海洋中示踪物等值线的分形长度及其与混合效率的关系

doi: 10.11978/2023020 海洋中示踪物等值线的分形长度及其与混合效率的关系*
钱钰坤1, 2, 刘统亚3, 4, 张华1, 5, 彭世球1, 2, 5
1. 热带海洋环境国家重点实验室, 中国科学院南海海洋研究所, 广东广州 511458;
2. 中国科学院应用海洋重点实验室, 中国科学院南海海洋研究所, 广东广州 511458;
3. 卫星海洋环境动力学国家重点实验室, 自然资源部第二海洋研究所, 浙江杭州 310012;
4. 南方海洋科学与工程广东省实验室(珠海), 广东珠海 519000;
5. 中国科学院大学, 北京 100049
摘要: 涡致混合扩散是物理海洋研究中的热点和难点问题。

本文基于“有效扩散”理论, 研究示踪物等值线在海表地转湍流的多尺度搅拌作用下, 发生拉伸、扭曲、变形、折叠等改变其几何拓扑结构的现象, 并探讨了等值线分形长度的变化与混合效率的关系。

研究结果表明, 在地转流场的搅拌下, 示踪物的等值线会被迅速拉长, 并产生丰富的精细结构。

这种分形式的增长可达原长度的10~20倍, 是混合效率提高的主要原因; 而涡丝和锋面伴随的梯度增强虽然也有贡献, 但为次要因素。

另一方面, 在示踪物模拟过程中, 小尺度扩散会通过不可逆混合对示踪物进行均匀化, 从而抹平等值线的精细结构, 抑制等值线的增长, 限制混合效率的提高。

基于“数盒子”算法计算了等值线的分形维度, 其数值在1.4到1.6之间, 介于一维和二维之间。

但由于地转湍流数据分辨率的限制, 无法考虑更小尺度(次中尺度过程)的搅拌作用, 可能低估了等值线的分形长度和混合效率。

本研究将海洋混合与等值线几何特征联系了起来, 初步得到了分形长度和混合效率两者的经验关系式, 未来可以利用图像识别等成熟遥感技术将海洋示踪物等值线的几何特征直接转换为混合效率, 为诊断分析海洋混合及其参数化提供了一种新的思路。

关键词: 海洋混合; 地转湍流; 分形几何; 有效扩散; 等值线
中图分类号: P731.26 文献标识码: A 文章编号: 1009-5470(2024)01-0001-15
Fractal lengths of tracer contours in the ocean and its relationship with mixing efficiency
QIAN Yukun1, 2, LIU Tongya3, 4, ZHANG Hua1, 5, PENG Shiqiu1, 2, 5
1. State Key Laboratory of Tropical Oceanography, South China Sea Institute of Oceanology, Chinese Academy of Sciences, Guangzhou 511458, China;
2. Key Laboratory of Science and Technology on Operational Oceanography, South China Sea Institute of Oceanology, Chinese Academy of Sciences, Guangzhou 511458, China;
3. State Key Laboratory of Satellite Ocean Environment Dynamics, Second Institute of Oceanography, Ministry of Natural Resources, Hangzhou 310012, China;
4. Southern Marine Science and Engineering Guangdong Laboratory (Zhuhai), Zhuhai 519000, China;
5. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
Abstract: Quantifying eddy mixing in the ocean is a hot and tough problem in the area of physical oceanography. Based on the
收稿日期：2023-05-12; 修订日期：2023-06-08。

孙翠慈编辑
基金项目：国家重点研发项目(2022YFC3105004); 国家自然科学基金项目(41976023、41931182、42106008、42376028); 热带海洋环境国家重点实验室自主研究项目(LTOZZ2102); 热带海洋环境国家重点实验室开放课题(LTO2107)
作者简介：钱钰坤(1983—), 男, 广西柳州市人, 博士, 从事海洋数值模拟与混合参数化研究。

email:******************.cn
通信作者：彭世球。

email:**************.cn
*感谢南海海洋研究所的高性能计算中心为本文数值模拟提供的技术支持。

Received date: 2023-05-12; Revised date: 2023-06-08. Editor: SUN Cuici
Foundation item: National Key Research and Development Program of China (2022YFC3105004); National Natural Science Foundation of China (41976023, 41931182, 42106008, 42376028); the Independent Research Project Program of State Key Laboratory of Tropical Oceanography (LTOZZ2102); Open Project of the State Key Laboratory of Tropical Oceanography (LTO2107)
Corresponding author: PENGShiqiu.email:**************.cn
theory of effective diffusivity, the present study investigated the stirring effects of geostrophic turbulence that led to stretching, distorting, deforming, and folding of tracer contours. These changes are then related to the efficiency of turbulent mixing. Results show that under the stirring effect of geostrophic turbulence, the length of tracer contour can be quickly elongated and fine-scale tracer filaments and fronts are also generated. This fractal elongation of tracer contour, about 10~20 times longer than the original length, is the dominant contributor to the mixing efficiency, whereas the gradient enhancement associated with filament and front generations only plays a secondary role. On the other hand, fine-scale features are smoothed out by small-scale diffusivity which eventually suppresses the increase of contour length and the generation of tracer filaments. This imposes an upper bound of the mixing efficiency when the stirring and smoothing effects are in a dynamical balance. Through a ‘box-counting’ method, the fractal dimension of tracer contour is also found between 1.4~1.6, indicating a geometric dimension lies somewhere between 1D and 2D. Due to the limitation of data resolution, contour length and thus mixing efficiency may be underestimated. Finally, the present study made an empirical relation between the fractal dimension and mixing efficiency, providing an opportunity for estimating mixing efficiency through a well-developed pattern recognition technique in remote sensing, and a new way of diagnosing ocean mixing and its parameterization.
Key words: oceanic mixing; geostrophic turbulence; fractal geometry; effective diffusivity; contour
涡致混合扩散是海洋中的重要物理过程。

从整体上看, 海洋从上表面获得不均匀的物质、动量和热量, 通过海洋中不同尺度涡旋的搅拌运动, 使其在各个方向上进行高效混合, 以达到当前的气候状态。

研究指出, 混合扩散不仅是引起海洋内部水团变性、模态水形成的重要物理过程(Sallée et al, 2008), 更是维持大洋经向翻转环流的关键因素(Marshall et al, 2017)。

此外, 混合扩散系数是数值模型的重要参数, 寻找最优或合适的数值, 即混合扩散参数化, 是提高模拟结果的重要步骤(Monti et al, 2010; Haza et al, 2012; 邢元明等, 2013; Fox-Kemper et al, 2014)。

由于混合扩散具有复杂的时空分布特征(Kamenkovich et al, 2021; Qian et al, 2022), 因此也是物理海洋学研究的热点和难点之一。

海洋中的运动涵盖了极其广泛的时空尺度。

地球的大小限制了海洋运动的最大空间尺度(约107m), 即行星尺度运动; 而分子间的粘性则决定了海洋运动的最小尺度(约10−3m), 两者之间跨度达10个数量级。

湍流作为一种多尺度运动, 能量在不同尺度上的分布决定了湍流的结构特征, 特别是在中尺度(约50~100km)以下, 运动具有一定的自相似性(Fox-Kemper et al, 2008)。

正如数值天气预报的先驱之一Lewis Richardson于1922年写的诗所描述的那样: “大涡包含小涡, 并喂予速度, 小涡包含更小的涡, 如此继续直到黏性耗散”。

正是这种自相似性, 自然将湍流运动与分形几何联系起来。

20世纪60年代, Mandelbrot (1967)提出了分形几何学来描述和研究表面粗糙、具有自相似性质的几何图形。

他提出了经典问题“英国的海岸线有多长”, 并指出海岸线的长度依赖于用于测量的尺子, 尺子越短, 测量结果越长。

这是因为海岸线也有自相似性: 粗糙的海岸线放大后, 仍然会出现和原来相似的细节。

因此, 较短的尺子可以测量出更多细节的长度。

尽管Mandelbrot (1975)早在1975年就注意到了湍流混合与分形几何的联系(Paladin et al, 1986; 黄真理, 2000; Li et al, 2001; 沈学会等, 2005; 刘式达等, 2014), 在海洋领域也有将分形几何应用到漂流浮标轨迹(Osborne et al, 1989; Sanderson et al, 1991)、海面波浪(田纪伟等, 1996; 雷玺, 2015)等海洋环境要素的分析中(付昱华, 2000), 但相关研究仍然有限。

此外, 还没有理论将混合扩散系数、混合效率(涡扩散系数与分子扩散系数之比)等概念与等值线的几何特征联系起来, 仅有的一些研究常常聚焦于均匀或各向同性的湍流(Iyer et al, 2020), 与真实海洋的复杂情况有很大不同。

Nakamura (1996)提出了“有效扩散”理论, 将大气海洋中的侧向混合扩散系数与等值线的拓扑形状联系了起来。

根据该理论, 当守恒示踪物(如位温、盐度、位涡等)的等值线为平直直线时(图1a), 不同性质流体的接触面(即等值线长度)最小, 扩散效率最低; 在粗分辨率海洋气候模式中, 等值线常常表现为一组光滑的曲线(图1b); 而从实际的高分辨率图像来看, 等值线并不光滑, 瞬时图像十分复杂。

当等值线被流场搅拌时, 不同尺度的涡旋会导致等值线分形式地拉长, 产生丰富的精细结构, 如锋面和涡丝、湍流界面的卷褶、破碎且细小的“孤岛”或“气泡”(图1c)。

通过这种方式极大地扩大了不同性质流体的接触面积, 从而有效提升了混合效率。

在数值模式中, 衡量等值线长度的最小尺子是模式网格的边长, 即分辨率。

对于低分辨率的气候模式,
钱钰坤等: 海洋中示踪物等值线的分形长度及其与混合效率的关系*
3
图1 示踪物等值线长度与混合效率关系示意图
a. 等值线为球面上最短曲线时的分布(为同心圆或纬圈线), 此时混合效率最低;
b. 气候态(欧拉时间平均)等值线分布;
c. 瞬时等值线分布图, 此时其混合效率相比(a)和(b)具有数量级的提高; 三个状态中等值线包围的面积相等; 审图号为GS (2016)1665
Fig.1 Schematic illustration of the relation between contour length of a tracer and mixing efficiency. (a) Minimum possible contour length on a sphere (latitude circles) which is at the lowest mixing efficiency; (b) smooth climatological contour through a Eulerian time mean; (c) instantaneous wavy contour distribution in which mixing efficiency is greatly enhanced. Note that the areas between any two contours are the same for each panel
尺子较长, 因而测量到的等值线具有简单、平滑的几何特征; 随着分辨率的逐渐提升, 尺子越来越短, 从而能捕捉更多丰富的等值线拓扑细节。

对于流体的模拟, 存在尺子长度的下限, 也就是分子粘性或扩散尺度(Batcherlor 尺度)。

小于这个尺度的运动引发的等值线拓扑细节会被粘性或扩散迅速抹平, 因而在这个尺度下, 难以出现更丰富的细节。

正是因为低分辨率模式中的混合效率比高分辨率模式要低, 常常需要设置更大的扩散系数来进行耗散(Huang, 2014)。

本研究尝试将数学领域的分形几何理论(Mandelbrot, 1967)和地球流体领域的“有效扩散”理论(Nakamura, 1996)联系起来, 利用卫星观测的海表地转流场驱动被动示踪物, 通过示踪物的等值线信息, 考察全球海表涡致混合的效率和等值线几何特征之间的关
系, 以期给出两者之间的可能联系。

本文的第一部分介绍数据和分析方法, 第二部分是诊断分析结果, 最后是结论和讨论。

1 数据与分析方法
其中, (),=u v u 是水平流场, λ是经度, ϕ是纬度, m κ是次网格扩散系数, ∇是球面二维梯度算子。

Nakamura (1996)提出用示踪物的一组等值线q 包围的面积:
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将地转流插值到0.1°分辨率, 与模型分辨率一致, 采用900s积分步长。

根据Shuckburgh等(2009)的研究, 海表流场符合“紊乱平流”特征, 因此插值所带来的网格尺度的不确定性不会严重影响本文的计算。

此外, 由于地转流并不严格满足球面无辐散要求, 本文采用Marshall等(2006)的方法, 对流场进行了散度订正, 使之满足无辐散约束。

因此, 在没有源和汇的条件下, 示踪物等值线包围的面积A是严格守恒的。

模式积分需要给定示踪物初始场。

Abernathey等(2013)使用了三种初始场, 分别是纬向均匀分布场(图1a)、气候态海表温度分布场、气候态流函数分布场。

三种初始场中, 纬向均匀分布场更适合本研究的问题。

这是因为它直接代表了最低混合效率状态, 可以直接考察在地转湍流搅拌下的效率逐渐增加的过程。

其次, 纬向均匀分布保证了示踪物浓度从北到南单调增加, 保证了相当纬度和真实纬度之间有对应的统计关系, 这样在相当纬度空间的展示也基本反映了真实纬度的情况。

基于上述考虑, 本文采用纬向均匀分布作为示踪物初始场(图2a)。

图2给出了示踪物在地转流驱动下的演变情况。

在地转湍流的搅拌下, 大约20d后(图2b), 示踪物就产生了丰富的细尺度结构。

随着时间的推移, 在海盆尺度环流的作用下, 原本纬向分布的等值线(未显示标出)逐渐开始倾斜: 北半球的等值线汇聚于西边界的湾流区和东边界的热带地区, 南半球由于南极绕极流的存在, 等值线只是在低纬地区的东边界汇聚, 高纬度地区仍然基本维持纬向分布。

此外, 由于地转湍流中丰富的中尺度涡旋, 在它们的搅拌下出现了丰富的中尺度折叠特征, 使得等值线不再光滑平整。

这些不同尺度的搅拌作用将会极大地提高湍流混合的效率。

图2 示踪物在海表地转湍流驱动下的演变情况
初始示踪物浓度与纬圈一致, 且被标准化到1~2之间; 审图号为GS(2016)1665
Fig. 2 Evolution of a passive tracer driven by surface geostrophic flows. The tracer is initially aligned with latitudes and normalized between 1 and 2
1.3 分形维度计算方法
等值线的分形维度有较多的定义, 不同定义得到的结果也存在一定差异。

本文选取常用的Minkowski 维度来表征等值线的分形维度, 也叫作“数盒子”(box-counting)维度。

它的计算方法采用“数盒子”法, 即利用一定分辨率的网格r去测量等值线, 如果等值线落在网格里, 则这个网格的边长计入等值线的分形长度, 否则不计入, 最后得到r度量下的盒子数()
f r以及等值线长度≈
L fr。

根据Minkowski分形维度的定义(黄真理, 2000; Sreenivasan et al, 2006):
(8)
需要改变网格分辨率r , 即用一组不同长度的尺子来测量等值线长度, 越大的尺子则会忽略越多的细节信息。

通过拟合多次采样得到的等值线长度和分辨率(或者尺子)的关系, 在对数坐标图上得到曲线斜率, 也就是等值线的分形维度min D 。

理论上如果等值线是简单光滑的曲线, 则分形维度为1; 如果等值线有很丰富的细节被越来越小的盒子捕捉到, 则分形维度会大于1, 但不会超过2, 即介于一维和二维之间。

实际计算中, 由于地转流场数据插值到了0.1°, “盒子”的边长以0.1°为基础, 逐步扩大两倍, 得到0.1°、0.2°、0.4°、0.8°、1.6°、3.2°、6.4°、12.8°共8个分辨率的“盒子”。

这样可以在对数图上得到8个等间距的样本, 通过最小二乘法拟合得到min D 。

通过多
次计算表明, 在最大和最小分辨率之间增加采样分辨率并不会显著改变拟合结果。

2 等值线长度特征
2.1 等值线长度的时空演变特征
图3给出了等值线的最小可能长度、纬圈总长度以及两者之比。

其中最小可能长度的百分比(图3b)也代表了海洋网格与总纬圈网格的比值。

海洋占比最高的纬度在南极绕极流区域, 特别是Drake Passage 纬度附近(~50°S)几乎全是海洋, 在赤道附近则降低到75%。

从20°N 开始, 比例逐渐下降到0附近。

特别是在南、北半球60°以外, 不仅海洋网格迅速减少, 且其纬圈占比也同时降低, 加上靠近极地, 示踪物演变受陆地和海冰影响较大, 计算结果有一定不确定性。

因此本文主要关注南北纬60°以内的计算结果。

图3 等值线最短长度min L (km, 蓝线)和纬圈总长度(km, 橙线)(a)以及min L 占纬圈总长度的百分比(b)
Fig. 3 (a) Minimum possible length min L (km, blue) and total length of latitudinal circle (km, orange), and (b) the ratio of min L to the total length of latitudinal circle
本文进一步计算并对比了初始时刻和积分一年后等值线的长度。

从图4a 可以看到, 在初始时刻, 等值线为纬圈线。

以图4a 中的最小可能长度min L 为单位, 标准化实际长度和相当长度, 那么两者都是1 (图4b)。

此
时, 混合效率22
E eq min /=M L L 亦为最低值1, 其中的微小
误差并不显著, 是由于不同计算方法导致的。

在积分一年后, 等值线在各个尺度上都产生了丰富的细节信息(图4c), 尤其是在赤道东太平洋、赤道印度洋、北半球西边界湾流延展区, 由于不稳定波动或者涡旋破碎的搅
拌作用, 等值线断裂破碎, 产生了局部复杂的拓扑结构。

定量计算表明, 大部分纬度上的等值线长度都比初始时刻增长了10倍以上(图4d)。

尽管整体上等值线仍然呈东西走向, 但丰富的细节充分拓展了它们的长度。

其中南半球副热带(~30°S)、赤道(~3°N)、北半球副热带(~30°N)、北半球副极地(~55°N)有四个局部峰值 (图4d), 从侧面反映了南北半球涡旋活跃的区域以及赤道波动活跃区。

在60°N 以北也可以看到一个峰值, 这可能与格陵兰岛东岸的急流(东格陵兰流)的搅拌有关,
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当然由于陆地和海冰的影响也存在一定的不确定性。

Bithell 等(1997)对大气对流层顶附近的位涡等值线也做
了类似的分析。

他们的计算结果表明, 对流层顶等值线长度可以增加约10倍以上, 但只需要一周时间。

图4 示踪物水平分布及等值线长度
a. 初始时刻的示踪物水平分布; c 、 e 、 g: 分别为用小尺度扩散系数5κ=m 、20、50 m 2·s −1积分一年后的为示踪物的水平分布, 黑实线为任意选取的一组等值线用于展示其拓扑细节; b 、d 、 f 、 h: 等值线长度L (蓝色)和相当长度eq L (橙色), 两者均用min L 做单位进行无量纲化; 图中审图号为GS(2016)1665
Fig. 4 Tracer horizontal distribution and its contour length L and equivalent length eq L . Left columns are tracer distributions with several contours highlighted. Right columns are contour lengths normalized by min L (b, d, f, h). The first row is the results at first day (a) and the last three rows are results after 1-yr integration with small-scale diffusivity m κ= 5(c), 20(e), 50 m 2·s −1(g)
对比等值线的实际长度和相当长度, 可以看到在初始时刻(图4b), 两个长度完全一致。

但在地转流搅拌下(图4d), 相当长度大于实际长度, 前者大约是后者的1.6倍, 这是由于大量涡丝和锋面相伴随的梯度增强带来的。

2.2小节将进一步分析两者之间的关系。

上面看到的等值线的拉伸和增长只不过是平流–扩散方程(1)中平流项的作用, 扩散在等值线的演变过程中也有重要作用, 但主要在网格尺度附近。

因此, 在示踪物产生丰富的精细结构之前, 难以看出扩散的作用。

本文采用不同的小尺度扩散系数mκ=5、20、50m2·s−1进行了三次模拟试验。

图4展示了积分一年后示踪物的分布。

对比图4c、4e、4g可以看到, mκ越小, 则等值线越多精细结构, 甚至在部分区域缠绕成“意大利面”的形状; 当
m
κ逐渐增大时, 细节结构被逐渐抹平, 到了mκ为50m2·s−1时, 等值线的精细结构所剩无几, 但仍然有涡旋尺度的特征。

从等值线的长度也不难看到(图4右), 扩散系数越小, 等值线越长, 反之则越短。

三组试验中扩散系数从5m2·s−1增加10倍到50m2·s−1, 对应等值线长度约减小一半。

值得注意的是, 不同扩散系数并没有影响相当长度与实际长度间的比值, 两者比例基本保持在1.6左右。

上述分析表明, 等值线在地转湍流的搅拌作用下, 充分延展伸长, 产生多尺度精细结构的过程; 同时, 小尺度扩散不断地抹平精细结构, 抑制等值线增长, 让搅拌作用无法持续产生精细结构。

两者在湍流充分发展后达到一个动态平衡。

在这个平衡下, 等值线长度、锋面和涡丝(即梯度因子)、混合效率等特征都将达到一个稳定值。

这一点从等值线的时间演变可以看得更清楚。

图5a和5b给出了等值线相当长度和实际长度随时间的演变情况。

从图中可以看到, 两个长度都有约100天左右的适应和调整时间, 这一点与Shuckburgh等(2009)的结果非常一致。

这段时间内两
个特征长度都迅速增加, 之后基本达到准稳定态, 演变
趋于缓慢, 说明大约100d后锋面和涡丝在小尺度扩散
的作用下趋于饱和, 增长速度受到限制。

但是, 这两个
长度之间的比值(图5c)则基本维持稳定, 平均值大约
在1.6到1.7左右, 与前面的分析一致。

图
5
标准化的等值线相当长度(a)、标准化的等值线实际长度(b)和相当长度与实际长度的比值(c)
Fig. 5 Temporal evolution of (a) equivalent length
eq
L normalized by
min
L, (b) perimeter length L normalized by
min
L, and (c) ratio
of
eq
L to L
钱钰坤等: 海洋中示踪物等值线的分形长度及其与混合效率的关系*9
3 等值线分形特征
前人对湍流研究的视角大致可以分为两类, 第一类从物理空间分析湍流的时空变化特征(Kamenkovich et al, 2021; Qian et al, 2022), 第二类则从谱空间研究不同尺度的能量传递和串级规律(Fox-Kemper et al, 2008)。

其中在谱空间研究能量串级常常给出能量随波数或者频率的变化图, 这样的图通常使用对数图, 图中曲线的斜率是能量串级的关键参数。

有趣的是, 在分形研究中, 分形维度同样也是定义在对数图上的曲线斜率, 但图中曲线是等值线长度随不同网格尺度的变化。

两者的相似性驱使我们进一步分析等值线的分形维度, 并探讨其与湍流混合的关系。

本文以0.1°为基准, 采用2n倍网格距作为“尺子”, 衡量等值线的长度, 其中n取0~7共8组结果。

图8挑选了四个时刻等值线的分布图, 并用不同“尺子”作为度量单位计算了等值线的长度。

从图中可以看到, 对于初始时刻, 不同“尺子”衡量的结果基本一致, 说明等值线几乎没有细节信息, 因此等值线是简单拓扑曲线, 即一维图形; 随着时间的增加, 等值线细节信息逐渐丰富, 不同“尺子”衡量得到的差异也就逐渐增大。

这说明等值线存在尺度不同的长度信息, 逐渐显现分形特征。

从图8d、8f、8h不难看出, 在地转湍流搅拌下的等值线图形, “尺子”越大, 忽略的细节越多, 得到的长度估计值就越短。

在搅拌作用刚开始不久, 不同尺度间计算结果的差异比较均匀; 但到了后期, 1倍和2倍网格距的差异最大, 表明大量细节存在于2倍网格距之间。

由于数据原始分辨率的限制, 本文无法进一步考察更小“尺子”衡量的结果。

图8 示踪物浓度(无量纲)的水平分布(a、 c、 e、 g)及等值线长度(b、 d、 f、 h, 以min
L为单位)
第一行到第四行分别是积分1、20、100、365天后的结果。

等值线长度采用了“数盒子”方法, 展示了8个网格距做尺子度量得到的结果。

审图号为GS(2016)1665
Fig. 8 Tracer distributions at different timesteps (a, c, e, g) and contour lengths normalized by
min
L(b, d, f, h). Row one to row four show the results of integration after 1, 20, 100, and 365 days. Contour lengths are calculated using ‘box-counting’ method with 8 grid boxes
有了不同分辨率计算的结果, 可以用log-log图和线性拟合来估算等值线的分形维度。

图9挑选了相当纬度53.3°S对应的等值线作为例子来展示其分形维度的计算, 因为在这个纬度上陆地影响最小(图3b)。

由于选择了8组分辨率, 因此在每个子图上有8个等间距样本供拟合趋势。

从图9不难看到, 不同时刻, 等值线长度与分辨率在对数图上基本满足线性分布特征。

特别地, 在初始时刻, 由于等值线为直线, 因此斜率、即分形维度为1。

随着湍流搅拌作用的产生, 斜率逐渐增加, 大约在100d后, 达到一个相对稳定的值1.48, 并有小幅度的变化。

虽然这一分形维度离二维图形还有较大差距, 但是比经典的Koch雪花曲线的分形维度1.26要大, 较为接近Sierpinski镂垫的分形维度1.59。

图
9 相当纬度53.3°S 对应的等值线长度(m)与网格分辨率(m)的对数关系
从(a)到(i)分别为第0、10、50、100、150、200、250、300、350天的结果, 其中拟合斜率标注在各个子图内, 紫色阴影为95%拟合置信区间, 两条虚线分别是研究时段内最大和最小拟合斜率的曲线
Fig. 9 Contour length (m) against grid resolution (m) on a log-log plot for the equivalent latitude of 53.3°S. Panels (a) to (i) are results at 0, 10, 50, 100, 150, 200, 250, 300, and 350 days, respectively. Linear-fit slopes are indicated in each panel. Purple shadings indicate 95% confidence intervals for the linear fit. Two dash lines are the fitted lines with maximum and minimum slopes during the time range of interest
图10 分形维度的时空变化特征
Fig. 10 Spatio-temporal variations of the “box-counting” fractal dimension 以上是用一个相当纬度做例子。

实际上可以对所有纬度和时间进行同样的计算, 从而得到分形维度的时空变化情况。

从图10可以看到, 分形维度经
过约3个月的增长达到准稳定状态, 与等值线长度的演变一致。

前面所挑选的53.3°S 则处在维度较小的纬度带。

在南北半球副热带地区和赤道地区, 分形维度可以达到1.6以上, 特别是赤道地区, 在最后几十天甚至接近1.7, 较Sierpinski 镂垫更接近二维图形。

这也说明赤道地区的等值线具有更加丰富的细节信息。

此外, 与图5进行比较不难看出, 分形维度与等值线长度的演变特征非常类似。

因此, 分形维度可能与混合效率有特定的统计关系。

本文将尝试建立分形维度与混合效率之间的一个经验 关系。

通过将两者画在散点图上不难初步估计两者 之间存在指数关系, 因此不妨设两者满足如下关 系式:
()E min log +=M aD b
(13)
为了确定a 、b 这两个经验系数, 定义残差
()2
min E +log =− ∑R
aD b M , 采用最小二乘法拟合
(13)式两边, 使得残差R 最小。

实际计算中发现, 不同
(相当)纬度的拟合结果有一定差异, 因此本文将全球划分为8个纬度带, 间隔15°。