高等数学A2(一) 教学大纲

高等数学A2（一）
一、课程说明
课程编号：130702X10
课程名称（中/英文）：高等数学A2（一）/Advanced Mathematics A2(Ⅰ)
课程类别：必修
学时/学分：80/5
先修课程：无
适用专业：理工类
教材、教学参考书：
基本教材：《高等数学》（上册），主编，2014.7，中南大学出版社
主要参考书：《大学数学系列课程学习辅导与同步练习册》（高等数学上），2015.9，中南大学出版社
二、课程设置的目的意义
高等数学A2是高等院校理工类（非数学）专业理工科各专业学生必修的重要基础理论课，是研究自然科学和工程技术的重要工具，是学生提高文化素质和学习有关专业知识的重要基础.
通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数、极限与连续（不包括实数理论）；2、一元函数微积分学；3、无穷级数(包括傅立叶级数)；4、向量代数与空间解析几何；5、多元函数微积分学（不包括含参变量的积分）；6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础.
高等数学A2的教学分为两部分，分别是高等数学A2（一）、高等数学A2（二）．开设时间是大学第一学年，分两学期授课，总学时为80+80，学分为5+5．第一学期每周6学时（约14周）；第二学期每周5学时（约16周）.
学习本课程的目的和任务：第一、使学生系统地获得大纲中所列基础知识、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和进一步深造奠定必要的数学基础；第二、通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力和自学能力，特别要培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.
三、课程的基本要求
本课程基本要求的高低用不同词汇加以区分，对概念、理论，高要求用“理解”一词表述，低要求用“了解”一词表述；对方法、运算，高要求用“掌握”一词表述，低要求用“会”或“了解”表述.学生对高要求部分必须深入理解，牢固掌握，熟练应用.具体要求如下：
第1章函数、极限与连续
1．掌握基本初等函数的概念、性质及其图形, 掌握初等函数的概念；
2．掌握极限四则运算法则；
3．理解函数的概念，掌握函数的表示法, 会求函数值及定义域；
4．会建立简单实际问题中的函数关系；
5．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限；
6．了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，了解无穷小的运算性质及阶的比较，会用等价无穷小求极限；
7．理解函数在一点连续的概念，会判断函数在某一点（包括分段函数在分段点处）的连续性；
8．了解函数间断点的概念，并会判断间断点的类型；
9．了解反函数概念，会求简单函数的反函数；理解复合函数概念，会分析复合函数的复合过程；
10．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；
11．了解极限的概念（对极限的ε-N，ε-δ定义在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N或δ不作过多的要求）；
12．了解初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质．
第2章一元函数微分学
1 掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性与连续性的关系，会求曲线在某点处的切线与法线方程；
2．熟练掌握导数的基本公式，四则运算法则和复合函数求导方法；掌握初等函数一、二阶导数的求法；
3．会求分段函数的导数，会求隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数，以及反函数的导数；会用对数求导法求幂指函数及由积、商、幂所组成的函数的导数；
4．了解高阶导数的概念, 会求简单函数的n阶导数；
5．了解微分的概念，掌握微分运算法则和一阶微分形式不变性，以及可导与可微的关系，会求函数的微分；
6．理解并会用Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，了解并会用Taylor定理；知道e x、sinx、cosx、ln(1+x)等函数的Maclourin展开式；
7．熟练掌握用洛必达法则求未定式"0/0"与"∞/∞"型以及可化为这两种形式的未定式的极限；
8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式, 掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用；
9．了解曲线凹凸性与拐点的概念，会用导数判别曲线的凹凸性，会求拐点；会求曲线的渐近线，能描绘函数的图形；
10.了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径．
第3章 一元函数积分学
1．熟练掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法； 2．熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法；
3．掌握Newton- Leibniz 公式并能熟练地用此公式计算定积分； 4．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质；
5．掌握简单的有理函数和三角函数有理式及简单无理函数的不定积分计算方法；
6．理解定积分的概念、几何意义和基本性质；理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理．
7．掌握用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体体积和平面曲线的弧长；
8．了解不定积分的几何意义 ；
9．会计算无穷区间和无界函数的广义积分；
10．知道用微元法将实际问题表达成定积分的方法；会用定积分表达并计算一些物理量（如功、水压力、引力、平均值等）的方法．
第4章 无穷级数
1．熟练掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件；熟练掌握调和级数的敛散性及其应用；
2．熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； 3．理解无穷级数收敛、发散及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；
4．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法； 5．掌握交错级数的莱布尼茨判别法； 6．掌握Maclaurin 展开式，会利用e x 、sinx 、cosx 、ln (1＋x )、(1＋x )m 的Maclourin 展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数；
7．理解幂级数收敛半径的概念； 8．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系； 9．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；
10．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；
11．了解函数展开为Taylor 级数的充分必要条件；
12．了解Fourier 级数的概念和Drichillit 收敛定理，会将定义在[,]ππ-和[,]l l -上的函数展开为Fourier 级数，会将定义在[0,]π和[0,]l 的上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数和函数的表达式．
四、教学内容、重点难点及教学设计
注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求
无
六、考核方式及成绩评定
七、大纲撰写：大纲审核：。