2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)提速综合练习7-8(含答案解析)

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）提速综合练习7-8
“12＋4”小题提速综合练(七)
一、选择题
1．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2
解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．
2．(2017·南京模拟)若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．5
D ．6
解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点为(a －1,3)，所以由题意得点在直线y ＝x ＋2上，则3＝a －1＋2，解得a ＝2.
3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3个单位，所得图象对应的函数为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin 1
2
x
解析：选A 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将图象向右平移π
3
个单位，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S ＝－12，则输出S 的值为( ) A ．4 B ．5
C ．8
D ．9
解析：选C 第一次循环，得S ＝－10，n ＝2；第二次循环，得S ＝－6，n ＝3；第三次循环，得S ＝0，n ＝4；第四次循环，得S ＝8，n ＝5.此时S ＞n ，不满足循环条件，退出循环，输出S 的
值为8，故选C.
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的
公差d 是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
解析：选B 法一：等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，所以有S n n ＝a 1＋1
2(n －1)d ，代入S 33－S 22＝
1中，得a 1＋12(3－1)d －a 1＋12(2－1)d ＝1
2
d ＝1，所以d ＝2.
法二：易知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是公差为d
2的等差数列，所以d ＝2.
6．在[－2,6]上随机取一个数m ，则使关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0有实数根的概率是( ) A.1
2 B.13
C.14
D.15
解析：选A 由关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0得(－4)2－4m 2≥0，解得－2≤m ≤2，所以所求概率P ＝
2－(－2)6－(－2)＝1
2
.
7．函数y ＝e x cos e x
e 2x －1
的图象大致为( )
解析：选D 设f (x )＝e x cos e x
e 2x －1，则易得函数
f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －
x cos (－e x )e －2x －1＝
e x cos e x 1－e 2x
＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除A ；当0＜x ＜π
2e 时，f (x )＞0，排除B ；当x
增大时，函数值的符号正负交替出现，排除C ，故选D.
8．(2017·南京模拟)某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是( )
A.323
B.643
C ．16
D ．32
解析：选A 由三视图可知该几何体如图所示，此几何体是三棱锥，且底面是腰长为4
的等腰直角三角形，高为4，故该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫1
2
×4×4×4＝323
. 9．(2017·惠州模拟)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C
交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 3
B. 2 C ．2
D ．3
解析：选A 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，
因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2
a 2－1＝
b 4a
2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝
4a ，∴b 2
a 2＝2，∴e ＝
1＋b 2
a
2＝ 3. 10．(2017·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭
⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣
⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6(k ∈Z) B.⎣
⎡⎦⎤k π，k π＋π
2(k ∈Z) C.⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦
⎤k π－π
2，k π(k ∈Z) 解析：选C 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6
(k ∈Z)．因为f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π
6
＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －
5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，得x ∈k π＋π6，k π＋2π
3
(k ∈Z)． 11．已知曲线C ：y ＝1
8x 2的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|FP |＝2|FQ |，则△OPQ 的
面积等于( )
A ．6 2 B.322
C ．12 2
D.324
解析：选A 由题意得抛物线的标准方程为x 2＝8y ，所以焦点F (0,2)，易得直线l 的斜率一定存在，则不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与抛物线的方程联立，消去y 得x 2－8kx －16＝0，则x P x Q ＝－16， ①
又因为|FP |＝2|FQ |，所以x P ＝－2x Q ， ②
联立①②，解得⎩⎨⎧ x P ＝42，x Q ＝－22或⎩⎨⎧
x P ＝－42，
x Q ＝22，
所以S △OPQ ＝1
2
(|x P |＋|x Q |)·|OF |＝6 2.
12．(2018届高三·昆明两区七校调研)若f (x )＋1＝1
f (x ＋1)
，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m
2
有两个零点，则实数m 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫0，13
B.⎝⎛⎦⎤0，2
3 C.⎝⎛⎦
⎤0，13 D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞
解析：选B 依题意，
f (x )＝
1
f (x ＋1)
－1，
当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)， f (x )＝
1f (x ＋1)－1＝1
x ＋1
－1， 由g (x )＝0得f (x )＝m ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2. 在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2在区间(－1,1]内的图象， 结合图象可知，要使g (x )有两个零点，只需函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12该直线斜率为m ，过点－1
2，0在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，2
3，选B. 二、填空题
13．(2017·合肥模拟)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．
解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0,4,11,9,16，其平均数为x ＝1
5
(0＋4＋11＋9＋16)＝8，
根据方差公式可得
s 2
＝(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)25
＝30.8. 答案：30.8
14．(2018届高三·广西五校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．
解析：因为a ·b ＝3＋3m ，|a |＝12＋(3)2＝2，|b |＝9＋m 2，由|b |cos 〈a ，b 〉＝3，可得a ·b
|a |＝3，故3＋3m 2
＝3，解得m ＝3，故|b |＝9＋3＝23，故cos 〈a ，b 〉＝
323
＝
32，故〈a ，b 〉＝π6，即向量a 与b 的夹角为π
6
. 答案：π6
15．(2017·西安八校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y ≥0，
y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a
表示的平
解析：依题意得a ＞0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组
面区域如图所示，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点
A (a ，a )时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.
答案：1
16．(2017·福建质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n ＋1－S n ＝2
3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[－
0.4]＝－1，[1.6]＝1.设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为________．
解析：当n ≥2时，由题意，得S n ＝a n ＋1－23，S n －1＝a n －2
3，两式相减得，a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，
又当n ＝1时，a 1＝23，a 2－a 1＝2
3，
所以a 2＝4
3，即a 2a 1
＝2，
所以数列{a n }是首项为2
3，公比为2的等比数列，
所以a n ＝23·2n －1＝13·2n
.
所以b 1＝0，b 2＝1＝2b 1＋1， b 3＝2＝2b 2，b 4＝5＝2b 3＋1， b 5＝10＝2b 4，b 6＝21＝2b 5＋1， b 7＝42＝2b 6，b 8＝85＝2b 7＋1， …，
b 2n －1＝2b 2n －2，b 2n ＝2b 2n －1＋1， 所以b 1＋b 2＝21－1，b 3＋b 4＝23－1， b 5＋b 6＝25－1，b 7＋b 8＝27－1，…， b 2n －1＋b 2n ＝22n －
1－1，
设数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝2(1－4n )1－4
－n ＝22n ＋
13－n －2
3.
答案：22n ＋
13－n －2
3
“12＋4”小题提速综合练(八)
一、选择题
1．(2017·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}
D ．{2,4,8,10}
解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．
2．(2017·兰州模拟)下列命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ≥x 2
C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是a
b
＝－1
D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件
解析：选D 选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x ＞0；选项B 为假命题，不妨取x ＝3，则23＜32，显然不满足∀x ∈R,2x ≥x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由a
b ＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是a
b ＝－1.
3．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90
D ．95
解析：选C 由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90.
4．(2017·合肥模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．3
D ．2 5
解析：选B 因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，以上两式相减可得，4a ·b ＝|a ＋b |2－|a －b |2，所以|a －b |2＝|a ＋b |2－4a ·b ＝16－4＝12，即|a －b |＝2 3.
5．(2018届高三·湖北五校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2
a 1
，得A ＝－B .
6．一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为( )
A ．5 2
B ．6 2
C ．9
D ．10
解析：选C 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，画出该几何体的直观图如图中实线所示，
所以该四棱锥由两个三棱锥组成，其体积V ＝2×13×1
2
×32×3＝9.
7.(2017·云南模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的N ＝30，则输出的S ＝( )
A ．26
B ．57
C ．225
D ．256
解析：选B 第一次循环，得S ＝1，n ＝3；第二次循环，得S ＝4，n ＝7；第三次循环，得S ＝11，n ＝15；第四次循环，得S ＝26，n ＝31；第五次循环，S ＝57，n ＞30.所以此时退出
循环，故输出的S ＝57.
8．(2018届高三·玉溪四校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函
数g (x )＝f (x )－2x 恰
有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－1,1)
B ．[0,2]
C ．[－2,2)
D ．[－1,2)
解析：选D 由题意知g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x ，x >a ，
x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一
个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．
9．(2017·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 1
44x －1)f (log 3x ＋
1)≤5的解集为( )
A.⎝⎛⎭⎫
13，1 B ．[1,4] C.⎝⎛⎦⎤13，4
D ．[1，＋∞)
解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 14
4x －1≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧
0＜log 3x ＋1＜1，log 2
x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4. 10．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )
A.16
B.29
C.1318
D.13
解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝1
3，
在△ABD 中，
AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝
73，同理可得AE ＝7
3
， 在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 2
2AD ·AE
＝79＋79－
⎝⎛⎭⎫132
2×73×
73
＝1314，
所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝
73×73×1314＝13
18
. A ⎝⎛
⎭⎫0，
32，D ⎝⎛⎭
⎫－16，0，法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16
，－3
2，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16
，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.
11．(2018届高三·贵州摸底)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )
A.⎝⎛⎦⎤
136，72 B.⎝⎛⎦⎤
72，256 C.⎝⎛⎦⎤256，112
D.⎝⎛⎦⎤112，376
解析：选B 因为f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ωx －π
3， 方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，所以19π6＜ωπ－π3≤23π6，解得72＜ω≤25
6
.
12．(2018届高三·石家庄调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直
于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2
，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C ．2 2
D.233
解析：选D 由题意，得|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝2b 2
a ， ①
且P ，Q 分别为AF 2，BF 2的中点． 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ② |BF 2|－|BF 1|＝2a ， ③
联立①②③，得|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋2b 2
a .
因为△PQF 2的周长为12，所以△ABF 2的周长为24， 即4a ＋4b 2
a ＝24，亦即
b 2＝6a －a 2， 所以(ab )2＝6a 3－a 4. 令f (a )＝6a 3－a 4，
则f ′(a )＝18a 2－4a 3＝4a 2⎝⎛⎭⎫
92－a ， 所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，9
2上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫9
2，＋∞上单调递减， 所以当a ＝9
2时，f (a )取得最大值，
此时b 2＝6×92－⎝⎛⎭⎫922＝27
4，
所以c ＝a 2＋b 2＝33， 所以e ＝c a ＝23
3.
二、填空题
13．若函数f (x )＝(x －a )(x ＋3)为偶函数，则f (2)＝________.
解析：由f (x )＝x 2＋(3－a )x －3a 为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以3－a ＝0，a ＝3，所以f (2)＝22－9＝－5.
答案：－5
14．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<7
4，照此规律总结出第n 个不等式为
________________________________．
解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－1
4，所以照此
规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1
(n ＋1)2<2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1
.
答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1
(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1
15．(2017·广西五校联考)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，
b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b
2的最小值为________．
解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0分别配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，
依题意得两圆相外切，故a 2
＋4b 2
＝1＋2＝3，即a 2
＋4b 2
＝9，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 2
9⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥5
9
＋
2
a 29
b 2·4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a 2，即a 2＝2b 2
时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1. 答案：1
16．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝π3，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为934
，
则此时球的表面积为________．
解析：在四面体OABC 中，显然△OAB 的面积一定，设球O 的半径为R ，则S △OAB ＝12×R ×32R ＝3
4R 2，要
使四面体的体积最大，则只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以(V C -OAB )max ＝13×34R 2×R ＝312R 3＝93
4
，解得R ＝3，由球的表面积公式得S 球＝4πR 2＝4×32×π＝36π. 答案：36π。