广东省湛江市遂溪县第三中学高二数学理模拟试卷含解析

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广东省湛江市遂溪县第三中学高二数学理模拟试卷含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个关于圆锥曲线的命题,正确的是()
①从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长;
②已知M(﹣2,0)、N(2,0),|PM|+|PN|=3,则动点P的轨迹是一条线段;
③关于x的方程x2﹣mx+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线﹣=1与椭圆+=1有共同的焦点.
A.①②B.①③C.②③D.②④
参考答案:
B
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,设焦点(±c,0)到渐近线bx±ay=0的距离等于;
②,PM|+|PN|=3<4,则动点P的轨迹不存在;
③,方程x2﹣mx+1=0(m>2)的两根之和大于2,两根之积等于1,故两根中,一根大于1,一根大于0小于1;
④,双曲线的焦点是(±5,0),椭圆的焦点是(±,0),故不正确;
【解答】解:对于①,设焦点(±c,0)到渐近线bx±ay=0的距离等于,正确;
对于②,已知M(﹣2,0)、N(2,0),|PM|+|PN|=3<4,则动点P的轨迹不存在,故不正确;
对于③,方程x2﹣mx+1=0(m>2)的两根之和大于2,两根之积等于1,故两根中,一根大于1,一根大于0小于1,故可分别作为椭圆和双曲线的离心率.正确;
对于④,双曲线的焦点是(±5,0),椭圆的焦点是(±,0),故不正确;
故选:B
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识,是中档题.
2. 5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()
A.10种B.20种C.25种D.32种参考答案:
D
3. 一个口袋中装有个白球,个黑球,从口袋中每次拿一个球不放回,第次拿到黑球的概率是A.B.C.D.
参考答案:
C

4. 设的三内角A、B、C成等差数列,sinA=,则这个三角形的形状是
()
A.直角三角形B钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形参考答案:
D
5. 若命题p:?x∈A,2x∈B,则()
A.¬p:?x0∈A,2x0∈B B.¬p:?x0?A,2x0∈B
C.¬p:?x0∈A,2x0?B D.¬p:?x?A,2x?B
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【分析】命题p是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词变化.
【解答】解:命题p∈A,2x∈B是全称命题,
否定时将量词对任意的x变为?x,再将不等号∈变为?即可,
即为:¬p:?x0∈A,2x0?B,
故选:C
【点评】本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意在写命题的否定时量词的变化.属基础题.
6. 函数有极值的充要条件是 ( )
A. B. C.D.
参考答案:
C

7. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在一次试验发生的
次数,则的最大值为()
A.2 B.﹣1 C.0 D.1
参考答案:
C
【考点】离散型随机变量及其分布列.
【分析】由已知得随机变量ξ的所有可能取值为0,1,且P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1﹣p,推导出
E(ξ)=p,D(ξ)=p﹣p2,从而得到=4﹣(4p+),由此利用均值定理能求出
的最大值.
【解答】解:随机变量ξ的所有可能取值为0,1,
并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1﹣p,
从而 E(ξ)=0×(1﹣p)+1×p=p,
D(ξ)=(0﹣p)2×(1﹣p)+(1﹣p)2×p=p﹣p2,
==4﹣(4p+),
∵0<p<1,
∴4p+=4,
当4p=,p=时,取“=”,
∴当p=时,
取得最大值0.
故选:C.
8. 将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()
A.12种B.18种C.24种D.36种参考答案:
A
过程分两步,第一步先排好一列,由于每列字母不同,则只能是,共种排列;第二步根据排好的一列进行排列。

假设第一列是,第二列只能是或者共2种。

故共有种排列。

故本题正确答案为A。

9. 已知函数满足,则()
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 直线的倾斜角的大小是()
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值

参考答案:
类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,
如图,不妨设O为正四面体ABCD外接球球心,F为CD中点,E为A在平面BCD上的射影,由棱长为a可以得到BF=a,BO=AO=a-OE,在直角三角形中,根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2,把数据代入得到OE=a,所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为
4×a= a
12. 二次曲线的焦距为
.
参考答案:略
13. 设是定义在R 上的奇函数,在上有且,则不等式
的解集为参考答案:
14. 已知定义在上的奇函数,当时有,则当时
.
参考答案:
15. 点P在曲线上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是11
参考答案:

16. 已知,且满足,则xy的最大值为 .
参考答案:
3
17. 设是定义在R上的奇函数,若当时,,则=__
参考答案:
-4
三、解答题:本大题共5小题,共72分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个
顶点得到的菱形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为.
(i)若,求直线的倾斜角;
(ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上,且.求的值.
参考答案:
(Ⅰ)解:由e=,得.再由,解得a=2b.
由题意可知,即ab=2.
解方程组得a=2,b=1. 所以椭圆的方程为.………4分
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).
设点B的坐标为,直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得
.由,得.从而.所以
.
由,得.
整理得,即,解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.………………………………8分
(ii)解:设线段AB的中点为M,由(i)得到M的坐标为.
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是
由,得。

…………10分
(2)当时,线段AB的垂直平分线方程为。

令,解得。

由,,
,整理得。

故。

所以。

综上,或…………14分

19. 设数列{a n}的前n项之积为T n,并满足. (1)求;(2)证明:数列为等差数列.
参考答案:
(1)
(2)猜测:,并用数学归纳法证明(略)
,结论成立。

或:
20. 已知抛物线方程为,直线过抛物线的焦点且被抛物线截得的弦长为3,求的值。

参考答案:
解:由直线过抛物线的焦点,得直线的方程为.
由消去,得.
由题意得.
设直线与抛物线交于,.,∴ 解得
.

21. (本小题满分16分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,
平面,,分别是的中点.
(1)证明:;
(2)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形.
因为为的中点,所以.
又,因此.
因为平面,平面,所以.
而平面,平面且,
所以平面.又平面,
所以.
(2)解:设,为上任意一点,连接.
由(1)知平面,
则为与平面所成的角.在中,,
所以当最短时,最大,
即当时,最大.
此时,
因此.又,所以,
解法二:由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,所以


所以.
设平面的一法向量为,
则因此
取,则,
因为,,,所以平面,
故为平面的一法向量.
又,所以.
因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
22. 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且=2csinA
(1)确定角C的大小;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.
参考答案:
【考点】解三角形.
【分析】(1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦,整理可求得sinC,进而求得C.(2)利用三角形面积求得ab的值,利用余弦定理求得a2+b2的值,最后求得a+b的值.【解答】解:(1)∵=2csinA
∴正弦定理得,
∵A锐角,
∴sinA>0,
∴,
又∵C锐角,

(2)三角形ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC
即7=a2+b2﹣ab,
又由△ABC的面积得.∴(a+b)2=a2+b2+2ab=25
由于a+b为正,所以a+b=5.。

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