2020年广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：平面向量
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广东省 13 市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编
平面向量
一、选择、填空题
1、（潮州市高三上学期期末） 已知向量 a ，b 满 满足 | a | =5，| b | =3，a ?b =﹣3，则 a 在 b 的方向上的投影是 ﹣1 ． 2、（东莞市高三上学期期末）设 D为 △ ABC所在平面内一点，且 BC 3CD ，则
（Ⅰ）求点 M ( x, y) 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
x2 E:
16
y2 1 ， P 为曲线 C 上一点，过点 P 作曲线 C 的切线 y
4
kx m 交椭
圆 E 于 A 、 B 两点，试证： OAB 的面积为定值 .
参考答案 一、选择、填空题
1、【解答】解：由向量 、 满足 | | =5， | | =3， ? =﹣3
有 e2 e 1 0 , 所以 e 1
5
,负值已经舍去 . 故选 D .
2
5
9、
6
10、 B
11、
2
12、B 13、 B
14、 4
15、6
16、 B
二、解答题
1、【解答】解：（1）由已知得 asinC=c（cosA+1）， ∴由正弦定理得 sinAsinC=sinC（cosA+1），． ∴ sinA ﹣cosA=1，故 sin（A ﹣ ）= ．…
4 16k2 4 1 4k2
m2
…………………………………………………６ 分
因为直线 y kx m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) ，
1
2 16k 2 4 m2 | m |
所以 OAB 的面积 S | m || x1 x2 | 2
1 4k 2
…………………７ 分
2 (16k 2 4 m2 )m2
16、（江门市高三 12 月调研） 如图，空间四边形
中，点
分别
上，
，则
A．
B．
C．
D．
二、解答题
1、（潮州市高三上学期期末） 在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A ， B，C 的对边， m =
（ a，c）与 n =（ 1+cosA，sinC）为共线向量．
（ 1）求角 A； （ 2）若 3bc=16﹣a2，且 S△ABC =
则 在 的方向上的投影是
= =﹣1，
故答案为：﹣ 1
2、A 3、D 4、B 5、【解析】因为 (O→B－O→C) ·(O→B＋ O→C－ 2O→A)＝ 0，
即 C→B·(A→B＋ A→C)＝0，∵ A→B－ A→C＝ C→B，∴ (A→B－ A→C) ·( A→B＋ A→C)＝ 0，即 |A→B |＝ |A→C|， 所以△ ABC 是等腰三角形，故选 A.
若 OM
1 (OF2 OP) ，则双曲线的离心率为（
）
2
42 2 A．
7
42 2 B．
7
13 C．
2
15 D．
2
9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量
a,b 满足 a 2, b 3 且、 (a b) b,则
a 与 b 的夹角 为
10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点 A, B , C , D 满足 | DA | | DB | | DC | ，
∴ PF2 ⊥ PF1，于是可得 | PF2 |= 4c2 4a2 2b ，设 P（， y），则 c - =2a， 于是有 =c-2a， y2=4c（ c 2 a），过点 F2 作轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为 2a. 由勾股定理得
y 2+4a2=4b 2， 即 4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2)，变形可得 c2-a2=ac，两边同除以 a2
夹角为
12、（肇庆市高三第二次模拟）已知
AB
AC ， AB
1
，
AC
t ，若 P 点是 ABC 所在
t
平面内一点，且 AP AB AB
AC ，当 t 变化时， PB PC 的最大值等于
AC
（A ） -2
（B）0
（ C） 2
（ D） 4
13、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量 a ， b 满足 a （ a ＋ b ） =5，且 | a |=2， |b |
故 S 2 3 为定值 .
………………………………………………………………… 12 分
＝ 1，则向量 a 与 b 的夹角为
A.
B.
C. 2
6
3
3
D. 5 6
14、（东莞市高三上学期期末）设向量 a ＝ (x, 2) ， b ＝（ 1，－ 1），且 a 在 b 方向上的投影为
2 ，则的值是 _________.
15 、（ 广 州 市 高 三 12 月 模 拟 ） 已 知 菱 形 A B C D的 边 长 为 2 ， ABC 60 , 则 BD CD ________．
2
1 4k
m2
m2
2 (4
2)
2
1 4k 1 4k
…………８ 分
设 m2 1 4k2Fra bibliotekt将 y kx m 代入椭圆 C 的方程，可得 (1 4k2 )x2 8kmx 4m2 4 0 ……… 10分
由
0，可得 m2 1 4k 2
即 t 1， …………………………………………
1分1
又因为 S 2 (4 t)t 2 t2 4t ，
3 cos2 B
1 sin 2 B sin 2 B
3
…… 3 分
4
4
4
所以 sin A
3
…… 4 分
2
又 A 为锐角，所以 A
…… 6 分
3
⑵由
，得
①…… 7 分
由⑴知 A
，所以 bc=24 ②…… 8 分
3
由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA ，将 a 2 7 及①代入可得 c2+b2=52③…… 10 分
2 AC
3
3
3
3
4
1
（C） AB AC
3
3
2
5
（D ） AB AC
3
3
8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a 0,b 0 的右焦点 F2( c,0) 作圆
x 2 y2 a 2的切线， 切点为 M ，延长 F2 M 交抛物线 y 2 4cx 于点 P , 其中 O 为坐标原点，
③+②× 2，得（ c+b） 2=100，所以 c+b=10 ，△ ABC 的周长是 10 2 7 …… 12 分
3、 (Ⅰ )解：∵ a (x 3) i y j ， b ( x 3) i y j ，且 | a | |b | 4
( x 3)2 y2 (x 3)2 y 2 4
∴ 点 M （， y）到两个定点 F1（ 3 ， 0）， F2（ 3 ， 0）的距离之和为 4…………２ 分
)
（ A ）等腰三角形
（ B）直角三角形
（ C）正三角形
（ D）等腰直角三角形
( Ｄ ) 11
6、（江门市高三 12 月调研） 在
中， 是 边的中点，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7、（揭阳市高三上学期期末）设 D 为△ ABC 所在平面内一点，且 BC 3BD , 则 AD
（A ） 2 AB
1
1
AC （ B） AB
将 y kx m 代入椭圆 E 的方程，消去 x 可得 (1 4k 2) x2 8kmx 4m2 16 0
显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内，
0,由韦达定理则有 ：
x1 x2
8km 1 4k 2
，
x1x2
4m2 16 1 4k 2 .
……………………………………………５ 分
所以 | x1
x2 |
6、 D
7、 A
8、 D 解：如图 9，∵ O M
1 (OF2
OP) ，∴ M 是 F2P 的中点 .
2
设抛物线的焦点为 F1，则 F1 为（ - c， 0），也是双曲线的焦点 .
连接 PF1， OM .∵O、 M 分别是 F1F2 和 PF2的中点，∴ OM 为 △PF2F1 的中位线 .∵ OM=a ，∴ |PF1|=2 a.∵ OM ⊥ PF 2 ，
由 0＜A ＜π，得 A= ； （ 2）在△ ABC 中， 16﹣3bc=b2+c2﹣bc， ∴（ b+c）2=16，故 b+c=4． ①…（ 9 分） 又 S△ABC= = bc， ∴ bc=4．② …（11 分） 联立①②式解得 b=c=2．… （12 分）
2、解：⑴
…（ 2 分） …
…… 1 分
DA DB DB DC DC DA 2 ，动点 P, M 满足 | AP | 1， PM MC ，则 | BM |2 的最
大值是（
）
A． 43 4
B
． 49
C.
4
37 6 3 4
D ． 37 2 33 4
11、（韶关市高三 1 月调研）已知平面非零向量 a, b 满足 b a b 1，且 b = 1 ，则 a 与 b 的
∴ 点 M 的轨迹 C 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a b 0), 则 c
3 , a 2 ∴ b2 a 2 c2 1
………………３ 分
其方程为 x 2 4
y2 1
…………………………………………………………………４
分
（Ⅱ）证明：设 A( x1 , y1) ， B ( x2 , y2 ) ，
，求 b，c 的值．
2、（江门市高三 12 月调研） 已知
是锐角三角形， 内角
所对的边分别是
，
满足
（ Ⅰ）求角 的值；
（ Ⅱ）若
，
．
，求
的周长．
3、（茂名市高三第一次综合测试）设 上的单位向量，若向量
x, y R ，向量 i, j 分别为直角坐标平面内 x, y 轴正方向
a ( x 3) i y j , b (x 3) i y j ,且 | a | | b | 4．
3、（佛山市高三教学质量检测（一） ）一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB 、 AD 分别交
于 E 、 F ，且交其对角线 AC 于 K ，若 AB 2AE ， AD 3AF ， AC AK ( R) ，
则（）
A． 2
5
B．
2
C． 3
4、（广州市高三 12 月模拟）已知抛物线 C : y 2
D． 5 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点，直
线 PF 与曲线 C 相交于 M ， N 两点，若 PF 3MF ，则 MN
21
(Ａ)
2
32
(Ｂ )
3
(Ｃ ) 10
5、（惠州市高三第三次调研）若 O 为△ ABC 所在平面内任一点，且满足
(O→B－ O→C) ·(O→B＋ O→C－ 2O→A)＝ 0，则△ ABC 的形状为 (
平面向量
一、选择、填空题
1、（潮州市高三上学期期末） 已知向量 a ，b 满 满足 | a | =5，| b | =3，a ?b =﹣3，则 a 在 b 的方向上的投影是 ﹣1 ． 2、（东莞市高三上学期期末）设 D为 △ ABC所在平面内一点，且 BC 3CD ，则
（Ⅰ）求点 M ( x, y) 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
x2 E:
16
y2 1 ， P 为曲线 C 上一点，过点 P 作曲线 C 的切线 y
4
kx m 交椭
圆 E 于 A 、 B 两点，试证： OAB 的面积为定值 .
参考答案 一、选择、填空题
1、【解答】解：由向量 、 满足 | | =5， | | =3， ? =﹣3
有 e2 e 1 0 , 所以 e 1
5
,负值已经舍去 . 故选 D .
2
5
9、
6
10、 B
11、
2
12、B 13、 B
14、 4
15、6
16、 B
二、解答题
1、【解答】解：（1）由已知得 asinC=c（cosA+1）， ∴由正弦定理得 sinAsinC=sinC（cosA+1），． ∴ sinA ﹣cosA=1，故 sin（A ﹣ ）= ．…
4 16k2 4 1 4k2
m2
…………………………………………………６ 分
因为直线 y kx m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) ，
1
2 16k 2 4 m2 | m |
所以 OAB 的面积 S | m || x1 x2 | 2
1 4k 2
…………………７ 分
2 (16k 2 4 m2 )m2
16、（江门市高三 12 月调研） 如图，空间四边形
中，点
分别
上，
，则
A．
B．
C．
D．
二、解答题
1、（潮州市高三上学期期末） 在△ ABC 中， a， b，c 分别是角 A ， B，C 的对边， m =
（ a，c）与 n =（ 1+cosA，sinC）为共线向量．
（ 1）求角 A； （ 2）若 3bc=16﹣a2，且 S△ABC =
则 在 的方向上的投影是
= =﹣1，
故答案为：﹣ 1
2、A 3、D 4、B 5、【解析】因为 (O→B－O→C) ·(O→B＋ O→C－ 2O→A)＝ 0，
即 C→B·(A→B＋ A→C)＝0，∵ A→B－ A→C＝ C→B，∴ (A→B－ A→C) ·( A→B＋ A→C)＝ 0，即 |A→B |＝ |A→C|， 所以△ ABC 是等腰三角形，故选 A.
若 OM
1 (OF2 OP) ，则双曲线的离心率为（
）
2
42 2 A．
7
42 2 B．
7
13 C．
2
15 D．
2
9、（清远市清城区高三上学期期末）已知向量
a,b 满足 a 2, b 3 且、 (a b) b,则
a 与 b 的夹角 为
10、（汕头市高三上学期期末）在平面内，定点 A, B , C , D 满足 | DA | | DB | | DC | ，
∴ PF2 ⊥ PF1，于是可得 | PF2 |= 4c2 4a2 2b ，设 P（， y），则 c - =2a， 于是有 =c-2a， y2=4c（ c 2 a），过点 F2 作轴的垂线，点 P 到该垂线的距离为 2a. 由勾股定理得
y 2+4a2=4b 2， 即 4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2)，变形可得 c2-a2=ac，两边同除以 a2
夹角为
12、（肇庆市高三第二次模拟）已知
AB
AC ， AB
1
，
AC
t ，若 P 点是 ABC 所在
t
平面内一点，且 AP AB AB
AC ，当 t 变化时， PB PC 的最大值等于
AC
（A ） -2
（B）0
（ C） 2
（ D） 4
13、（珠海市高三上学期期末）已知平面向量 a ， b 满足 a （ a ＋ b ） =5，且 | a |=2， |b |
故 S 2 3 为定值 .
………………………………………………………………… 12 分
＝ 1，则向量 a 与 b 的夹角为
A.
B.
C. 2
6
3
3
D. 5 6
14、（东莞市高三上学期期末）设向量 a ＝ (x, 2) ， b ＝（ 1，－ 1），且 a 在 b 方向上的投影为
2 ，则的值是 _________.
15 、（ 广 州 市 高 三 12 月 模 拟 ） 已 知 菱 形 A B C D的 边 长 为 2 ， ABC 60 , 则 BD CD ________．
2
1 4k
m2
m2
2 (4
2)
2
1 4k 1 4k
…………８ 分
设 m2 1 4k2Fra bibliotekt将 y kx m 代入椭圆 C 的方程，可得 (1 4k2 )x2 8kmx 4m2 4 0 ……… 10分
由
0，可得 m2 1 4k 2
即 t 1， …………………………………………
1分1
又因为 S 2 (4 t)t 2 t2 4t ，
3 cos2 B
1 sin 2 B sin 2 B
3
…… 3 分
4
4
4
所以 sin A
3
…… 4 分
2
又 A 为锐角，所以 A
…… 6 分
3
⑵由
，得
①…… 7 分
由⑴知 A
，所以 bc=24 ②…… 8 分
3
由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA ，将 a 2 7 及①代入可得 c2+b2=52③…… 10 分
2 AC
3
3
3
3
4
1
（C） AB AC
3
3
2
5
（D ） AB AC
3
3
8、（茂名市高三第一次综合测试）过双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a 0,b 0 的右焦点 F2( c,0) 作圆
x 2 y2 a 2的切线， 切点为 M ，延长 F2 M 交抛物线 y 2 4cx 于点 P , 其中 O 为坐标原点，
③+②× 2，得（ c+b） 2=100，所以 c+b=10 ，△ ABC 的周长是 10 2 7 …… 12 分
3、 (Ⅰ )解：∵ a (x 3) i y j ， b ( x 3) i y j ，且 | a | |b | 4
( x 3)2 y2 (x 3)2 y 2 4
∴ 点 M （， y）到两个定点 F1（ 3 ， 0）， F2（ 3 ， 0）的距离之和为 4…………２ 分
)
（ A ）等腰三角形
（ B）直角三角形
（ C）正三角形
（ D）等腰直角三角形
( Ｄ ) 11
6、（江门市高三 12 月调研） 在
中， 是 边的中点，
，
，则
A．
B．
C．
D．
7、（揭阳市高三上学期期末）设 D 为△ ABC 所在平面内一点，且 BC 3BD , 则 AD
（A ） 2 AB
1
1
AC （ B） AB
将 y kx m 代入椭圆 E 的方程，消去 x 可得 (1 4k 2) x2 8kmx 4m2 16 0
显然直线与椭圆 C 的切点在椭圆 E 内，
0,由韦达定理则有 ：
x1 x2
8km 1 4k 2
，
x1x2
4m2 16 1 4k 2 .
……………………………………………５ 分
所以 | x1
x2 |
6、 D
7、 A
8、 D 解：如图 9，∵ O M
1 (OF2
OP) ，∴ M 是 F2P 的中点 .
2
设抛物线的焦点为 F1，则 F1 为（ - c， 0），也是双曲线的焦点 .
连接 PF1， OM .∵O、 M 分别是 F1F2 和 PF2的中点，∴ OM 为 △PF2F1 的中位线 .∵ OM=a ，∴ |PF1|=2 a.∵ OM ⊥ PF 2 ，
由 0＜A ＜π，得 A= ； （ 2）在△ ABC 中， 16﹣3bc=b2+c2﹣bc， ∴（ b+c）2=16，故 b+c=4． ①…（ 9 分） 又 S△ABC= = bc， ∴ bc=4．② …（11 分） 联立①②式解得 b=c=2．… （12 分）
2、解：⑴
…（ 2 分） …
…… 1 分
DA DB DB DC DC DA 2 ，动点 P, M 满足 | AP | 1， PM MC ，则 | BM |2 的最
大值是（
）
A． 43 4
B
． 49
C.
4
37 6 3 4
D ． 37 2 33 4
11、（韶关市高三 1 月调研）已知平面非零向量 a, b 满足 b a b 1，且 b = 1 ，则 a 与 b 的
∴ 点 M 的轨迹 C 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a b 0), 则 c
3 , a 2 ∴ b2 a 2 c2 1
………………３ 分
其方程为 x 2 4
y2 1
…………………………………………………………………４
分
（Ⅱ）证明：设 A( x1 , y1) ， B ( x2 , y2 ) ，
，求 b，c 的值．
2、（江门市高三 12 月调研） 已知
是锐角三角形， 内角
所对的边分别是
，
满足
（ Ⅰ）求角 的值；
（ Ⅱ）若
，
．
，求
的周长．
3、（茂名市高三第一次综合测试）设 上的单位向量，若向量
x, y R ，向量 i, j 分别为直角坐标平面内 x, y 轴正方向
a ( x 3) i y j , b (x 3) i y j ,且 | a | | b | 4．
3、（佛山市高三教学质量检测（一） ）一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB 、 AD 分别交
于 E 、 F ，且交其对角线 AC 于 K ，若 AB 2AE ， AD 3AF ， AC AK ( R) ，
则（）
A． 2
5
B．
2
C． 3
4、（广州市高三 12 月模拟）已知抛物线 C : y 2
D． 5 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点，直
线 PF 与曲线 C 相交于 M ， N 两点，若 PF 3MF ，则 MN
21
(Ａ)
2
32
(Ｂ )
3
(Ｃ ) 10
5、（惠州市高三第三次调研）若 O 为△ ABC 所在平面内任一点，且满足
(O→B－ O→C) ·(O→B＋ O→C－ 2O→A)＝ 0，则△ ABC 的形状为 (