最新人教版八年级数学上册《14.2.2 完全平方公式》优质教学课件

1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添 括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构 特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2.
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
探究新知
想一想 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 ×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2 ×
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2 × (–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
＝(2016–2015)2＝1.
探究新知
素养考点 3 利用完全平方公式的变形求整式的值
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8， (x–y)2＝x2＋y2–2xy，
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64， 运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝ ____2_5___．
课堂检测
能力提升题
计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)] ＝(3a)2–(b–2)2 ＝9a2–b2＋4b–4.
链接中考
1. 将9.52变形正确的是( C ) A．9.52=92+0.52
B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)
C．9.52=102–2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
2. 若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m= –1或7 ．
课堂检测
问题2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式.
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)． 解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc； (2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
a + b + c = a + ( b + c) ; a–b–c = a–(b+c).
探究新知
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变号;如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号(简记为 “负变正不变”).
探究新知
素养考点 4 添括号法则的应用
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)] ＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
课堂检测
拓广探索题
1.若a+b=5，ab=–6， 求a2+b2，a2–ab+b2. 解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
(1) 说一说积的次数和项数. (2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？ (3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么 关系？它的符号与什么有关？
探究新知 公式特征： 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
小 结 与 思 考
这节课的学习你有 什么收获？
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什 么? 还有什么疑问吗?
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1原) 式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= x2–(4y2–12y+9)
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
2.已知x+y=8，x–y=4，求xy. 解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;
由①–②得 4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平 注 意 方公式
常用 结论
(a±b)2= a2±2ab+b2
基础巩固题
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_；(2) (4x–3y)2=__1_6_x_2–_2_4_x_y_+__9_y2__ ； (3) (2m–1)2 =__4_m__2–_4_m__+_1_____；(4)(–2m–1)2 =__4_m__2_+_4_m_+__1____.
对应训练.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_5_2___. (2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=_1_8_或__–_1_8_ . (3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为__1____.
探究新知 知识点 2 添括号法则
去括号： a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c.
简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”
探究新知 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?
探究ห้องสมุดไป่ตู้知
证明
设大正方形ABCD的面积为S.
S1
S2
S3
S4
S= (a+b)2 =S1+S2+S3+S4= a2+b2+2ab .
探究新知
几何解释
b
a
=
+
+
+
a
b
a2
ab
ab
b2
和的完全平方公式：
(a+b)2= a2+2ab+b2 .
1 2
+ 2
(a + b)2= a2 + 2ab + b2 =16m2 +8mn +n2；
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2× (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式进行计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n+n2
(2)
y
1 2
2
解：
y
1 2
2
=
1
y2 –2•y•2
探究新知
知识点 1 完全平方公式 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
方法总结：当一个数具备与整十、整百⋯ ⋯相差一个正整数时 求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较
简便．
巩固练习
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99；
(2)20162–2016×4030＋20152.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
探究新知
a−b
b
几何解释
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
(a−b)2= a2 −ab−b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
差的完全平方公式：
(a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
问题4： 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2. (a–b)2= a2–2ab+b2.
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy ＝36 –16＝20；
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20 –16＝4.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
巩固练习
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
导入新知
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据 二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,
拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
素养目标
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
a
b
探究新知
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= p2+2p+1 . (2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= m2+4m+4 . (3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= p2–2p+1 . (4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= m2–4m+4 .