高中数学函数周期性总结计划

函数的周期性
一、周期函数的定义
对于函数 f ( x) ，假如存在一个非零常数T ，使适当x取定义域内的每一个值时，都有
f ( x T ) f (x) ，
那么函数 f ( x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（ 1）T一定是常数，且不为零；
（ 2）对周期函数来说 f ( x T ) f (x) 一定对定义域内的随意x 都建立。

二、常有函数的最小正周期
2π
正弦函数 y=sin（ω x+φ）（w>0）最小正周期为T=
y=cos （ω x+φ）（ w>0）最小正周期为 T=
2π
y=tan（ω x+φ）（w>0）最小正周期为T= π
y=|sin（ω x+φ）|（w>0）最小正周期为T=
π
f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？
三、抽象函数的周期总结
1、2、f ( x T ) f ( x)y f (x) 的周期为T
f ( x a) f (b x) (a b)y f (x)
的周期为
T b a
3、
f ( x a) f ( x)
c
4、 f ( x a)
f ( x)
y f (x) 的周期为T2a (C 为常数 )y f (x) 的周期为T2a
5
1 f ( x)
f (x a)
f ( x)
1
1
6、 f (x a)
f ( x) 1
1 f ( x) 7、 f ( x a)
1 f (x) y f (x)的周期为 T 2a y f ( x)的周期为 T 4a y f (x)的周期为 T 4a
8、f ( x2a) f ( x a) f ( x)y f (x) 的周期为T 6a
9 、f ( x n 2) f (x n) f (x n 1) ；（它是周期函数，一个周期为6）
10 、y f (x) 有两条对称轴x a和x b（ a b)y f ( x) 周期T 2(b a)
11 、 y
f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)
y f (x) 周期 T 2(b a)
12 、 y
f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0)
y f (x) 周期 T 4(b a)
13
、奇函数
y f ( x) 知足
f (a x) f ( a x)
y f (x) 周期
T
4a。

14
、偶函数
y
f ( x)
知足 f (a x)
f (a x)
y
f ( x)
周期
T
2a。

4、对称性加奇偶性获得周期
1. f(x) 为偶函数且 f(a+x)=f(a-x) 则 T=2a
2.f(x) 为奇函数且 f(a+x)=f(a-x) 则 T=4a
练习：① f(x+a)= － f(x)
②f(x+a)=
1 ③f(x+a)= － 1 ④f(x+a)= f (x)
1
⑤f(x+a)=f(x-a)
f (x) f (x) f (x) 1
⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a)
1、函数 f ( x) 的定义域为 R ，若 f ( x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，则 (
)
A. f (x) 是偶函数
B.
f (x) 是奇函数
C. f (x)
f ( x 2)
D.
f ( x 3) 是奇函数
2、设 f x
是定义域为 R 的函数，且 f
x
2 1 f x
1
f x ，又 f 2
2 2 ，则
f 2006 =
3、定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f ( x)
log 2 (1 x), x 0 , 则 f (2011) 的值为（
）
f (x 1)
f ( x 2), x
(A)-1
(B) 0 (C)1 (D)2
4、定义在 R 上的函数 f ( x) ，给出以下四个命题：
（ 1）若 f ( x) 是偶函数，则 f ( x 3) 的图象对于直线 x 3 对称
（ 2）若 f ( x 3)
f (3 x),则 f ( x) 的图象对于点 (3,0) 对称
（ 3）若 f ( x 3)
= f (3 x) ，且 f (x 4) f (4 x) ，则 f ( x) 的一个周期为 2。

（ 4） y
f ( x 3) 与 y f (3 x) 的图象对于直线 x 3 对称。

此中正确命题的序号为。

11、若 f ( x) 为定义在 R 上的函数，且 f (10 x)
f (10 x) ， f (20 x)
f (20 x) ，则 f ( x) 为（
）
A ． 奇函数且周期函数； B.
奇函数且非周期函数；
C．偶函数且周期函数； D.偶函数且非周期函数．
14、已知函数f x 知足: f 1 1
, 4 f x f yf x y f x y x, y R ,则4
f 2010 =_____________.。