=
时，1
x=+
1
x=-
∴圆
过(2
A B
9分
令
00
(,)
P x y，
直线AP的方程为0
(2)
2
y
y x
x
=+
+
，
令x=，
则0
(22)
2
y
y
x
=
+
，
即0
(22)
2,
2
y
E
x
⎛⎫
⎪
⎪
+
⎝⎭
；
10分
直线BP的方程为0
(2)
2
y
y x
x
=-
-
，
令x=
则0
(2
2
y
y
x
=
-
，
即0
(2
2
y
F
x
⎛⎫
⎪
⎪
-
⎝⎭
；11
分
∵
2
2
4
1
4
AE AF
y
k k
x
⋅
⋅==-
-
13分
∴A在以EF为直径的圆上.
同理，可知B也在EF为直径的圆上.
∴定点
为1,0),1,0)
A B
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14分 20．（本题满分14分）
解：方法一、（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， 1分
由11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+， 可得111223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+()2n ≥，
两式
相
减
可
得
1
2n n n a b n -⋅=⋅，即
n a n
=.
3分 当111n a ==时，，从而对一切
n N *
∈，都有
n a n
=.
4分 所以
数
列
{}
n a 的通项公式是
n a n
=.
5分
方法二、（猜想归纳法）求出11a = 1分 猜想
出
n a n =
2分
正确使用数学归纳
法
证
明
5分
（2）法1：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.
由（1）得，1
1
122,(1)n n n n n n a b n b a n d
--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ 6
分
11
1122()n n n n b a d a d nd d
n
--⋅=--++＝
7分 要使
1
n n
b b +是一个与n 无关的常数，当且仅当10a d =≠ 8分
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是
1
2n n b d
-=；
当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数
列． 9分
法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.
由（1）得，1
1
122,(1)n n n n n n a b n b a n d
--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ 6
分 若
数
列
{}
n b 是等比数列，则
21112
12[()]
n n b dn a n a d b dn a n
+++-=+ 7分
要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠.
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是
1
2n n b d
-=；8分
当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数
列． 9分
（3）证法1：由（1）知12n n n a b n -=⋅.
231
1111111
112232422n
n i i i a b n -==+++++
⨯⨯⨯⨯⨯∑
23111111111122222222n
n i i i
a b -=<+++++
⨯⨯⨯⨯⨯∑()
3n ≥
12分
2
11()1112114812
n --=++⨯
-
13分
11131442
≤++=
14分 证
法
2
：
证
明
其
加
强
命
题
：
1
1
31
22
n
n i i i
a b
=≤-∑ 11分
证明：①1n =时，左边=1，右边=1，不等式成立； ②假设n k =时，不等式成立.则1n k =+时，
1
111111311
2
(1)222(1)2k k
k k k k
i i i i a b k k k +-===+≤-+⋅++∑∑ 131131222222k k k +≤-+=-⋅；
13分
由①②知，对一切正整数，不等式1131
22n
n i i i
a b =≤-∑成立. 综上，知
113
2n
i i i
a b =<∑ 14分
证法3：由（1）知1
2
n n n a b n -=⋅.
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当3n ≥时，01
101
22()222n n n n n n n n n C C C C C C n n -=++
++≥+=+>，
∴
12n n ->
11分 ∴
122
11
22n n n --<⋅
∴
当
3
n ≥时，
462211
111111143
411422232
14n
n n i i i
a b -
=-
=+++++==<
-∑.
13分
又当1n =时，
111312a b =<， 当2n =时，112211153
1442
a b a b +=+=<，
综上，对一切自然数n ，都有113
2n
i i i
a b =<∑. 14分
21．（本题满分14分）
证明：①()ln ,f x x =1
()f ξξ
'=
，x y ξ<< 1分
（注1：只要构造出函数()ln f x x =即给1分） 故ln ln ,y x
y x ξ
--=又
y x y x y x
y x
ξ---<<*（） 2分
即1ln ln 1(0)x y
y x x y y x
-
<-<-<< 3分 ②证明：由*（）式可得2121
ln 2ln121
--<
-<
3232
ln 3ln 222
(1)(1)
ln ln(1)1
n n n n n n n n --<-<----<--<- 6分
上述不等式相加，得1
2111
ln (1)n n k k n n k k
-==<<>∑∑ 8分
（注：能给出叠加式中的任何一个即给1分，能给出一般式
(1)(1)
ln ln(1)1
n n n n n n n n ----<--<-，给出2分） （2）解法一、当1n =时，()()()()2x y
f x f y f x y +'-=-显然成立. 9分 当2n =时， 22
()()2()()()()22x y x y f x f y x y x y f x y ++'-=-=-=-.10分 下证当3n ≥时，等式()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-不恒成立.
（注：能猜出3n ≥时等式不恒成立即给1分） 不妨设0x y <<. 设1
()(
)()2
n
n
n x y F x x y n x y -+=--⋅-.则 11分 121
()(1)()()()
222
n n n x y x y x y F x nx n n n ---+-+'=---
12121222
22(1)(1)()()
222(2)()
22
(2)()
22[()]
2
()0
n n n n n n n n n n x y n x n y x y
nx n x y n x ny
nx n x y n x nx
nx n x y nx x nx x x ----------+---+=--+--=-+-->-+=->-= 13分
所以函数()F x 单调在(0,)y 上单调递增，所以()()0F x F y <=，即()F x 不恒为零. 故n 的所有可能值为1和2. 14分
解法二、当1n =时，()()(
)()2x y
f x f y f x y +'-=-显然成立. 9分 当2n =时， 22
()()2()()()()22x y x y f x f y x y x y f x y ++'-=-=-=-. 10分 下证当3n ≥时，等式()()()()2x y
f x f y f x y +'-=-不恒成立. 不妨设2,0x y ==，则已知条件化为：1
2n n -= 11分
当3n ≥时，11011
1112(11)n n n n n n C C C ------=+=+++
1121n C n n -≥+=+> 13分
因此，3n ≥时方程1
2n n -=无解.
故n 的所有可能值为1和2. 14分。