数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课时)

第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三课时
导入新课
思路1。

(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用．
思路2。

（问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．
1．化简下列各式：
（1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；
（2）错误!－错误!－sin x －cos x ；
（3）sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β
＋错误!。

答案：（1）cos α；（2）0；（3）1。

2．证明下列各式:
（1）sin α＋βcos α－β
＝错误!； (2）tan(α＋β)tan(α－β)（1－tan 2αtan 2β)＝tan 2α－tan 2β；
(3）错误!－2cos(α＋β）＝错误!.
答案：证明略．
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课．
推进新课
错误!
错误!
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式。

②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系
中思考.
活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法．教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时,还要注意角的相对性，如α＝（α＋β)－β，错误!＝(α－错误!)－(错误!－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S（α±β）〕;
cos(α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ〔C(α±β)〕；
tan（α±β)＝错误!〔T（α±β)〕．
讨论结果：略．
错误!
思路1
例1利用和差角公式计算下列各式的值．
（1)sin72°cos42°－cos72°sin42°;
（2)cos20°cos70°－sin20°sin70°；
(3)错误!。

活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式,可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S（α－β）的右边，（2）同公式C（α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．再看（3）式与T（α＋β)右边形式相近，但需要进行一定的变形．又因为tan45°＝1，原式化为错误!,再逆用公式T（α＋β)即可解得．
解：（1）由公式S(α－β)，得
原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝错误!。

（2)由公式C(α＋β)，得
原式＝cos(20°＋70°）＝cos90°＝0。

(3）由公式T(α＋β)，得
原式＝错误!＝tan(45°＋15°）＝tan60°＝错误!.
点评:本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
例2R，设θ∈[0，2π]，若f(x）为偶函数，求θ的值．
活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题，其难度较小，只需利用偶函数的定义，加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可，但不容易得到满分．教师可先让学生自己探究，独立完成,然后教师进行点评．
解:∵f（x)为偶函数，∴f(－x）＝f（x)，
即sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ）＝sin(x＋θ）＋cos（x－θ），
即－sin x cosθ＋cos x sinθ＋cos x cosθ－sin x sinθ
＝sin x cosθ＋cos x sinθ＋cos x cosθ＋sin x sinθ.
∴sin x cosθ＋sin x sinθ＝0.
∴sin x(sinθ＋cosθ）＝0对任意x都成立．
∴错误!sin（θ＋错误!)＝0，即sin（θ＋错误!）＝0。

∴θ＋错误!＝kπ(k∈Z）．∴θ＝kπ－错误!（k∈Z)．
又θ∈[0，2π)，∴θ＝3π
4
或θ＝错误!.
点评：本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解．教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的，以此训练学生逻辑思维能力.
例3求证：cosα＋错误!sinα＝2sin（错误!＋α)．
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数,而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S（α＋β)展开，化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S（α＋的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这β）
种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数．
证明：方法一：右边＝2(sin错误!cosα＋cos错误!sinα)＝2(错误!cosα＋错误!sinα)
＝cosα＋错误!sinα＝左边．
方法二:左边＝2（错误!cosα＋错误!sinα）＝2(sin错误!cosα＋cos错误!sinα）＝2sin（错误!＋α)＝右边．
点评：本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的方法二将左边的系数1与错误!分别变为了错误!与错误!，即辅助角错误!的正、余弦．关于形如a sin x＋b cos x(a，b不同时为零）的式子，引入辅助角变形为A sin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左"用和角的正弦公式，把它化成A sin(x ＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝A cosφ，b＝A sinφ，那么a sin x＋b cos x ＝A(sin x cosφ＋cos x sinφ)＝A sin(x＋φ）．由sin2φ＋cos2φ＝1,可得A2＝a2＋b2,A＝±a2＋b2,不妨取A＝a2＋b2,于是得到cosφ＝错误!，sinφ＝错误!，从而得到tanφ＝错误!，因此a sin x＋b cos x＝错误!sin（x ＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将a sin x＋b cos x这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决a sin x＋b cos x的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数
化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分中高考的热点，再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.
例
（2）已知sin(α＋β)＝错误!,sin(α－β）＝错误!，求错误!.
活动：对于(1），教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α＋β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路．在(2）中,我们欲求错误!，若利用已知条件直接求tanα，tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S 、S（α－β)发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而错误!化切为弦（α＋β）
正是错误!,由此找到解题思路．教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答．
解：(1）∵α＋β＝45°，∴tan（α＋β）＝tan45°＝1.
又∵tan(α＋β）＝错误!，
∴tanα＋tanβ＝tan（α＋β)（1－tanαtanβ),
即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋（1－tanαtanβ）＋tanαtanβ＝2.
（2）∵sin(α＋β）＝错误!，sin(α－β)＝错误!，
∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!，①
sinαcosβ－cosαcosβ＝1
3。

②
①＋②，得sinαcosβ＝错误!，
①－②，得cosαsinβ＝错误!，
∴错误!＝错误!＝错误!＝5。

点评：本题都是公式的变形应用，像(1）中当出现α＋β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα＋tanβ＝tan（α＋β）(1－tanαtanβ），对于我们解题很有用处，而（2）中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.
错误!
课本本节练习5~7.
解答：
5．解：(1)原式＝sin90°＝1。

（2)原式＝cos60°＝错误!.
(3)原式＝tan45°＝1.
（4)原式＝－sin60°＝－错误!。

(5)原式＝－cos60°＝－错误!.
（6）原式＝sin20°（－cos70°）＋(－cos20°)sin70°
＝－（sin20°cos70°＋cos20°sin70°）＝－sin90°＝－1。

6．解：(1)原式＝sin错误!cos x－cos错误!sin x＝sin（错误!－x）．
(2)原式＝2（错误!sin x＋错误!cos x)＝2sin(x＋错误!)．
(3）原式＝2（错误!sin x－错误!cos x)＝2sin(x－错误!)．
(4）原式＝2错误!（错误!cos x－错误!sin x）＝2错误!sin(错误!－x）．
点评：将a sin x＋b cos x转化为A sin（x＋φ)或A cos（x＋φ）的形式，关键在于“凑”和（或差)角公式．
7．解：由sin(α－β）cosα－cos(β－α）sinα＝3
5
，可得
sin（α－β）cosα－cos（α－β)sinα＝sin（α－β－α）＝－sinβ＝错误!，∴sinβ＝－错误!。

又β是第三象限角，
∴cosβ＝－错误!。

∴sin(β＋错误!）＝sinβcos错误!＋cosβsin错误!＝错误!.
错误!
已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0）的两个根为tanα、tanβ，求tan（α＋β）的值．
解：由韦达定理，得tanα＋tanβ＝－错误!，tanαtanβ＝错误!,
∴tan(α＋β）＝tanα＋tanβ
1－tanαtanβ＝错误!＝错误!。

错误!
1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法?通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题．
2．教师画龙点睛：通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和
与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等．推导并理解公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ),运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题．
错误!
1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此，本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“a sin x＋b cos x＝错误!sin(x ＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．
2．对于习题课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法,争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法巩固．
错误!
一、和角与差角公式应用的规律
两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换,常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解"，寻找欲求角与已知角的内在联系,灵活应用公式，如α＝(α＋β）－β，α＝错误!(α＋β)＋错误!（α－β）等;②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并,还要掌握公式的变形；③“1”的妙用：在三角函数式中,有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin2α＋cos2α,也有1＝sin90°＝tan45°等．
二、备用习题
1．在△ABC中，sin A sin B〈cos A cos B,则△ABC是（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
答案：B
2.错误!cos错误!－sin错误!的值是（）
A．0 B．－2
C。

错误!D．2
答案：C
3．在△ABC中，有关系式tan A＝错误!成立，则△ABC为（) A．等腰三角形B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形D．不能确定
答案：C
4．若cos(α－β）＝错误!,cosβ＝错误!，α－β∈（0，错误!)，β∈（0,错误!)，则有( ）
A．α∈（0，错误!）B．α∈（错误!，π)
C．α∈(－错误!，0) D．α＝错误!
答案：B
5．求值：错误!＝__________.
答案：错误!
6．若sinα·sinβ＝1，则cosα·cosβ＝__________.
答案：0
7．已知cos（α＋β）＝错误!，cos（α－β)＝错误!，则tanα·tanβ＝__________.
答案：－错误!
8．求函数y＝2sin(x＋10°)＋2cos(x＋55°）的最大值和最小值．
答案：解:∵y＝2sin（x＋10°）＋错误!cos［(x＋10°)＋45°]
＝2sin(x＋10°)＋cos（x＋10°)－sin(x＋10°)
＝sin(x＋10°）＋cos（x＋10°)
＝错误!cos[(x＋10°）＋45°］
＝2cos（x＋55°），
又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，
∴当x＋55°＝k·360°－90°，
即x＝k·360°－145°（k∈Z）时，y min＝－错误!；
当x＋55°＝k·360°＋90°，
即x＝k·360°＋35°（k∈Z）时，y max＝错误!.
9．求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．
答案：解:原式＝tan(70°＋50°)(1－tan70°tan50°）－错误! tan50°tan70°
＝－错误!（1－tan70°tan50°）－错误!tan50°tan70°
＝－错误!＋错误!tan70°tan50°－错误!tan50°tan70°
＝－错误!.
∴原式的值为－错误!.
10．已知sinβ＝m·sin(2α＋β)．
求证：tan(α＋β）＝错误!tanα.
答案:证明:由sinβ＝msin（2α＋β）
⇒sin[(α＋β）－α］＝msin［(α＋β)＋α]
⇒sin(α＋β)cosα－cos（α＋β)sinα
＝m［sin（α＋β）cosα＋cos(α＋β)sinα］
⇒（1－m)·sin(α＋β）cosα
＝(1＋m）·cos(α＋β）sinα
⇒tan（α＋β)
＝错误!tanα.
点评：仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理．此方法是综合法,利用综合法证明
恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明．
11．化简错误!－2cos（A＋B）．
答案:解：原式＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!.
点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名，再次是代数式的结构特点．
12．已知5sinβ＝sin(2α＋β)．求证：2tan(α＋β）＝3tanα.
答案：证明:∵β＝（α＋β）－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，
∴5sin［（α＋β)－α]＝sin［(α＋β）＋α］，
即5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β）cosα＋cos(α＋β）sinα。

∴2sin（α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα。

∴2tan(α＋β)＝3tanα.
点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角（不要的)用结论式中的角（要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝（α＋β)－β，2α＝(α＋β）＋（α－β），2α－β＝(α－β）＋α当然变换形式不唯一,应因题而异，要具体问题具体分析．。