数学建模汽车停车距离问题教学实例分析

数学建模汽车停车距离问题教学实例分析
发布时间：2021-04-07T11:21:27.893Z 来源：《教育研究》2021年2月作者：黄高湧[导读] 数学建模就是建立数学模型解决实际问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017版）》把“数学建模”定义为是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程，如果问题没有得到很好的解决，还需要重复进行建模过程.
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1核心素养数学建模的内涵
数学建模就是建立数学模型解决实际问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017版）》把“数学建模”定义为是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程，如果问题没有得到很好的解决，还需要重复进行建模过程. 2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键. 2核心素养数学建模实例分析
案例《汽车停车距离问题》教学设计
2.1教学内容与核心素养解析
本案例选自《普通高中数学课程标准（2017版）》,通过让学生思考汽车急刹车过程，折出影响汽车停车距离的主要因素，初步建立急刹车的停车距离模型：停车距离=反应距离+刹车距离，而后借助数据收集、画散点图、函数拟合、物理分析、讨论验证等环节得到汽车停车距离的函数模型，并应用该模型解决实际问题.
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用数学方法及计算技术进行求解的过程，本案例力图让学生经历数学建模的一般过程，进一步形成和发展学生数学建模的核心素养，培养和提高学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力.
2.2汽车停车距离问题教学设计
1)实际引入，提出问题
问题1 (播放汽车追尾事故视频) 在我国道路交通安全条例第80条中规定，高速公路车速超过100公里每小时时，应当与同车道前车保持100米以上的车距.这个“100米以上”的依据是什么？
设计意图：（1）以新闻视角的形成引出课题，吸引学生的注意力，思考追尾事故多发的社会问题，从而引导抽象出数学问题，让学生自然的体会数学抽象的过程，引导学生关注社会实际情况.（2）通过交通法规的相关规定，给出实际问题提出“保持100以上”的依据是什么问题，从而引出汽车停车距离问题，引起学生的思维冲突与关注，激发学生探究问题的兴趣.
2)联系实际，分析问题
问题2 影响汽车停车距离的因素是什么？其中最关键因素是什么？
设计意图：汽车停车距离问题是一个多变量问题，研究不同物理量对安全停车距离的影响，使学生明白研究问题的角度可以多样化，要关注到各种因素.但是在研究分析问题时为了更准确的分析关系，采用控制变量的方式，控制其它因素不变，从而分析实际问题.
3)建立数学模型
问题3 如何建立汽车停车距离关于行驶速度之间的函数关系？
设计意图：汽车停车距离问题，先从物理角度分析得出确定的函数模型，而且它的运动状态对于具有一定物理基础的高中学生是容易推导得出的.但也要让学生明白，很多实际生活中的问题是没有确定的模型，那么就要先收集数据，分析数据特点，然后从散点图拟合的角度去拟合函数模型。

同时很多实际的问题是应该先分析具体问题背景，从背景出发研究函数模型，这样更具有科学性. 4）合作探究，数据分析
问题4 如何求解系数的值？
根据某公路管理局公布的实验数据：
行驶速度32， 40， 48， 56， 64， 72， 80， 89， 97， 105， 113， 121， 128 反应距离6.7, 8.5，10.1,11.9,13.4,15.2,16.7,18.6,20.1,21.9, 23.5，25.3, 26.8
制动距离6.1, 8.5，12.3,16.0,21.9,28.2,36.0,45.3,55.5,67.2, 81.0，96.9, 114.6
停车距离12.8,17.0,22.4,27.9,35.3,43.4,52.7,63.9,75.6,89.1, 104.5,122.2,141.4 要求学生以4-6人为一小组，在不改变数据单位的前提下，进行参数a,b的求解.
设计意图：（1）利用物理理论背景确定了二次函数模型，引导学生要注重收集数据的过程，拿到数据表，应学会处理数据和分析数据，充分发挥学生的主动性，提高学生的数据分析和处理能力.（2）通过小组合作，让学生体会求解的方法是不唯一的，取两组数据代入求解偶然性大，相比较平均数求值较稳定，在数据量大时，可以优先考虑取平均数，同时感受数学建模中求解模型的运算过程，培养学生的数学运算能力.
5）数学模型最优分析
问题5 以上利用数据，多种方法求解系数,那一种方案更优？
方法一：对比函数图像与试验数据，方案离点近的函数模型.
方法二：通过数据再对比分析，（1）利用残差绝对值:，（2）利用判断误差的另一种方式方差，利用Excel数据运算辅助分析，这种方法称为最小二乘法则，它可以帮助检验误差并优化模型.
设计意图：通过图像与数据两方面，让学生体会模型存在一定的误差，并自然的引出残差的概念，让学生感受在数学建模过程中比较常见的误差分析，数据检验的方法最小二乘法则，了解如何用函数图像和统计学知识检验模型. 6）回归实际，解决问题
实际法规中规定最高时速低于70公里每小时的机动车不得进入高速公路，对于城市道路，公路也都有相应的现应的限速要求，50公里每小时和70公里每小时.我们可以以70公里每小时为界，前6个数据按方法二处理，同样其余后面的点也做同样处理，可以得到：
问题6 回到课题引入的问题中，你认为法规中“100米以上”的依据是什么？
为了更好的使用模型，人们给出了更加直观的汽车停车距离示意图.（介绍示意图）设计意图：通过对开始问题的解决，让学生体会应用模型解决实际问题，同时借助人工智能知识的拓展，让学生理解模型中系数的意义以及感受数学对现实生活的指导意义.
2.3汽车停车距离问题教学设计说明
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.力图让学生经历数学模型的完整过程，体会数学建模的一般步骤，形成和发展学生数学建模的核心素养.
1）借助问题情境，培养提出、分析、解决问题的能力.设计将数学知识和技能置于真实情境中，通过让学生观看汽车追尾视频，思考汽车急刹车过程这一事件出发，析出影响汽车停车距离的主要因素，初步建立急刹车的汽车停车距离模型，让学生体验到数学来源于生活又应用于生活.
2）经历数据的收集与分析，模型的拟合与检验等过程,设计将教材中主要通过物理定性分析得到模型的过程，函数拟合与认定，模型检验等环节得到停车距离的函数模型,体会数学建模的过程，领会数学建模的一般步骤.。