2.2函数的表示法(二)

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§2 2.2 函数的表示法

§2  2.2  函数的表示法

像这样, 像这样,用图像把两个变量间的函数关系表示出来 的方法,称为图像法. 的方法,称为图像法. 特点:图像法可以直观地表示函数的局部变化规律, 特点:图像法可以直观地表示函数的局部变化规律, 进而可以预测它的整体趋势. 进而可以预测它的整体趋势.
3.解析法 3.解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 (简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法. 简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法. 例如,设正方形的边长为x 面积为y 例如,设正方形的边长为x,面积为y,则y 是x的函数,用解析式表示为 y 的函数,
2.2 函数的表示法
1. 通过丰富的实例,体会函数的三种表示方法. 通过丰富的实例,体会函数的三种表示方法. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 2. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数, 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能 通过具体实例 简单应用. 简单应用.
= x , x ∈ (0, +∞).
2
特点: 特点:解析法表示的函数关系能较便利地通过计算 等手段研究函数性质.但是,一些实际问题很难找到它的 等手段研究函数性质.但是, 解析式. 解析式.
例题讲解
例1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的 1.国内跨省市之间邮寄信函, 国内跨省市之间邮寄信函 邮资如下表: 邮资如下表:
在研究函数的过程中, 在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函 数,可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质, 可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质, 同时也是研究函数的重要手段. 同时也是研究函数的重要手段. 初中学习过的函数的表示法有三种: 初中学习过的函数的表示法有三种: 法一:列表法,即题中的表格. 法一:列表法,即题中的表格. 法二:解析法, 法二:解析法, 法三:图像法. 法三:图像法. y

初中数学函数的表示法

初中数学函数的表示法

函数的表示法
例3 北京市昌平区政府预想在2008年九龙游乐园建 造一个直径为20m 的圆形喷水池,如图所示,计划 在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头, 使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高,高度为 6m。另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物, 使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高 度应当如何设计?
1993 3456 0.5
1994 4667 0.0
95 5749 4.9
1996 6685 0.5
1997 7314 2.7
1998 7696 7.1
1999 8042 2.8
2000 8940 4.0
1859 8.4
函数的表示法
例1 某种茶杯每个5元,买x(x∈{1,2,3,4})个茶杯的 钱数记为y(元),写出以x为自变量的函数y的解析式, 并画出这个函数的图象。 问题:函数的解析式是什么? 问题:怎样画出它的图象? y=5x, (x∈{1,2,3,4}) x y=5x 1 5 2 10 3 15 4 20
函数的表示法
圆形喷水池的直径为20m,计划在喷水池的周边靠近 水面的位置安装一圈喷水头告诉我们了什么? 喷水头距水池中心 告诉了喷水头的位置 10m 其高度与水面一致
“喷水池的水柱”其轨迹是什么类型?
喷出的水柱轨迹为抛物线型 “各方向喷来的水柱在装饰物处汇合”是什么意思? 各方向喷出的水柱交汇在水池的中心线上(这条 中心线实质上是过水池中心水面的垂线),关于 水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的 中心线上。
二、新课 问题1:什么叫解析法 ?它的优点是什么? 解析法: 就是把两个变量的函数关系,用一个等式 来表示.
优点:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便 于用解析式来研究函数的性质。

人教A版必修一1.2.2.2函数的表示法

人教A版必修一1.2.2.2函数的表示法

x 2, x 0, 因此y= 5 x 2,0 x 1, x 2, x 1.
依上述解析式作出图象,如图.
由图象可以看出:所求值域为
规律方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值 的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数 图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,因此画图时 要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. 变式训练2-1:已知函数f(x)=1+ (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 解:(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+ 当-2<x<0时,f(x)=1+
类型一:分段函数及其应用
思路点拨:由题目可获取以下主要信息: ①函数f(x)是分段函数; ②本例是求值问题. 解答本题需确定f(f(-3))的范围,为此又需确定 f(-3)的范围,然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解.
解:∵-3<0,∴f(-3)=0, ∴f(f(-3))=f(0)=π , 又π >0,∴f(f(f(-3)))=f(π )=π +1, 即f(f(f(-3)))=π +1.
(4)是映射,因为A中每一个元素在 符合映射定义.
作用下对应的元素构成的集合
规律方法:(1)给定两集合A,B及对应关系f,判断是否是从集合A到集合B的映 射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”、“一对 一”、“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而最后一种不是A到B的映射. (2)理解映射这个概念,应注意以下几点: ①集合A到B的映射,A、B必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合); ②对应关系有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一 般是不同的; ③与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集. 变式训练3-1:如图中各图表示的对应构成映射的个数是( )

(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.2

(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.2

讲案2.2函数的表示法课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.(1)解析法:就是把两个变量的函数关系____________来表示,这个__________叫做函数的解析表达式,简称解析式.(2)列表法:就是__________来表示两个变量的函数关系.(3)图象法:就是用__________表示两个变量之间的关系.提示:函数三种表示法的优点:①解析法的优点:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质.②列表法的优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.③图象法的优点:能直观形象地表示出函数的变化情况.2.求函数解析式的常见方法(1)若已知函数f(x)的类型,可用__________求f(x)的解析式.(2)若已知复合函数f[g(x)]的解析式求f(x),可用________________求f(x)的解析式.(3)若已知抽象函数的表达式,则可用__________的方法求f(x)的解析式.导读校对:1.(1)用一个等式等式(2)列出表格(3)函数图象 2.(1)待定系数法(2)换元法或配凑法(3)解方程组基础热身1.若f(x)=e x-e-x2,g(x)=e x+e-x2,则f(2x)等于()A .2f (x )B .2[f (x )+g (x )]C .2g (x )D .2f (x )·g (x )解析:f (2x )=e 2x -e -2x 2=2·e x -e -x 2·e x +e -x 2=2f (x )·g (x ).答案:D2.下列各函数解析式中,满足f (x +1)=12f (x )的是( )A .f (x )=x 2B .f (x )=x +12C .f (x )=2-xD .f (x )=log 12x解析:∵2(1)x -+=12·2-x .∴C 项正确.答案:C3.函数y =f (x )的图象如图所示,则f (x )=( )A.x 2-2x +1B.x 2-2|x |+1C .|x 2-1|D .x 2-2x +1解析:由图象知y =f (x )为偶函数,排除A 、D 选项,C 为曲线,排除.答案:B4.已知f (sin x )=cos2x ,则f (x )等于( )A .sin2xB .cos2xC .1-2x 2D .1-2x 2,|x |≤1解析:由cos2x =1-2sin 2x 求解.要注意|sin x |≤1.答案:D5.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x =1x 2-1,则f (x )=______.解法一:(换元法):设t =1+1x ≠1,则1x =t -1,1x 2=(t -1)2,∴f (t )=(t -1)2-1=t 2-2t ,∴f (x )=x 2-2x (x ≠1).解法二:(配凑法):f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x =1x 2-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-2x -2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x ,且1+1x ≠1.∴f (x )=x 2-2x (x ≠1).答案:x 2-2x (x ≠1)思维互动启迪博学而笃志 切问而近思疑难精讲1.已知函数类型(如一次函数、二次函数等),一般用待定系数法设出函数的解析式,然后根据条件求解.2.已知函数满足某种关系(对定义域内的自变量总成立),用代入法求函数的解析式.3.根据实际意义(如面积、距离等)总结函数的解析式,注意定义域的特殊值.另外,在求函数的解析式时也要注意注明定义域.4.对于分段函数应分别求出各区间内的函数关系,再组合在一起,注意各区间的点要既不重,又不遗漏.5.关于复合函数的表达问题,要特别注意内层函数的值域落在外层函数定义域的哪一段内,进而选择相应的表达式计算.6.显然解析式是表示函数的一种方法,但并非所有的函数都能用解析式来表示,有时也要借助于图表等形式才可表示出来.通常研究的函数,一般都有解析式,在求解析式时,一定要注意写出函数的定义域.互动探究题型1求复合函数的解析式例 1.(1)若f (x +3)=x 2-2x +3,求f (x );(2)若2f (x 2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=x (x >0),求f (x ); (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =x 2+1x 2+1,求f (2-1)的值.【解析】 (1)解法一:f (x +3)=x2-2x +3=(x +3)2-2x -6x +3-9=(x +3)2-8x -6=(x +3)2-8(x +3)+24-6=(x +3)2-8(x +3)+18,∴f (x )=x 2-8x +18.解法二:令x +3=y ,则x =y -3.∴f (y )=(y -3)2-2(y -3)+3=y 2-8y +18∴f (x )=x 2-8x +18.(2)2f (x 2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=x ① 在①中以1x 代换x ,得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+f (x 2)=1x ② 解①②组成的方程组得f (x 2)=2x 2-13x =2x 2-13x2. 所以f (x )=2x -13x(x >0).(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =x 2+1x 2+1, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 2+3, ∴f (x )=x 2+3.于是有f (2-1)=6-2 2.题型2利用函数性质求其解析式例2.已知f (x )是定义在[-6,6]上的奇函数,它在[0,3]上是一次函数,在[3,6]上是二次函数,且当x ∈[3,6]时,f (x )≤f (5)=3,f (6)=2,求f (x )的解析式.【解析】 ∵x ∈[3,6]时,y =f (x )是二次函数,f (6)=2且f (x )≤f (5)=3∴当x =5时,二次函数有最大值3,当x ∈[3,6]时可设f (x )=a (x -5)2+3,由f (6)=2,a +3=2,得a =-1∴当x ∈[3,6]时,f (x )=-(x -5)2+3f (3)=-1,由y =f (x )为奇函数,∴f (0)=0当x ∈[0,3]时,y =f (x )为一次函数,由f (0)=0,f (3)=-1,得f (x )=-13x ,由y =f (x )为奇函数当x ∈[-3,0]时,f (x )=-f (-x )=-13x . 当x ∈[-6,-3]时,f (x )=-f (-x )=(x +5)2-3∴f (x )=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧-(x -5)2+3,(3≤x ≤6)-x 3, (-3≤x <3)(x +5)2-3,(-6≤x <-3)题型3利用转化法求函数解析式例3.已知函数f (x )=2x +1,当点P (x ,y )在y =f (x )的图象上运动时,点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫-y 2,x 3在y =g (x )的图象上,求函数g (x ).【解析】 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ′=-y 2y ′=x 3,则点Q 的坐标为(x ′,y ′).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =3y ′y =-2x ′∴P (3y ′,-2x ′). ∵P (3y ′,-2x ′)在y =2x +1的图象上,∴-2x ′=23y ′+1,∴y ′=13log 2(-x ′),∴g (x )=13log 2(-x )(x <0).题型4利用赋值法求函数解析式例4.函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y )-f (y )=(x +2y +1)x 成立,且f (1)=0.(1)求f (0)的值;(2)求f (x )的解析式.【解析】 用赋值法(1)由已知f (x +y )-f (y )=(x +2y +1)·x .令x =1,y =0,得f (1)-f (0)=2. 又∵f (1)=0,∴f (0)=-2.(2)令y =0,得f (x )-f (0)=(x +1)x ,∴f (x )=x 2+x -2.错解辨析例5.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1x x ∈(-∞,0)x 2 x ∈[0,+∞),求f (x +1).【错解】 f (x +1)=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1,x ∈(-∞,0)(x +1)2,x ∈[0,+∞)【错因】 x =-1∈(-∞,0),此时1x +1无意义,故上述解法错误.【正解】 f (x +1)=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1,x +1∈(-∞,0)(x +1)2,x +1∈[0,+∞)即f (x +1)=⎩⎪⎨⎪⎧ 1x +1,x ∈(-∞,-1)(x +1)2,x ∈[-1,+∞)。

函数的表示方法(二)

函数的表示方法(二)

分析比较下列三个从A到B的映射:
A B A B A B
a b
f
m n
求平方
c
p
q
1 -1 2 -2 3 -3
乘以2 1
4
1 2 3
9
1 2 3 4 5 6
d
二、一一映射:
f 一般地,设A,B是两个集合, : A B 是集合A到集合B的映射,如果在这个映射 下,对于A中的不同元素,在集合B中有不 同的像,而且B中每一个元素都有原像,那 么这个映射叫做A到B的一一映射。
3 1 ( , ) 2 2 点(1,2)在f下的原像是___________.
例三 求像与原像:
(3)已知(x,y)在映射f的作用下的象是:
(x+y,xy),则点(3,4)在f下的像是 (7,12) _________, 点(1,-6)在f下的原像是 (-2,3)或(3,-2) ________________.
(4)一对一
:
一、映射:
一般地,设A、B是两个非空集合, 如果按照某种对应法则f,对于集合A中的 任何一个元素,在集合B中都有唯一的一 个元素和它对应,那么这样的对应(包括 集合A、B以及A到B的对应法则)叫做集 合A到集合B的映射,记作: f : A B
A中的元素x称为原像,
B中的对应元素y称为x的像. xx
有时,我们把集合A,B之间的一一映射 也叫做一一对应。
例三、下列映射是不是A到B的一一映射?
A f 1 2 3 4 (1) B A f B 3 5 7 3 4 (2) 9 1
3 5 7
1
2
9
解:(1) 是 (2) 不是。由于B中元素1在集合A 中没有原像
(2)映射与一一映射有何区别? 答:主要有两点区别:

人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件

人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件

考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式.常用描点法画图,注意区间 端点的虚实.
例1 已知函数 f(x)=1+|x|- 2 x(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km,甲 10 点钟 发前往乙家,如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系.依图象回 下列问题:
(1)甲在公园休息了吗?若休息了,休息了多 长时间? (2)甲到达乙家是几点钟? (3)写出函数 y=f(x)的解析式. (4)计算当 x=50 分钟时,甲所走的路程.
x →y=12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发,观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应. 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0,而0∉B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.
问题探究
x x≥0 1.y=|x|=-x x<0 可以说 y=|x|是两 个函数吗? 提示:y=|x|,x∈R,仍是一个函数,只是 x ∈[0,+∞)与 x∈(-∞,0)的对应关系不同, 对于具体 x 值,所用的对应关系是唯一的.
2.从定义上看,函数与映射有什么关系? 提示:对比函数定义与映射定义可知,函数是特殊的映射, 是从非空数集到非空数集的映射.并非所有映射都为函数.
将(60,4),(40,2)分别代入,得 k2=110,b=- 2.

1.2.2函数的表示法(二)映射

1.2.2函数的表示法(二)映射
映射:A和B不一定是数集.
例如:
f:平方
1
2
1
3
4
2
5
6
3
7
8
9
是函数
也是映射
学生甲 学生乙 学生丙 学生丁
f
高一3班
高一4班
只是映射
以下是不是映射?
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
以下是不是映射?
①开平方
3
9
-3

-1
2
1
-2
4
3 -3
9
以下是不是映射?
①开平方
记作:f:x y, x A, y B 或者f:A B,其中x称为原象,y称为象
象与原象的定义:
给定一个集合A到B的映射,且a∈A, b∈B,若a与b对应,则把元素b叫做a在 B中的象,而a叫做b的原象.
③求正弦 1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
函数与映射之间的异同: 1)函数是一个特殊的映射; 2)函数:数集A数集都是数集,
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
g
c d
g
c
g d
“原象集”不 能有剩余元素
“象集”可 以有剩余元 素
例1. 判断下列对应是否映射?有没有对 应法则?
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c

高中数学 1.2.2函数的表示法(二)映射的概念学案 新人教A版

高中数学 1.2.2函数的表示法(二)映射的概念学案 新人教A版

河北省石家庄市2012-2013年高中数学 1.2.2函数的表示法(二)映射的概念学案 新人教A 版课前预习案使用说明与学法指导: 1.用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识,自主高效预习,提升自己的阅读理解能力.2.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成预习自测题.3.将预习中不能解决的问题标出来,并写到“我的疑惑”处。

一、相关知识1.构成函数三个要素是什么?2.请同学们回忆分段函数及其表示法?学习建议:请同学们回忆上一节的知识并作出回答。

二、教材助读1.什么是映射?2.映射与函数有什么关系?3.如何判断一个对应是不是映射?三、预习自测学习建议:自测题体现一定的基础性,又有一定的思维含量,只有“细心才对,思考才会”.1.判断下列给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射?(1)集合={}A P P 是数轴上的点,集合=B R ,对应关系f :数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)集合={}A P P 是平面直角坐标系中的点,集合={(,),}B x y x R y R ∈∈,对应关系f :平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)集合={}A x x 是三角形,集合={}B x x 是圆,对应关系f :每一个三角形都对应它的内切圆;(4) 集合={42}A x x 是石家庄市中学的班级,集合2. 画出函数|2|y x =-的图象.我的疑惑:请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来,待课堂上与老师和同学探究解决.课堂探究案一、学始于疑-------我思考,我收获1.函数与映射的联系是什么?区别是什么?2.如何判断一个对应是不是映射?是不是函数?学习建议:请同学们用2分钟的时间认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二、质疑探究——质疑解疑、合作探究(一)基础知识探究 探究点:映射的概念请同学们探究下面的问题,并在题目的横线上填出正确答案:1.一般地,设A,B 是两个______的集合,如果按某一个对应关系f ,使对于集合A 中的________一个元素x ,在集合____中___有 ____________的元素y 与之对应,那么就称对应__________为从_______到_______的一个映射.2.分别举出映射、函数的例子各一个.(二)知识综合应用探究探究点一 函数与映射的概念(重点)例1.如图,有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____,这个函数的定义域为_______.例2. 判断下列给出的对应是不是从集合B 到集合A 的映射? ①集合={}A x x 是三角形,集合={}B x x 是圆,对应关系f :每一个圆都对应它的内接三角形;②集合={42}A x x 是石家庄市中学的班级,集合级. ③集合={}A x x 是锐角,集合=(0,1)B ,对应关系f :B 中的每一个数都对应以它为正弦值的锐角.思考. 题目中要求判断从哪个集合到哪个集合的映射?如何判断?学习建议:自主探究后谈谈你的映射概念的理解.归纳总结;探究点二 映射的应用(重点)例 3.设:f A B →是A 到B 的一个映射,其中{(,),}A B x y x y R ==∈,:(,)(,)f x y x y xy →+,求(1)A 中元素(2,3)-在B 中的对应元素;(2)求与B 中元素(2,3)-对应的A 中的元素.思考:集合A 中的元素与B 中的元素有怎样的对应关系?学习建议:自主探究后谈谈你的分析思路.规律方法总结:拓展提升:已知集合{,,},{1,A a b c B ==-,映射:f A B →满足()=()(f a f b f c +,问这样的映射有多少个? 思考1:你能说出(),(),()f a f b f c 的意义吗?思考2:(),(),()f a f b f c 可以取哪些値?探究点三:分段函数问题(重点)例4.画出函数|1||24|y x x =-++.的图象:学习建议:探究后谈谈你的解题思路.拓展提升:①函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数,例如[ 3.5]4-=-,[2.1]2=,当( 2.5,3]x ∈-时,写出()f x 的解析式,并作出函数的图象.②某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程的函数解析式,并画出函数的图象.三、我的知识网络图--------归纳梳理、整合内化⎧⎨⎩映射的概念映射映射与函数的关系四、当堂检测——有效训练、反馈矫正下列给出的对应是不是从集合A 到B 集合的映射?1.=,=A N B Z ,对应关系:=-,,f x y x x A y B →∈∈.2. ++=,=A R B R ,且满足1:=,,f x y x A y B x→∈∈ 3. +=,={0,1}A N B ,对应关系f :除以2得的余数.4. ={1,4},={-2,-1,1,2}A B ,对应关系f :开平方.有错必改我的收获(反思静悟、体验成功):课后训练案学习建议:完成课后训练案需定时训练,时间不超过20分钟,独立完成,不要讨论交流,全部做完后再参考答案查找问题.【基础知识检测】1.下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是( ) A.=R,={>0}A B x x ,对应关系f :取绝对值 B.={>0},=R A x x B ,对应关系f :开平方. C. 1={>0},=R :+3A x xB f x x →, D. =Q,={}:A B x x f 是偶数,平方.2.拟定从甲地到乙地通话m 分钟电话费由()=1.06(0.05[])+1f m m ⨯⨯给出,其中>0,[]m m 是不小于m 的最小整数(【3】=3,【3.7】=4,【3.1】=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( ).A.3.71B. 3.97C.4.24D. 4.773.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时4.已知映射:f A B →,其中A=B=R ,对应关系2:=-+2f x y x x →.对于实数k B ∈,在集合A 中不存在对应元素,则k 的取值范围是( )A. >1kB. 1k ≥C. <1kD. 1k ≤5. 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+,且(2)f p =,(3)f q =,那么(12)f 等于( ).A. p q +B. 2p q +C. 2p q +D. 2p q +6.已知集合={,,},B={,,}A a b c d e ,则从集合A 到集合B 的不同映射有_______个,从集合B 到集合A 的不同映射有_______个.【能力题目训练】7.已知集合={04}3B={02}A x x y y ≤≤≤≤,按对应关系f ,不能建立从集合到集合的映射的是( )A. 1:=2f x y x → B. :=-2f x y x → C. :f x y →:=-2f x y x → 【拓展题目探究】 8.设集合=,=A R B R ,对应关系且2+1:=,,2x f x y x A y B →∈∈是从集合A 到B 集合的映射.(1)那么A 中元素+1a 对应于B 中哪个元素?(2)与B 中元素6相对应的A 中的元素是什么?9.画出下列函数的图象:(1)22||3y x x =-++; (2)2|23|y x x =-++.错误!未定义书签。

【教育专用】2018北师大版高中数学必修一学案:第二章 2.2 函数的表示法(二) 2.3 映射

【教育专用】2018北师大版高中数学必修一学案:第二章 2.2 函数的表示法(二) 2.3 映射

2.2函数的表示法(二)2.3映射学习目标 1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.3.了解映射的概念.知识点一分段函数思考设集合A=R,B=[0,+∞).对于A中任一元素x,规定:若x≥0,则对应B中的y=x;若x<0,则对应B中的y=-x.按函数定义,这一对是不是函数?梳理(1)一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的____________的函数.(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________;各段函数的定义域的交集是________.(3)作分段函数图像时,应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.知识点二映射思考设A={三角形},B=R,对应关系f:每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数?它与函数有何共同点?梳理映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有________的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作f:x→y.函数一定是映射,映射不一定是函数.类型一建立分段函数模型例1如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图像.反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图像也需要分段画.跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图像.类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x 求y例2 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2.试求f (-5),f (-3),f (f (-52))的值.引申探究例2中f (x )解析式不变,若x ≥-5,求f (x )的取值范围.反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间.(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时,应从内到外依次求值.跟踪训练2 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +4,x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤4,-x +2,x >4.(1)求f (f (f (5)))的值;(2)画出函数f (x )的图像.命题角度2 给y 求x例3 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤2,x 2+2,x >2.(1)若f (x 0)=8,求x 0的值; (2)解不等式f (x )>8.反思与感悟 已知函数值求x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出x 的解.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.(5)若解不等式,应把所求x 的范围与所讨论区间求交集,再把各区间内的符合要求的x 的值并起来.跟踪训练3 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1≤x ≤1,1,x >1或x <-1.(1)画出f (x )的图像;(2)若f (x )≥14,求x 的取值范围;(3)求f (x )的值域.类型三 映射的概念例4 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射?(1)集合A ={P |P 是数轴上的点},集合B =R ,对应关系f :数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)集合A ={P |P 是平面直角坐标系中的点},集合B ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R},对应关系f :平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)集合A ={x |x 是三角形},集合B ={x |x 是圆},对应关系f :每一个三角形都对应它的内切圆;(4)集合A ={x |x 是新华中学的班级},集合B ={x |x 是新华中学的学生},对应关系f :每一个班级都对应班里的学生.反思与感悟 映射是一种特殊的对应,它具有:(1)方向性:一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的.(2)唯一性:集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应,可以是:一对一,多对一,但不能一对多.跟踪训练4 设集合A ={x |1≤x ≤2},B ={y |1≤y ≤4},则下述对应关系f 中,不能构成从A 到B 的映射的是( ) A .f :x →y =x 2 B .f :x →y =3x -2 C .f :x →y =-x +4 D .f :x →y =4-x 21.如图中所示的对应:其中构成映射的个数为( ) A .3 B .4 C .5D .62.f (x )的图像如图所示,其中0≤x ≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线,则f (x )的解析式是( )A .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2,0≤x ≤12,1<x <23,x >2B .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2,0≤x <12,1<x <23,x ≥2C .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2,0≤x ≤12,1<x ≤23,x >2D .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2,0≤x ≤12,1<x <23,x ≥23.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x >0,1,x =0,-1,x <0,则f (f (0))等于( )A .1B .0C .2D .-14.已知函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤0,-2x ,x >0,则使函数值为5的x 的值是( )A .-2或2B .2或-52C .-2D .2或-2或-525.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x 为有理数,0,x 为无理数,则f (g (π))的值为( )A .1B .0C .-1D .π1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集. (2)分段函数的图像应分段来作,特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况,以决定这些点的虚实情况. 2.函数与映射的关系映射f:A→B,其中A、B是两个非空的集合;而函数y=f(x),x∈A,A为非空的数集,其值域也是数集.于是,函数是数集到数集的映射.由此可知,映射是函数的推广,函数是一种特殊的映射.答案精析问题导学 知识点一思考 是函数.因为从整体来看,A 中任一元素x ,在B 中都有唯一确定的y 与之对应. 梳理 (1)对应关系 (2)并集 空集 知识点二思考 因为A 不是非空数集,故该对应不是函数.但满足“A 中任一元素,在B 中有唯一确定的元素与之对应”. 梳理 唯一 题型探究例1 解 过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H .因为四边形ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm , 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. (1)当点F 在BG 上,即x ∈[0,2]时, y =12x 2; (2)当点F 在GH 上,即x ∈(2,5]时, y =12×2×2+2(x -2)=2x -2; (3)当点F 在HC 上,即x ∈(5,7]时, y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt △CEF =12(7+3)×2-12(7-x )2=-12(x -7)2+10.综合(1)(2)(3),得函数的解析式为y =⎩⎨⎧12x 2,x ∈[0,2],2x -2,x ∈(2,5],-12(x -7)2+10,x ∈(5,7].图像如图所示:跟踪训练1 解 设票价为y 元,里程为x 公里,定义域为(0,20].由题意得函数的解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧2,0<x ≤5,3,5<x ≤10,4,10<x ≤15,5,15<x ≤20.函数图像如图所示:例2 解 ∵-5∈(-∞,-2], ∴f (-5)=-5+1=-4. ∵-3∈(-2,2),∴f (-3)=(-3)2+2(-3) =3-23,∵-52∈(-∞,-2], ∴f (-52)=-52+1=-32∈(-2,2), ∴f (f (-52))=f (-32) =(-32)2+2(-32)=-34. 引申探究解 当-5≤x ≤-2时,f (x )=x +1∈[-4,-1];当-2<x <2时,f (x )=x 2+2x =(x +1)2-1∈[-1,8);当x ≥2时,f (x )=2x -1∈[3,+∞);∴x ≥-5时,f (x )∈[-4,-1]∪[-1,8)∪[3,+∞)=[-4,+∞).跟踪训练2 解 (1)因为5>4,所以f (5)=-5+2=-3.因为-3<0,所以f (f (5))=f (-3)=-3+4=1.因为0<1<4,所以f (f (f (5)))=f (1)=12-2×1=-1.(2)f (x )的图像如下:例3 解 (1)当x 0≤2时,由2x 0=8,得x 0=4,不符合题意;当x 0>2时,由x 20+2=8,得x 0=6或x 0=-6(舍去),故x 0= 6.(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2,2x >8,①或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,x 2+2>8,② 解①,x ∈∅,解②得x >6,综合①②,f (x )>8的解集为{x |x >6}.跟踪训练3 解 (1)利用描点法,作出f (x )的图像,如图所示.(2)由于f (±12)=14,结合此函数图像可知,使f (x )≥14的x 的取值范围是(-∞,-12]∪[12,+∞). (3)由图像知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1],当x >1或x <-1时,f (x )=1.所以f (x )的值域为[0,1].例4 解 (1)按照建立数轴的方法可知,数轴上的任意一个点,都有唯一的实数与之对应,所以这个对应f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射.(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知,平面直角坐标系中的任意一个点,都有唯一的一个实数对与之对应,所以这个对应f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射.(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射.(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即与一个班级对应的学生不止一个,所以这个对应f :A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射.跟踪训练4 D [对于D ,当x =2时,由对应关系y =4-x 2得y =0,在集合B 中没有元素与之对应,所以D 选项不能构成从A 到B 的映射.]当堂训练1.A 2.D 3.C 4.C 5.B。

1.2.2函数的表示法

1.2.2函数的表示法

例题剖析
例3 某种笔记本的单价是5元,买x(x{1,2,3,4,5}) 个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 y=(x)。 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}用解 析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. . . .

.
■ ▲
王伟


♦ ▲



♦ 张城
▲ ■


赵磊
60 0
1
2
3
4
5
6
x
例5 画出函数y=|x|的图象. 解:由绝对值的概念,我们有
y=
图象如下:
x, x≥0, -x, x<0.y
5
4 3 2
1 -3 -2 -1 0 1
2 3 x
有些函数在它的定义域中,对于自变量X的不同取值 范围,对应关系不同,这样函数通常称为分段函数。
第一次 第二次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分


. . . .

应关系f,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这个

2.2函数的表示法

2.2函数的表示法

例1:请画出函数y=|x|的图像。 解:由绝对值的定义,得
x, y =| x |= − x,
x ≥ 0, x < 0.
它的图像为第一和第二象限的角平分线,如图所示。
例 2: 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应 的邮资如下表.画出函数的图像,并写出函数的解析式.
0<m≤20 0.80
x > 2或x < 0, 0 < x < 2.
如图所示: 如图所示:
的正方形ABCD中,点P从A开始沿 ,B, 开始沿A, , 例5:在边长为 的正方形 :在边长为4的正方形 中 从 开始沿 C,D,A方向运动,求点 与A,B连成图形的面积 ,与点 方向运动, 连成图形的面积S, , , 方向运动 求点P与 , 连成图形的面积 P运动的距离 之间的函数关系,并作出函数图像。 运动的距离x之间的函数关系 运动的距离 之间的函数关系,并作出函数图像。 分析: 分析:
◆练习1 练习 画出下列函数的图象: 画出下列函数的图象:
(1)
f ( x) = 2 x, x ∈ Z , 且 x ≤ 2;
(2)
1, x ∈ (0, +∞), y= −1, x ∈ (−∞, 0].
解(1) )
f ( x) = 2 x, x ∈ Z , 且 x ≤ 2;
(2) )
1, x ∈ (0,+∞), y= − 1, x ∈ (−∞,0].
例如: 例如: 国内生产总值
单位: 单位:亿元
年份 生产 总值
1990 18598.4
1991 21662.5
1992 26651.9
1993 34560.5
列表法的优点: 列表法的优点: 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值。 对应值。

2022高中数学第二章函数2

2022高中数学第二章函数2

2.2函数的表示法课后篇巩固提升A组基础巩固1.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3解析:因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.答案:A3.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=1的交点个数为()A.0B.1C.2D.0或1答案:B4.已知函数f(x)=则f(2)=()A.-1B.0C.1D.2解析:f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.答案:A5.函数y=x+的图像是下图中的()解析:∵y=x+∴选项C中的图像适合此函数解析式.答案:C6.已知函数f(x)=若f(m)=16,则m的值等于.解析:当m≥0时,f(m)=4m=16,得m=4;当m<0时,f(m)=m2=16,得m=-4(m=4舍去),故m的值为4或-4.答案:4或-47.对于定义域为R则f(f(f(0)))=.解析:由列表表示的函数可得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.答案:28.导学号85104029若f(x)=则函数f(x)的最大值、最小值分别为,.解析:若1≤x≤2,则8≤2x+6≤10;若-1≤x<1,则6≤x+7<8.∴函数的值域为[6,8)∪[8,10]=[6,10].∴f(x)的最大值为10,最小值为6.答案:10 69.根据下列条件,求函数f(x)的解析式:(1)f(x+1)=3x+2;(2)2f(x)+f=x.解:(1)令x+1=t,则x=t-1,由题意得f(t)=3(t-1)+2=3t-1,故f(x)=3x-1.(2)由于2f(x)+f=x,因此以代替x得2f+f(x)=,于是可得解得f(x)=x-.10.已知函数f(x)=(1)求f,f,f的值;(2)作出函数f(x)的图像;(3)求函数f(x)的值域.解:函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)因为-1≤x<0时,f(x)=-x,所以f=-.因为0≤x<1时,f(x)=x2,所以f.因为1≤x≤2时,f(x)=x,所以f.(2)函数f(x)的图像如图所示.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数f(x)的值域为[0,2].11.某市出租车的计价标准是:4 km以内10元(含4 km),超出4 km且不超过18 km的部分1.2元/km;超出18 km的部分1.8元/km.(1)试写出车费与行车里程的函数解析式;(2)如果某人乘车行驶了20 km,试计算他要付的车费是多少?解:(1)设车费为y(单位:元),路程为x(单位:km),则y=即y=(2)y=1.8×20-5.6=30.4(元).故此人要付30.4元的车费.B组能力提升1.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()A.点MB.点NC.点PD.点Q解析:由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M两点,不选A,B;若是点P,则从最高点到点C依次递减,与图1矛盾,因此取点Q,即选D.答案:D2.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:A中,若f(x)=|x|,则f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);B中,若f(x)=x-|x|,则f(2x)=2x-2|x|=2(x-|x|)=2f(x);C中,若f(x)=x+1,则f(2x)=2x+1≠2f(x);D中,若f(x)=-x,则f(2x)=-2x=2f(x).因此只有C不满足f(2x)=2f(x),故选C.答案:C3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)=()A.-4B.-1C.1D.4解析:f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-4.答案:A4.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为()A.2B.1C.-1D.无最大值解析:由题目可获取的信息是:①两个函数一个是二次函数,一个是一次函数;②f(x)是两个函数中的较小者.解答此题可先画出两个函数的图像,然后找出f(x)的图像,再求其最大值.在同一坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图像,如图,根据题意,坐标系中实线部分即为函数f(x)的图像.故x=1时,f(x)max=1,应选B.答案:B5.(信息题)定义两种运算:a b=,a b=,则函数f(x)=的解析式为.解析:依题意,2 x=,x 2==|x-2|,则f(x)=.由得-2≤x≤2且x≠0,∴f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2].答案:f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2]6.直角梯形ABCD,如图①,动点P从点B出发,沿B→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).若函数y=f(x)的图像如图②所示,则△ABC的面积为.解析:结合①②可知梯形ABCD中,BC=4,AD=5,DC=5.根据梯形为直角梯形可得AB=3+5=8.故S△ABC=×8×4=16.答案:167.已知函数y=f(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.解:当x≤-2时,图像为一条射线,过点(-2,0)与(-4,3),设y=ax+b,将两点代入,得-2a+b=0,-4a+b=3,解得a=-,b=-3,所以它的解析式为y=-x-3(x≤-2);当-2<x<2时,图像为一条线段(不包括端点),它的解析式为y=2(-2<x<2);当x≥2时,图像为一条射线,过点(2,2)与(3,3),设y=cx+d,将两点代入,得2c+d=2,3c+d=3,解得c=1,d=0,所以它的解析式为y=x(x≥2).综上可知,f(x)=8.导学号85104030设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;(2)当m为怎样的实数时,方程|x2-4x-5|=m有四个互不相等的实数根?(3)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[0,4]∪[6,+∞),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明:.解:(1)f(x)=|x2-4x-5|=其图像如图所示.(2)由图像可知,当0<m<9时,直线y=m与y=|x2-4x-5|的图像有四个不同的交点,因此当0<m<9时,方程|x2-4x-5|=m有四个互不相等的实数根.(3)方程f(x)=5的解分别是x=2-,0,4,2+,观察图像可得f(x)≥5的解是x≤2-或0≤x≤4或x≥2+,则A=(-∞,2-]∪[0,4]∪[2+,+∞).∵2+<6,2->-2,∴B⫋A.。

122函数的表示法(二)——映射的概念.doc

122函数的表示法(二)——映射的概念.doc

§1.2.2函数的表示法(二)——映射的概念一、内容与解析(―)内容:映射(二)的军析:⑴映射是两个集合4与B中,元素Z间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应,就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多” 的对应.⑵映射中只允许“一对一”与“多对一"这两种对应的特点,从A到B的映射f.A^B实际是要求集合人中的任一元素都必须对应于集合〃中唯一的元素•但对集合〃中的元素并无任何要求,即允许集合〃中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应,可能有两个或多个元素与Z对应,也口J能没冇元素与Z对应.⑶映射屮对应法则/是有方向的,一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.(4)我们可以把对应关系看成一而镜子,集合A中的元素在这而镜子中存在一个像,一个相对应的元素,原像则是集合A中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并11映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的像,通过对应关系——即通过镜子总存在像,而且像是唯一的,不会“照”出许多的像來,这是映射区别于一般対应的本质特征.二、目标及其解析:(-)教学口标(1)了解映射的概念及表示方法;结合简单的对应图示,了解一一映射的概念.(2)解析:重点把握映射与函数的区别。

三、问题诊断分析函数与映射的区别与联系⑴函数包括三要素:定义域、值域、两者Z间的对应关系;映射包括三要索:集合A,集合B,以及A,BZ间的对应关系(2)函数定义中的两个集合为非空数集;映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.(3)在函数中,对定义域中的每一个兀,在值域中都冇唯一确定的函数值和它对应;在映射中, 对集合A中的任意元素a ,在集合B中都有唯一确定的像方和它对应.(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的口变量的值和它对应;在映射中,对于集合B中的任一元索方,在集合A中不一定冇原像.(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一个映射f:AfB⑹通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.四、教学支持条件分析在木节课一次递推的教学屮,准备使用PowerPoint 2003o因为使用PowerPoint 2003, 有利于提供准确、最核心的文字信息,有利于帮助学牛顺利抓住老师上课思路,节省老师板书时间,让学牛尽快地进入对问题的分析当中。

高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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3.已知函数
f(x)

x2+1,x≤0, 2x+1,x>0,

f(x) = 10 , 则
x = ___-__3_或__92____.
导学号 00814239 [解析] 当 x≤0 时,由 f(x)=10 可得 x2+1=10,所以 x=-3(x=3 舍去);
当 x>0 时,由 f(x)=10 可得 2x+1=10,所以 x=29.故 x 的值等于-3 或92. 4.已知 f(x)是正比例函数,且过点(1,1),则 f(x)=___x____. 导学号 00814240
第6页
2.分段函数 (1)在函数定义域内,对于自变量x不一样取值范围,有着不一样对应法则, 这么函数通常叫____分__段__函__数. (2)分段函数定义域是各段定义域_______,并其集值域是各段值域_______.(填 “并交集集”或“并集”)
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1.已知函数 f(x)由下表给出:
x -1 0 1 2
其中说法正确是( A)
A.②与③
B.②与④
C.①与③
D.①与④
[解析] 因为纵坐标表示八年来前t年产品生产总量,故②③正确.
第29页
分段函数
1.分段函数概念: 在函数定义域内,对于自变量x不一样取值区间,有着不一样对应法则函 数,叫做分段函数.分段函数表示式因其特点分成两个或两个以上不一样表示 式,所以它图像也由几部分组成,有能够是光滑曲线,有也能够是一些孤立点 或几段线段. 2.关于分段函数,我们应注意以下几点: (1)分段函数是一个函数,不能写成几个函数,求分段函数解析式时,能够 分段求解,但最终结果一定要合并;
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〔跟踪练习 3〕 导学号 00814246 某工厂八年来产品累积产量 C(即前 t 年年产量之和)与时间 t(年)的函数图像如 图,下列四种说法: ①前三年中,产量增长的速度越来越快; ②前三年中,产量增长的速度越来越慢; ③第三年后,这种产品停止生产; ④第三年后,年产量保持不变.

高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1

高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
A 求 正 弦 B
1
30
2
2
45
2
60
3
90
2 1
h
2
A 求 平 方 B39-3来自24-2
1
1
-1
h
3
A 开 平 方 B
3
9
-3
4
2 -2
1
1 -1
h
4
A 乘 以 2 B
1
1
2
3
2
4
5
3
6
h
5
A乘 以 4B
0
1
4
2
3
12
4
5
20
h
6
映射f:A→B,可理解为以下4点:
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合,如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知,映射是函数的推广,函 数是一种特殊的映射。
h
1
判断下列对应是不是映射?如果是,那这个映射 是函数吗?
若函数f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1,4],则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0,3],求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域,求f(x)定义域的方法: 已知f(g(x))的定义域为D,则f(x)的定义域为
h
17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素,在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系,可以 是:一对一,多对一,但不能一对多

人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)

人教新课标版数学高一必修1学案   函数的表示法(二)

1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1.了解分段函数的概念,会画分段函数的图象,并能解决相关问题. 2.了解映射的概念及含义,会判断给定的对应关系是否是映射.1.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 2.映射的概念设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

3.映射与函数由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A ,B 必须是非空数集.对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2 (x ≤-1),x 2 (-1<x <2),2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值; (2)若f (a .)=3,求a . 的值.分析 本题给出的是一个分段函数,函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间,所以要对x 的可能范围逐段进行讨论. 解 (1)∵-1<3<2,∴f (3)=(3)2=3. 而3≥2,∴f [f (3)]=f (3)=2×3=6.(2)当a .≤-1时,f (a .)=a .+2,又f (a .)=3,∴a .=1(舍去);当-1<a .<2时,f (a .)=a .2,又f (a .)=3,∴a .=±3,其中负值舍去,∴a .=3;当a .≥2时,f (a .)=2a .,又f (a .)=3, ∴a .=32(舍去).综上所述,a .= 3.规律方法 对于f (a .),究竟用分段函数中的哪一个对应关系,与a . 所在范围有关,因此要对a .进行讨论.由此我们可以看到: (1)分段函数的函数值要分段去求;(2)分类讨论不是随意的,它是根据解题过程中的需要而产生的.变式迁移1 设f (x )=⎩⎨⎧12x -1 (x ≥0),1x (x <0),若f (a .)>a .,则实数a .的取值范围是________.答案 a .<-1解析 当a .≥0时,f (a .)=12a .-1,解12a .-1>a .,得a .<-2与a .≥0矛盾,当a .<0时,f (a .)=1a ,解1a>a .,得a .<-1.∴a .<-1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )=1+|x |-x2(-2<x ≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时,f (x )=1+x -x2=1,当-2<x <0时,f (x )=1+-x -x2=1-x .∴f (x )=⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1-x (-2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示,(3)由(2)知,f (x )在(-2,2]上的值域为[1,3).规律方法 对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.变式迁移 2 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x +1| (x <1)-x +3 (x ≥1),使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________. 答案 (-∞,-2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y =1的图象(如图所示),观察图象知,x 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2].映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射,哪些不是,为什么?(1)A={x|x 为正实数},B={y|y ∈R[},f :x →y=±x(2)A=R ,B={0,1},对应关系f :x,→y =⎩⎪⎨⎪⎧1, x ≥0;0, x<0;(3)A=Z ,B=Q ,对应关系f :x →y=1x;(4)A={0,1,2,9},B={0,1,4,9,64},对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应,∴不是映射.(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应,任意一个负数都有唯一的元素0和它对应, ∴是映射.(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应,故不是映射. (4)在f 的作用下,A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64,∴是映射.规律方法 判断一个对应是不是映射,应该从两个角度去分析:(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”;(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”.一个对应是映射必须是这两个方面都具备;一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射.说明一个对应不是映射,只需举一个反例即可. 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射,能否构成函数? (1)A=R ,B=R,f:x →y =1x +1;(2)A ={a.|a.=n ,n ∈N +},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b =1n ,n ∈N +,f :a.→b =1a;(3)A=[)0,+∞,B=R ,f:x→y 2=x ;(4)A ={x|x 是平面M 内的矩形},B ={x|x 是平面M 内的圆},f :作矩形的外接圆. 解 (1)当x =-1时,y 的值不存在, ∴不是映射,更不是函数.(2)是映射,也是函数,因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素.(3)∵当A 中的元素不为零时,B 中有两个元素与之对应,∴不是映射,更不是函数. (4)是映射,但不是函数,因为A ,B 不是数集.1.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.2.判断一个对应是不是映射,主要利用映射的定义:(1)集合A 到B 的映射,A 、B 必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合); (2)对应关系有“方向性”,即强调从集合A 到集合B 的对应,它与从B 到A 的对应关系一般是不同的;(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集.课时作业一、选择题1.下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =N *,f :a .→b =(a .+1)2D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值 答案 A2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A . f:x→y =12x B. f:x→y =13xC. f:x→y =14xD. f:x→y =16x答案 A由f:x →y =12x ,集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2},故选项A 不是映射.3.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -5 (x ≥6)f (x +2) (x <6)(x ∈N ),那么f (3)等于( )A .2B .3C .4D .5 答案 A解析 由题意知f (3)=f (3+2)=f (5)=f (5+2)=f (7)=7-5=2.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0),g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)-x 2 (x <0),则当x <0时,f [g (x )]等于( )A .-xB .-x 2C .xD .x 2 答案 B解析 当x <0时,g (x )=-x 2<0, ∴f [g (x )]=-x 2. 二、填空题5.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x =0)x +1 (x >0),则f (f (f (-1)))的值是__________.答案 π+1解析 f (-1)=0,f (0)=π,f (π)=π+1 ∴f (f (f (-1)))=f (f (0))=f (π)=π+1.6.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥00,x <0,则不等式xf (x )+x ≤2的解集是__________.答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时,f (x )=1,代入xf (x )+x ≤2, 解得x ≤1,∴0≤x ≤1;当x <0时,f (x )=0,代入xf (x )+x ≤2, 解得x ≤2,∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7.若[x ]表示不超过x 的最大整数,画出y =[x ] (-3≤x <3)的图象. 解 作出y =[x ]的图象如下图所示.8.已知函数y =f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.解 根据图象,设左侧射线对应的函数解析式为y =kx +b (x <1).∵点(1,1)、(0,2)在射线上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ k +b =1,b =2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,b =2.∴左侧射线对应的函数解析式为y =-x +2 (x <1). 同理,x >3时,函数的解析式为y =x -2 (x >3). 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y =a .(x -2)2+2 (1≤x ≤3,a .<0),∵点(1,1)在抛物线上,∴a .+2=1,a .=-1, ∴当1≤x ≤3时,函数的解析式为 y =-x 2+4x -2 (1≤x ≤3). 综上所述,函数的解析式为 y =⎩⎪⎨⎪⎧-x +2 (x <1),-x 2+4x -2 (1≤x ≤3),x -2 (x >3).【探究驿站】9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1, x ∈[0,1],x -3, x ∉[0,1],求使等式f [f (x )]=1成立的实数x 构成的集合.解 当x ∈[0,1]时,恒有f [f (x )]=f (1)=1, 当x ∉[0,1]时,f [f (x )]=f (x -3),若0≤x -3≤1,即3≤x ≤4时,f (x -3)=1, 若x -3∉[0,1],f (x -3)=(x -3)-3, 令其值为1,即(x -3)-3=1,∴x =7. 综合知:x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x =7}.。

新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第2课时分段函数课件北师大版必修第一册

新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第2课时分段函数课件北师大版必修第一册
(1) 设 在 A 俱 乐 部 租 一 块 场 地 开 展 活 动 x 小 时 的 收 费 为 f(x) 元 (12≤x≤30) , 在 B 俱 乐 部 租 一 块 场 地 开 展 活 动 x 小 时 的 收 费 为 g(x) 元 (12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式;
[归纳提升] 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止. 当出现f[f(x0)]的形式时,应从内到外依次求值.
【对点练习】❶ 已知 f(x)=xf[+f(x3+(x5>)]1(x0≤),10),则 f(5)的值是
(A)
A.24
4.已知 f(x)=xx+ -44((xx< >00)),则 f[f(-3)]的值为___-__3__. [解析] ∵f(x)=xx+ -44((xx< >00)), ∴f(-3)=1, ∴f[f(-3)]=f(1)=-3.
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
分段函数的求值问题
x+2(x≤-1),
例 1 已知函数 f(x)=x2(-1<x<2), 2x(x≥2).
段函数是一个函数还是几个函数? 提示:分段函数是一个函数而不是几个函数.
基础自测
1.函数 f(x)= xx-+11的定义域为
A.[-1,1)∪(1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-1,+∞)
D.(-1,1)∪(1,+∞)
( A)
[解析] 由函数解析式得xx+-11≥≠00,,解得 x≥-1,且 x≠1. 故函数的定义域为[-1,1)∪(1,+∞),选 A.
[分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函 数,再利用描点法作出函数图象.

第二章. 2.2(二)

第二章. 2.2(二)

填一填·知识要点、记下疑难点
并 3.分段函数定义域是各段定义域的___集,其值域是各
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并 段值域的___集.
4.分段函数图像:画分段函数的图像,应在各自定义域
解析式 之下画出定义域所对应的________的图像.
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问题探究一 问题
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150 解 从 A 地到 B 地所需时间为 =2.5 (h), B 地到 A 从 60 150 地所需时间为 =3 (h), 50 所以,当 0<t≤2.5 时,x=60t;
当 2.5<t≤3.5 时,x=150;
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当 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5)=-50t+325;
f(1)的值.
x,x≥0, y= -x,x<0.
解 由绝对值的概念,我们有
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所以,函数 y=|x|的图像为过原点且平分第一、第二象限 的一条折线,如下图所示,
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其中 f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.
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把它与原条件式联立,得 1 af(x)+bf( )=cx x
1 c af( )+bf(x)= x x b ①×a-②×b 得(a -b )f(x)=c(ax- ), x
2 2
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①,
②.
c b ∵a≠± b,∴f(x)= 2 (ax- )(x≠0). x a -b2
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2.2 函数的表示法(二)
一、课 型:新授课
二、教学目标:
掌握求函数解析式的方法:换元法,配凑法,待定系数法,消去法,分段函数的解析式。

三、教学重点:求函数的解析式。

教学难点:对函数解析式方法的掌握。

四、教学方法:探究交流法
五、教学过程
(一)、复习准备
1.函数有哪些表示方法呢? 2.三种方法各自的特点?
3. 函数定义域、值域的求法
4.如何求函数的值及求函数的解析式?
(二)、新课探究
(Ⅰ) 求函数的值
例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。

解析:f(0)=3;f(1)=2;f(2)=3;f(-1)=6
例2.已知f(x)=⎩
⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ,求f(0)、f[f(-1)]的值 解析:f(0)=2×0+1=1;f(-1)=2×(-1)+3=1,∴f[f(-1)]= f(1)=2×1+1=3
反思小结:求函数的值的方法有代入法。

(Ⅱ)求函数的解析式
常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。

例3.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数f(x)的解析式。

解析:(待定系数法)设()f x ax b =+,则(1)f x ax a b +=++,(1)f x ax a b -=-+,∴
3(1)2(1)f x f x +--=5ax a b ++=217x +
∴{
2
517a a b =+=解得2,7a b ==,∴()27f x x =+
例4.已知f(2x+1)=3x-2,求函数f(x)的解析式。

解析:(配凑法或换元法)
方一:配凑法 37(21)32(21)22f x x x +=-=
+-,∴37()22
f x x =- 方二:换元法
令21x t +=,则12t x -=,∴137()32222t f t t -=⨯-=- 即37()22
f x x =- 例5.已知函数f(x)满足1
()2()f x f x x -=,求函数f(x)的解析式。

解析:(消去法)用1x 去替换x 得11()2()f f x x x
-=,解方程组1()2()11()2()f x f x x f f x x x -=-=⎧⎨⎩ 得12()33f x x x
=-- 例6.已知()1f x x =+,求函数f(x)的解析式。

解析:当10x +≥即1x ≥-时,()1f x x =+;当10x +<即1x <-时,()1f x x =-- 故{1(1)1(1)()x x x x f x +≥---<-=。

(三)课堂练习
1.课本练习
2.已知 2
211()11x x f x x
--=++,求函数f(x)的解析式。

3.已知221
1()f x x x x
+=+,求函数f(x)的解析式。

4.已知()2()1f x f x x +-=-,求函数f(x)的解析式。

5
.已知函数1()2
f x x =+, (1)求()()2(3),(),33f f f
f --的值;
(2)当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。

(四)归纳小结 本节课系统地归纳了求函数解析式的方法。

常见的求函数解析式的方法有待定系数法,换元法,配凑法,消去法。

(五)作业布置:
六、课后反思:。

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