福建省厦门市2016-2017学年高二数学下学期期中试题文

福建省厦门市2016-2017学年高二数学下学期期中试题文
福建省厦门市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．) 1. 已知i 是虚数单位，若复数12i z i +=，则复数z =（ ） A
B
C ．3
D ．5 2．下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0．7x ＋a ，则a 等于( ) A ．10．5 B ．5．15 C ．5．2
D ．5．25
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y
后，曲线C 变为 曲线x ′2＋y ′2
＝0，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋9y 2＝0 B.25x 2＋9y 2＝1 C.9x 2＋
25y 2＝0 D.9x 2＋25y 2
＝1 4．已知直线1
:(2)50l m x y --+=与2
:(2)(3)20
l
m x m y -+-+=平行，则
实数m 的值为（ ） A. 4 B. 1或4 C. 1或2
D. 2或4
5．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度
6．如图所示，程序框图的输出结果为( ) A ．4 B.5 C.6 D.7
7. 函数f (x )＝4ln x －x 2
的大致图像是( )
8．若函数1ln 2
1
)(2
+-=x x
x f 在其定义域内的一个子区间
)
1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围为
（ ）
A.
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡23,1 B. [)+∞,1 C .[)2,1 D.⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡2,23 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙
D ．丁
10.已知P 是直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，
PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2
－2y ＝0的两条切线，切点分
别为A ，B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的
值为( )
A ．1
2 B ．1 C ．2 D. 3
11.设P 、Q 分别为2
2
(6)2
x
y +-=和椭圆
2
2110
x y +=上的点，则P 、
Q
两点间的最大距离是（ ）
A.
2
46+ C.27+
D.26
12.已知函数1
()ln 22
x f x =+，2
()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．
1ln2
- B ．
ln 2
C ．
3
D ．2
3
e
-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20
分．在答题卷上的相应题目作答．
13.关于x 不等式233x x ++≥的解集是 ． 14. 直线
1
cos 2
ρθ=
被圆
1
ρ=所截得的弦长为
________________.
15. 在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则
222
111
h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC
-的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面
ABC
上的高为
h
，
则 ．
16.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当
x ≠时，
()()0
f x f x x
+
'>，若
1122a f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
， ()22b f =--，
11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，则
,,a b c
的大小关系正确的
是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、
乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；
（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？
附：.
18.设函数()22f x x x =+--，()12g x x =+. （1）求不等式()()f x g x ≥的解集； （2）若x R ∀∈，()2
5f x t t
≥-恒成立，求实数t 的取值范围.
19. 已知曲线1
C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原
点，极轴为x 轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线1
C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2
C ．
（Ⅰ）求曲线2
C 的参数方程；
（Ⅱ）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为4
π，与曲线2
C 交于A 、B
两点，求MA MB ⋅的值．
20．已知函数()()2
21ln ,f x x a x a x a R =-++∈
（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线垂直于y 轴，求实数
a
的值；
（2）试讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若1x >时， ()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．
21．已知圆2
21
:60
C x
y x ++=关于直线1
:21l y x =+对称的圆为C ．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得OA OB ⊥．若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
22.已知函数2()222(0)
x
f x e
ax x x =---≥
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间，并证明此时()0f x ≥成立
（2）若()0f x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.
数 学（文）试 卷参考答案
一、选择题1-5、BDADB 6-10、BBACC 11-12、D
二、填空题13.
(,6][0,)
-∞-+∞ 14.
15.
22221111h a b c
=++ 16. a c b <<
17试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46.
------------------------5
（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，K 2
的观测值
------------7
由于4.762>3.841，--------8
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：
“成绩优秀”与教学方式有关． ---------10
18（Ⅰ）由题可得
()4,22,22
4,2x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
，
当2x <-时，由())(x g x f ≥可得92x ≤-，所以9
2x ≤-； 当22x -≤≤时，由())(x g x f ≥可得12x ≥，所以122x ≤≤； 当2x >时，由())(x g x f ≥可得72
x ≤，所以722x <≤； 综上可得，不等式())
(x g x f ≥的解集为917,,222⎛⎤
⎡⎤-∞-
⎥
⎢⎥⎝
⎦⎣⎦
.
----------6 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()4,2
2,22
4,2x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪>⎩
,
所以()
min
4
f x =-，若∀x ∈R ，()2
5f x t
t
≥- 恒成立，解得41≤≤t ，
综上，t 的取值范围为
[]4,1.-----------------------------------12
19. （Ⅰ）曲线1
C 的直角坐标方程为2
21
x
y +=，曲线2
C 的
直角坐标方程为
2
219
x y +=.
∴曲线2
C 的参数方程为
3,
{.
x cos y
sin θθ== ------------6 （Ⅱ）设l 的参数方程为11,
42
{
0,
42x cos
t t y sin t t π
π=+=+
=+=
代入曲线2
C 的
方程
2
219
x y +=化简得
2580
t -=，∴
128
.
5
MA MB t t ⋅==
-------------------12 20．（1）1a = (2) 见解析
(3)
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用导数的几何意义建立方程求解；（2）先对函数的求导，再结合题设条件对参数a 分类分析探求；（3）先求函数的导数，进而探求其最小值： （1）1a =--------2
(2) 0a ≤ 10,2
⎛⎫↓ ⎪
⎝
⎭
1,2⎛⎫
+∞↑ ⎪⎝
⎭
102
a << ()0,a ↑ 1,2a ⎛⎫↓ ⎪⎝
⎭
1,2⎛⎫+∞↑ ⎪⎝
⎭
12
a = ()0,+∞↑ 1
2
a >
10,2⎛⎫↑ ⎪⎝
⎭
1,2
a ⎛⎫
↓ ⎪⎝
⎭
(),a +∞↑-----------8
(3)----------4
21. （1）()
()2
2
129
x y -++=（2）存在直线1x =-和1y x =+
试题解析：（1）圆1
C 化为标准为()
2
239
x y ++=，
设圆1
C 的圆心()1
3,0C -关于直线1
:21l y x =+的对称点为
()
,C a b ，则11
CC l
k
k =-，
且1
CC 的中点3,22
a b M -⎛⎫
⎪⎝
⎭
在直线1
:21l y x =+上， 所以有
()213{
310
2
b
a b
a ⨯=-+--+=，
解得： 1{2a b ==-， 所以圆C 的方程为()()2
2
129
x y -++=.----------4
（2）要使
OA OB
⊥，必须使·0
OAOB =，即：
12120
x x y y +=.----------5
①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()
()2
2
:129
C x y -++=
交于两点()2
A -，
()1,2B -
因为()(
)
)()·11220OAOB
=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线
l
的斜率不存在时，直线
:1
l x =-满足条
件.----------------------6
②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为
()
1y k x =+.
设()()1
1
2
2
,,,A x y B x y 由
()
1)22)2((9{
1x y y k x -++==+得： ()()
2
2
2
21242440
k x k
k x k k +++-++-=.由于点
()1,0-在圆C 内部，所以0∆>恒成立，
1,221x k =
+，
2122
242
1k k x x k +-+=-
+，
2122
441k k x x k +-=
+，
要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB
=，即12
120
x x y y +=，
也就是：
()()22
122
441101k k k x x k
+-+++=+
整理得： ()
22
2
22
22
44421?011k k k k k k k k k
+-+-+-+=++
解得：
1
k =，所以直线
l
的方程为
1y x =+------------------12--
存在直线1x =-和1y x =+，
点睛：在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意. 21.（1）解
：
当
a=1时，
设
g(x)=f /
(x)=2(e x
-x-1),g /
(x)=2(e x
-1)≥0,(x ≥0)∴f /
(x)在[0,+∞ )上递增，即x ≥0时f /(x)≥f /
(0)=0, ∴f(x)的增区间为[0,+∞)，无减区间，且x ≥0时，f(x)=2e x -2-2x-x 2
≥f(0)=0⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4（分） （2）解法一：<1>当a ≤1时
f /(x)=2(e x
-x-a)≥2(x+1-x-a)=2(1-a)≥0∴x ≥0时f(x)≥f(0)=0
即当a ≤1时，f(x)≥0恒成立，x ∈[0,+∞ )⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6（分） <2>当a>1时,设h(x)=f /(x)=2(e x
-a-x)，
h /(x)=2(e x -1)≥0, （x ≥0）∴ f /(x)在[0,+∞ )上递增 又f /(0)=2（1-a ）<0,f /(a)=2（e a
-2a ）由（1）已证
2e x -2-2x-x 2≥0知e x
≥1+x+2
1x
2
∴
f /
(a)≥2(1+a+2
1a 2-2a)=(a-1)2+1>0 ∴ f /
(x)在(0,a)
上存在唯一零点x o ,即o
x e -a-x 0=0,
∴ f(x)在（0，x o ）上递减，在（x o ,+∞）上递增⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8（分）
又f(x o )= 2o
x e -2-2ax o -x o 2=2(o
x e -1-x 0o
x e +2
1x o 2),令g(x)=e x -1-xe x
+2
1
x 2,x ∈(0,a),g /(x)=x(1-e x
)<0,
∴
当x>0时g(x)<g(0)=0,即f(x o )<0,不满足f(x)≥0
恒成立，由<1><2>可知a 的取值范围为(-∞,1].
⋅
⋅⋅12（分）
解法二：分离变量 x=0时f(0)=0，x>0时f(x)≥0⇔a ≤
x
x e x 22
11-
-=g(x),g /
(x)=
2
22
11x x
x e e x x -
+-,
令h(x)=xe x
-e x
+1-2
1x 2
,h /
(x)=x(e x
-1)>0∴x>0时h(x)>h(0)=0∴g /
(x)>0,即g(x)在（0，+∞）上递增，
由洛比达法则
+
→0lim x g(x)=
+
→0lim x (e x
-x)=1(适用于参加
自主招生学生)
∴a
的取值范围为(-∞,1].。