山东省泰安市新泰市2016届九年级数学上学期期末考试试题(含解析)新人教版

山东省泰安市新泰市2016届九年级数学上学期期末考试试题
一、选择题：本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分
1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
4．下列四个命题：真命题有（）
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；
（2）经过三个点一定可以作圆；
（3）相等的圆周角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到三角形各顶点的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）
A．45° B．75° C．105°D．120°
8．如图，已知等边△ABC的边上为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：①DE=1；②△CDE∽△CAB；③BC边上的高为；④△CDE的面积与四边形ADEB的面积之比为1：3，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知两点A（7，4），B（5，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第
一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）
10．边长为6的正三角形的外接圆的面积为（）
A．36π B．4πC．12π D．16π
11．在半径为2的⊙O内有长为2的弦AB，这条弦所对的圆周角的度数是（）
A．120°或60°B．120°C．60° D．75°
12．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且 y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣D．m＜﹣
13．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
14．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan ∠OAB=，则AB的长是（）
A．4 B．2C．8 D．4
15．如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是（）
A．B．且m≠1C．D．且m≠1
16．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
17．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，
a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（）
A．16 B．1 C．4 D．﹣16
18．已知一次函数y=3x﹣4与反比例函数y=﹣，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
19．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（）
A．B．1 C．D．
20．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）
A．﹣3 B．﹣C．﹣D．﹣2
二、填空：本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分
21．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FB落在BC上，若BC=5，AD=4，EF=EH，那么EH的长为．
22．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A出，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为．
23．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1•x2= ．
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是．
三、解答题：本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤25．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）利用图象直接写出当一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
27．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．
28．为丰富学生的学习生活，某校2016届九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：
活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？
29．已知，如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径作⊙O，⊙O分别与其它两边交于点D、点E，过点E作EF⊥AC于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为6，求EF的长；
（3）在第（2）小题的情形下，求图中阴影部分的面积．
山东省泰安市新泰市2016届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共20小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分
1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】待定系数法．
【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，
∴22+2p﹣2=0，
解得 p=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．
∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB=．
故选A．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
∵A、B互为余角，
∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．
又∵sin2B+cos2B=1，
∴sinB==，
∴tanB===．
故选A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．下列四个命题：真命题有（）
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；
（2）经过三个点一定可以作圆；
（3）相等的圆周角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到三角形各顶点的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】分别根据圆周角定理、确定圆的条件及三角形内心的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：（1）符合圆心角、弧、弦的关系，故是真命题；
（2）经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故原命题是假命题；
（3）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原命题是假命题；
（4）三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故原命题是假命题．
故选A．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟知圆周角定理、确定圆的条件及三角形内心的特点是解答此题的关键．
5．下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的个数有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
【解答】解：两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；
两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得=，由DF∥AB得=，则=，于是
可对A、B进行判断；再由DE∥BC得到=，则可对C进行判断；由DF∥AB得到=，所以+=1，于是可对D进行判断．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵DF∥AB，
∴=，
∴=，所以A选项正确，B选项错误；
∵DE∥BC，
∴=，所以C选项错误；
∵DF∥AB，
∴=，
∴+=1，所以D选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
7．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）
A．45° B．75° C．105°D．120°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣=0，﹣cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．如图，已知等边△ABC的边上为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：①DE=1；②△CDE∽△CAB；
③BC边上的高为；④△CDE的面积与四边形ADEB的面积之比为1：3，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据图形，利用三角形中位线定理，可得DE=1，①成立；DE是△CAB的中位线，可得DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得△CDE∽△CAB；②成立；BC边上的高，可利用勾股定理
求出等于；③成立；由△CDE∽△CAB，且相似比等于1：2，那么它们的面积比等于相似比的平方，就等于1：4，于是得到△CDE的面积与四边形ADEB的面积之比为1：3，（4）也成立．
【解答】解：∵DE是它的中位线，∴DE=AB=1，故①正确，
∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，故（3）正确，
∴S△CDE：S△CAB=DE2：AB2=1：4，故（4）正确，
∵等边三角形的高=边长×sin60°=2×=，故（2）正确．
故选D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥BC．
9．已知两点A（7，4），B（5，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第
一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（2，1）D．（3，3）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据平移变换的性质求出平移后点A的坐标，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：将线段AB向左平移一个单位，则点A（7，4）变为（6，4），
以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的，
则点A的对应点C的坐标为（6×，4×），即（3，2），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的关系，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
10．边长为6的正三角形的外接圆的面积为（）
A．36π B．4πC．12π D．16π
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【分析】先求出边长为6的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．
【解答】解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，BC=6，
∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=3，
∴OB===2，
∴外接圆的面积=π•（2）2=12π；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
11．在半径为2的⊙O内有长为2的弦AB，这条弦所对的圆周角的度数是（）
A．120°或60°B．120°C．60° D．75°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB的度数，再利用特
殊角的三角函数，即可求得答案．
【解答】解：如图，AB是直径，BC=2，
∴∠ACB=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AB=4，
∴sin∠BAC==，
∴∠BAC=60°，
∴∠BDC=180°﹣∠BAC=120°，
∴这条弦所对的圆周角的度数是：120°或60°．
故选A．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及特殊角的三角函数值．注意解题意画出图形，利用图形求解是关键．
12．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y=上，且 y1＞y2，则m的取值范围是（）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣D．m＜﹣
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出 y1与y2的表达式，再根据y1＞y2则列不等式即可解答．
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=得，
y1=﹣2m﹣3，
y2=，
∵y1＞y2，
∴﹣2m﹣3＞，
解得m＜﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数图象上的点符合函数解析式．
13．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
【考点】根的判别式．
【专题】探究型．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4a=0，
解得a=﹣1．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
14．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）
A．4 B．2C．8 D．4
【考点】切线的性质．
【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，易得=，代入得结果．
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=2，
∴OC=2，
∵tan∠OAB=，
∴AC=4，
∴AB=8，
故选C．
【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．
15．如果关于x的方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是（）
A．B．且m≠1C．D．且m≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】分类讨论：当m﹣1=0时，方程为一元一次方程，有解；当m﹣1≠0时，根据判别式的意义
得到△=12﹣4×（m﹣1）×1≥0，解得m≤且m≠1，然后综合两种情况就看得到m的取值范围．【解答】解：当m﹣1=0时，x+1=0，解得x=﹣1；
当m﹣1≠0时，△=12﹣4×（m﹣1）×1≥0，解得m≤且m≠1，
所以m的取值范围为m≤．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
17．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（4a，
a）是反比例函数y=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（）
A．16 B．1 C．4 D．﹣16
【考点】反比例函数图象的对称性．
【分析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形OABC的面积=16，则3a×3a=16，解得a=1（a=
﹣1舍去），所以P点坐标为（3，1），然后把P点坐标代入y=即可求出k．
【解答】解：∵图中阴影部分的面积等于16，
∴正方形OABC的面积=16，
∵P点坐标为（4a，a），
∴4a×4a=16，
∴a=1（a=﹣1舍去），
∴P点坐标为（4，1），
把P（4，1）代入y=，得
k=4×1=4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的对称性和反比例函数比例系数k的几何意义．k的几何意义：在
反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象的对称性与正方形的性质．
18．已知一次函数y=3x﹣4与反比例函数y=﹣，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】分别根据两种不同的函数的性质和其比例系数判断其图象的位置后即可得到正确的选项．
【解答】解：一次函数y=3x﹣4经过第一、三、四象限，反比例函数y=﹣的图象分布在第二、四象限．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=的图象为双曲线，当k＞0时，图象分布在第一、三象限，当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
19．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（）
A．B．1 C．D．
【考点】特殊角的三角函数值；等腰直角三角形．
【分析】根据图形连接AC，分别求出AC、OC、AO的长度，可得△OAC为直角三角形，继而求出tan∠AOB 的值．
【解答】解：如图，AC==，OC==，OC==，
∵AC2+OC2=20=OC2，
∴△OAC为直角三角形，
∵AC=OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴tan∠AOB=tan45°=1．
故选B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意判断三角形OAC为等腰直角三角形．
20．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）
A．﹣3 B．﹣C．﹣D．﹣2
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=（圆的
面积﹣正六边形的面积）×，即可得出结果．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积为π×22=4π，
∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，
∴每个三角形面积为×2×2×sin60°=，
∴正六边形面积为6，
∴阴影面积为（4π﹣6）×=π﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键．
二、填空：本大题共4个小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分
21．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FB落在BC上，若BC=5，AD=4，EF=EH，那么EH的长为
．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=4﹣2x，
∴=，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A出，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向
上，则B、C之间的距离为30．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，AC=60×0.5=30海里，
∵CD∥BF，
∴∠CBF=∠DCB=60°，又∠ABF=15°，
∴∠ABC=45°，
∵AE∥BF，
∴∠EAB=∠FBA=15°，又∠EAC=75°，
∴∠CAB=90°，
∴BC=AC=30海里，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1•x2= 6 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，直接利用根与系数的关系求解即可求得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴x1•x2=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了根与系数的关系．注意x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是（﹣3，﹣9）．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．
【分析】过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP=x，由点E的坐标易求AP=OB=3，AE=AB﹣BE=x ﹣1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得32+（x﹣1）2=x2，解得x的值，即可求出BF的长，进而可求出点F的坐标．
【解答】解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP=x，
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴OP⊥OE，
∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，
∴四边形APOB是矩形，
∴AB=OP=x，
∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），
∴AP=OB=3，AE=AB﹣BE=x﹣1，
在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2=x2，
解得x=5，
∴AE=4，
∵AF=AE，
∴EF=8，
∴BF=EF+BE=9，
∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．
故答案为（﹣3，﹣9）．
【点评】本题综合考查了圆形的性质和坐标的确定以及勾股定理的运用和矩形的判定及其性质，是综合性较强，难度中等的综合题，解题的关键是根据勾股定理求出⊙P的半径，从而得到F的坐标．
三、解答题：本大题共5小题，满分48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤25．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出
BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．【解答】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣交于A（﹣1，m）、B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）利用图象直接写出当一次函数大于反比例函数时自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）先把A（﹣1，m）、B（n，﹣1）代入y=﹣求出m、n的值，从而得到A（﹣1，5），B （5，﹣1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设直线y=﹣x+4与y轴的交点为C，则C（0，4），根据三角形面积公式，利用S△AOB=S△AOC+S△BOC 进行计算；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，m）、B（n，﹣1）代入y=﹣得﹣m=﹣5，﹣n=﹣5，解得m=5，n=4，则A（﹣1，5），B（5，﹣1），
把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y=kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y=﹣x+4；
（2）设直线y=﹣x+4与y轴的交点为C，则C（0，4），
所以S△AOB=S△AOC+S△BOC=×4×1+×4×5=12；
（3）x＜﹣1或0＜x＜5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
27．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质
得到，等量代换得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，
∴，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE•DC=AB•DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28．为丰富学生的学习生活，某校2016届九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：
活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】图表型．
【分析】判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：∵24人的费用为2880元＜3520元，
∴参加这次春游活动的人数超过24人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[120﹣2（x﹣24）]x=3520，
整理，得x2﹣84x+1760=0，
解得：x1=44，x2=40，
x1=44时，120﹣2（x﹣24）=80＜85，不合题意，舍去；
x2=40时，120﹣2（x﹣24）=88＞85．
答：该班共有40人参加这次春游活动．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，解题时候一定注意首先判断人数是否超过24人，难度不大．
29．已知，如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径作⊙O，⊙O分别与其它两边交于点D、点E，过点E作EF⊥AC于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为6，求EF的长；
（3）在第（2）小题的情形下，求图中阴影部分的面积．。