三角关系恒等式

三角关系恒等式
一、基本三角函数关系恒等式
1. 同角三角函数的基本关系
- 平方关系
- 根据直角三角形中正弦和余弦的定义（设直角三角形一个锐角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c），sinα=(a)/(c)，cosα=(b)/(c)。

- 由勾股定理a^2+b^2=c^2，可得sin^2α+cos^2α =
((a)/(c))^2+((b)/(c))^2=frac{a^2+b^2}{c^2} = 1。

- 另外，1+tan^2α=sec^2α，因为tanα=(sinα)/(cosα)，secα=(1)/(cos α)，将tanα代入1 +tan^2α可得1+frac{sin^2α}{cos^2α}=frac{cos^2α+sin^2α}{cos^2α}，根据sin^2α+cos^2α = 1，所以1+tan^2α=sec^2α。

- 同理，1+cot^2α=csc^2α，其中cotα=(cosα)/(sinα)，cscα=(1)/(sin α)。

- 商数关系
- tanα=(sinα)/(cosα)（cosα≠0），这是根据正切函数的定义得到的，在直角三角形中，正切是对边与邻边的比值，而正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，所以相除得到正切。

- cotα=(cosα)/(sinα)（sinα≠0）
2. 诱导公式（角α与±α、π±α、2kπ±α，k∈ Z的关系）
- sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα
- 从单位圆的角度来看，角α与-α关于x轴对称。

设单位圆上一点P(x,y)对应的角为α，那么角-α对应的点P'(x, - y)。

根据正弦函数y = sinα，sin(-α)=-y =-sin α；余弦函数x=cosα=cos(-α)。

- sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα
- 在单位圆中，角α与π-α的终边关于y = x对称。

设角α终边上一点P(x,y)，则角π-α终边上一点P'(-x,y)。

sin(π-α)=y=sinα，cos(π-α)=-x =-cosα。

- sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα
- 角π+α与α的终边关于原点对称。

设角α终边上一点P(x,y)，则角π+α终边上一点P'(-x,-y)。

sin(π+α)=-y =-sinα，cos(π+α)=-x=-cosα。

- sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，k∈ Z
- 因为2kπ（k∈ Z）表示角旋转整数圈，终边相同，所以三角函数值相同。

3. 两角和与差的三角函数恒等式
- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B - 可以通过向量的方法或者几何方法来证明。

例如几何方法，在单位圆中构造角A和B，利用三角形的边角关系来推导。

- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B - 同样可以用几何或者向量的方法证明。

- tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)（A，B，A + B≠ kπ+(π)/(2)，k ∈ Z），tan(A - B)=(tan A-tan B)/(1+tan Atan B)（A，B，A - B≠ kπ+(π)/(2)，k ∈ Z）
- 由tan(A + B)=(sin(A + B))/(cos(A + B))，将sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B和cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B代入，再分子分母同时除以cos Acos B得到tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1 - tan Atan B)。

4. 二倍角公式
- sin2A = 2sin Acos A
- 令B = A代入sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B可得。

- cos2A=cos^2A-sin^2A = 2cos^2A - 1=1 - 2sin^2A
- 由cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令B = A得到cos2A=cos^2A-sin^2A，再根据sin^2A+cos^2A = 1进行变形可得另外两种形式。

- tan2A=(2tan A)/(1-tan^2)A（A≠ kπ+(π)/(2)，A≠(kπ)/(2)+(π)/(4)，k∈Z）
- 由tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)，令B = A得到。

5. 半角公式
- sin(A)/(2)=±√(frac{1 - cos A){2}}，cos(A)/(2)=±√(frac{1+cos A){2}}，tan(A)/(2)=(sin A)/(1 + cos A)=(1-cos A)/(sin A)
- 由cos2A = 1 - 2sin^2A，解出sin(A)/(2)；由cos2A = 2cos^2A - 1，解出cos(A)/(2)；再根据tan(A)/(2)=(sinfrac{A)/(2)}{cos(A)/(2)}并结合前面的结果得到tan(A)/(2)的表达式。

正负号根据(A)/(2)所在象限确定。

6. 积化和差与和差化积公式（了解内容）
- 积化和差公式
- sin Acos B=(1)/(2)[sin(A + B)+sin(A - B)]
- cos Asin B=(1)/(2)[sin(A + B)-sin(A - B)]
- cos Acos B=(1)/(2)[cos(A + B)+cos(A - B)]
- sin Asin B=-(1)/(2)[cos(A + B)-cos(A - B)]
- 和差化积公式
- sin A+sin B = 2sin(A + B)/(2)cos(A - B)/(2)
- sin A-sin B=2cos(A + B)/(2)sin(A - B)/(2)
- cos A+cos B = 2cos(A + B)/(2)cos(A - B)/(2)
- cos A-cos B=- 2sin(A + B)/(2)sin(A - B)/(2)。