《1.2.3弦切角定理》教学案2

《1.2.3弦切角定理》教学案
教学目标
1.了解弦切角的概念；
2.掌握弦切角定理的推理过程；
3.理解弦切角定理的推论.
教学过程
(一).创设情境，以旧探新(约8分钟)
1.复习：什么样的角是圆心角？(顶点在圆心的角叫圆心角.)
什么样的角是圆周角？(顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.) 2.揭示课题：今天我们继续学习圆中的第三种角.
3.请同学们观察右图(盲生提供盲图)，图中的角是圆周角吗？(点C 在圆上，CA 与圆相交，CB 与圆相切，∠ACB 是圆周角吗？)
师生共同发现这个角的特征：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切． 4.教师说明弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角动态的形成过程：弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角.(电脑辅助教学，全盲生用吸管拼摆)
【注意辅导后进生】
5.用反例图形继续剖析定义，揭示概念本质属性：
即时练习：判定下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
【给盲生充足的摸图时间】
以上图1～图3中的角都不是弦切角，图
4是弦切角.
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件.
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件.
图(3)
中，缺少“一边和圆相切”的条件
.
通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可.
图4 图3
图图
(二).操作、观察、猜想(约5分钟)
在作图板上进行点C的运动操作(如图5)，观察∠P与∠BAC的关系，并进行大胆的猜想：∠P=∠BAC.操作完后，低视生观察电脑动画(如图6～8)
图5
【图5显示的是学生课堂上在作图板上图形，图钉处的字母是后来加上的，课堂上学生经过以往的训练很容易记住其表示的点的名称，且字母的添加也不是很方便，所以学生的作图板上是没有字母的.在此图中，图钉是固定不动的，代表点；画圈处的工字钉插取方便，故用其代表移动的点C；用皮筋代表线段，可根据需要更改其长短.点A上方圆周上的点C＇是点C的特殊位置(此时的AC是直径)，故让学生用图钉固定.】
图6
图7
图8
【图6～8分别显示了弦切角的三种情况，在点C的变化过程中，右边的两个角的度数也相应的同时变大或变小，这使得低视生有了更加直观的认识.总之，在本环节中，盲生在操作的过程中体会弦切角的三种情况；低视生通过观察几何画板制作的动画更加清晰地了解了弦切角和它所夹的弧对的圆周角的关系】
(三).类比联想、论证(15分钟)【这是本节课的重点也是难点】
1.首先让学生回忆联想：
(1)圆周角定理的证实采用了什么方法？
(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证实呢？
2.分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部；
(2)圆心在角的一边上；
(3)圆心在角的内部．
3.迁移圆周角定理的证明方法
先证明情况1：弦切角的一边过圆心.(即一边为过切点的直径)
再考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况.
(1)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个锐角，怎样将其转化为特殊的直角情形？
学生不难想到要找直径(过点A作⊙O的直径AQ)，有了直径就要有直径所对的圆周角(连结PQ或CQ).因此需要添加两条辅助线.
【教学预设】看学生对第二条辅助线是怎样想的，如果绝大多数学生选择“连结CQ”，就请学生看书上的图；若选择“连结PQ”，就发给学生盲图，即图(1).
【实际教学】班级有盲生10人，有7为学生选择“连结PQ”，故我采用了不同于课本的证明：如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ－∠1＝∠APQ－∠2＝∠APC
.
(2)圆心在弦切角外部，这时弦切角是一个钝角，怎样将其转化为特殊的直角情形？——留给学生课后自己学习书上的证明方法，并想一想有没有其他证明方法(如图 (2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QP A十∠2＝∠APC.) (在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)
4.回顾证明方法：将三种情形图都化归至直角的那种情形，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.
推论：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.
【讲解证明要让学生多思考，根据学生的课堂“灵动”，及时调整教学思路】
(四).深化结论，巩固练习(约10分钟)
1.已知AB是⊙O的切线A为切点，由图填空：【给盲生提供盲图】
∠1= 30º；∠2= 70º；∠3= 65º；∠4= 40º .
2.如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．
求证：∠ATC＝∠TBC．【预设：本小题根据课堂教学实际用时可进行适
A A
A
B B B
当的调整(放在小结之后)】
分析：欲证∠ATC=∠TBC，可证△ATC∽△TBC或角的其它性质，
(此题为课本的练习题，证实方法较多，组织学生讨论，归纳证法.)
【实际教学】由于定理的证明花费了较多的时间，练习的第2题来不及课堂完成，我先进行了课堂小结，将此题的证明稍加提示后留给学生课后完成.
(五).归纳小结(约2分钟)
教师组织学生归纳：
1.这节课我们主要学习的知识：
(1)弦切角定义：(1)顶点在圆上；(2)一边和圆相交；(3)一边和圆相切.
(2)还可以从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角.
(3)弦切角定理及其证明：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
2.在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？(化归思想、分类思想)。