2017江苏高考中的圆锥曲线(解答题型-)

两式相
减得x21－9 x22＋y21－4 y22＝0， 所以 kAB·kOP＝yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝xy2121－－xy2222＝－49. 由|kAB|∈(0，＋∞)得|kAB|＋|kOP|≥2 |kAB·kOP|＝43，当且
仅当 kAB＝±32时取等号．
(3)因为 kAB·kOG＝yx11－ －yx22·yx11＋ ＋yx22＝yx2121－ －yx2222＝－94，
所以 kOA·kOB＝yx11yx22＝－49，所以 4x1x2＋9y1y2＝0.
设 P(x，y)，则由
得(x，y)＝(x1，y1)
＋λ(x2，y2)＝(x1＋λx2，y1＋λy2)，
即 x＝x1＋λx2，y＝y1＋λy2.
因为点 A，B 在椭圆上，
所以x921＋y421＝1，x922＋y422＝1，
又离心率为 22，即ac＝ 22，
bc＝2， 由ac＝ 22，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝4，b2＝c2＝2，
∴所求椭圆的方程为x42＋y22＝1.
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(2)由(1)知 F2(
2，0)，∴kMF2＝－2
＝－ 2
2，
∴直线 l 的斜率等于 22，直线 l 的方程为 y＝ 22x＋2.
y＝kx－m＋2，
由x42＋y22＝1
消去 y，整理得
(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0，
∵Δ＝16k2(mk－2)2－4(1＋2k2)[2(mk－2)2－4]＝0，
∴(m2－4)k2－4mk＋2＝0.(*) 高考专题辅导与测试·数学
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设两切线的斜率分别为 k1，k2，显然 k1，k2 是方程(*) 的两根，故 k1k2＝m22－4＝－1，解得 m＝± 2，点 Q 的坐 标为( 2，2)或(－ 2，2)．因此，直线 y＝2 上存在两点( 2， 2)和(－ 2，2)满足题意．
由x42＋y22＝1， y＝ 22x＋2
消去 y，
整理得 x2＋2 2x＋2＝0，Δ＝(2 2)2－8＝0，
∴直线 l 与椭圆相切．
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(3)假设直线 y＝2 上存在点 Q 满足题意，设 Q(m,2)．显 然，当 m＝±2 时，从 Q 点所引的两条切线不垂直，当 m≠±2 时，设过点 Q 向椭圆所引的切线的斜率为 k，则切线的方 程为 y＝k(x－m)＋2.
式考查.
[例 2] (2014·盐城三模)已知椭圆xa22＋yb22＝1(a>b>0)
的右准线 l：x＝9 5 5，离心率 e＝ 35，A，B 是椭圆上
的两动点，动点 P 满足
(其中 λ 为常数)．
(1)求椭圆的标准方程； (2)当 λ＝1 且直线 AB 与 OP 斜率均存在时，求|kAB| ＋|kOP|的最小值； (3)若 G 是线段 AB 的中点，且 kOA·kOB＝kOG·kAB， 问是否存在常数 λ 和平面内两定点 M，N，使得动点 P 满足 PM＋PN＝18？若存在，求出 λ 的值和定点 M，N； 若不存在，请说明理由．
则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
的最大值等于 2. (1)求椭圆的方程；
(2)过点 M(0,2)作直线 l 与直线 MF2 垂直，试判断直 线 l 与椭圆的位置关系；
(3)直线 y＝2 上是否存在点 Q，使得从该点向椭圆所
引的两条切线相互垂直？若存在，求点 Q 的坐标；若不
பைடு நூலகம்存在，说明理由．
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解：(1)∵点 P 在椭圆上，∴－b≤yp≤b， ∴当|yp|＝b 时，△PF1F2 面积最大，且最大值为 12|F1F2|·|yp|＝12·2c·b＝bc＝2，
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在上述方程中，令 x＝0，得 y0＝3＋k4k2＝3k＋14k. 当 k<0 时，3k＋4k≤－4 3；当 k>0 时，3k＋4k≥4 3.
所以－ 123≤y0<0
或
0<y0≤
3 12 .
综上，y0
的取值范围是－
123，
123.
热点二
圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题是近年来高考中对解析几何考查 命 题 的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、 角 参数等是否存在为主要考查角度，多以解答题形 度
解题反思： 1.构建等式的方法。（线段长相等) 2.构建不等式的方法（判别式） 3.条件的等价应用。 4.设斜率时应注意的问题（分类思想）。
1．已知椭圆
C
：
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
一
个
焦
点
是
F(1,0)，且离心率为12.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，线段
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故 x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2) ＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2) ＝20＋4(x1x2＋2y1y2)． 设 kOM，kON 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题意知， kOM·kON＝yx11yx22＝－12，因此 x1x2＋2y1y2＝0， 所以 x2＋2y2＝20， 所以 P 点是椭圆2 x252＋ y1202＝1 上的点，设该椭圆 的左、右焦点为 F1、F2，
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解：(1)设曲线 C 上动点的坐标为(x，y)，根据已知得 x|x－－2222＋| y2＝ 22，化简整理得x42＋y22＝1，即为曲线 C 的 方程．
(2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则由
得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，
即 x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2， 因为点 M，N 在椭圆x42＋y22＝1 上， 所以 x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，
y＝kx－1， 由x42＋y32＝1，
消去 y 并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0， 则 x1＋x2＝3＋8k42k2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点为 Q(x3，y3)， 则 x3＝x1＋2 x2＝3＋4k42k2，y3＝k(x3－1)＝3－＋34kk2. 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y＋3＋3k4k2＝－1kx－3＋4k42k2.
即 4x21＋9y21＝36,4x22＋9y22＝36.
故 4x2＋9y2＝4(x21＋λ2x22＋2λx1x2)＋9(y21＋λ2y22＋2λy1y2)＝
(4x
2 1
＋
9y
2 1
)
＋
λ2(4x
2 2
＋
9y
2 2
)
＋
2λ(4x1x2
＋
9y1y2)
＝
36
＋
36λ2
＋
2λ(4x1x2＋9y1y2)．
所以 4x2＋9y2＝36＋36λ2，即9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1，
2017江苏高考中的圆锥曲线(解答题 型-)
热点一
圆锥曲线中的范围问题
与圆锥曲线中范围有关的问题，通常是通过
命 构造不等式求解．常见的命题角度有：
题 角
(1)求满足条件的直线斜率范围；
度 (2)求点的坐标范围；
(3)求弦长或圆形面积的取值范围等.
[例 1] 已知 A、B、C 是椭圆 M：xa22＋yb22＝1(a>b>0) 上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆的中 心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|.
所以点 P 是椭圆9＋x29λ2＋4＋y24λ2＝1 上的点．
设该椭圆的左、右焦点分别为 M，N，则由椭圆的定义 PM
＋PN＝18 得 18＝2 9＋9λ2，所以 λ＝±2 2，
所以 M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
即存在符合题意的 λ＝±2 2，M(－3 5，0)，N(3 5，0)．
解题反思： 1.变量的选择是点还是直线的斜率。 2.求最值方法-----基本不等式（找和，积是否为定值） 3.体会点在椭圆上的应用。 4.记住一个小结论（点差法推导）
[师生共研]
(1)由题设可知aacc2＝＝9355. 5，
所以 a＝3，c＝ 5.
又 b2＝a2－c2，所以 b2＝4. 所以椭圆的标准方程为x92＋y42＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由
得 P(x1＋x2，y1＋y2)．
因为点 A，B 在椭圆上，所以xx991222＋＋yy442122＝＝11，，
(2)由题意知 D(0，－2)，设直线 l 的斜率为 k， 当 k＝0 时，显然－2<t<2； 当 k≠0 时，设直线 l：y＝kx＋t，
联立1x22 ＋y42＝1， y＝kx＋t，
消去 y 得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0， 由 Δ>0 可得，t2<4＋12k2.① 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ 的中点为 H(x0，y0)，
MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，y0)，求 y0 的取值范围．
解：(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意，得 c＝1. 因为椭圆 C 的离心率为21， 所以 a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1. (2)当 MN⊥x 轴时，显然 y0＝0. 当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)．
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则由椭圆的定义，PF1＋PF2 为定值， 又因为 c＝ 2 52－ 102＝ 10， 因此两焦点的坐标分别为 F1(－ 10，0)、F2( 10，0)．
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2
．
已
知
椭圆xa22＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右焦
点
分
别
为
F1、F2，离心率为 22，P 是椭圆上一点，且△PF1F2 面积
3．已知平面内曲线 C 上的动点到定点( 2，0)和定
直线 x＝2
2的比等于
2 2.
(1)求该曲线 C 的方程；
(2)设动点 P 满足
，其中 M，N 是
曲线 C 上的点．直线 OM 与 ON 斜率之积为－12.问：是否
存在两个定点 F1、F2，使得 PF1＋PF2 为定值？若存在，
求 F1、F2 的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求椭圆 M 的方程； (2)过点(0，t)的直线(斜率存在) 与椭圆 M 交于 P、Q 两点，设 D 为 椭圆与 y 轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数 t 的取 值范围．
[师生共研] (1)∵|BC|＝2|A C|且 BC 过点(0,0)， 则|OC|＝|A C|. ∵∠OCA ＝90°，∴C( 3， 3)． 由题意知 a＝2 3，则椭圆 M 的方程为1x22＋yb22＝1， 将点 C 的坐标代入得132＋b32＝1， 解得 b2＝4. ∴椭圆 M 的方程为1x22＋y42＝1.