单相正弦交流电路—RLC串联电路的分析

提高功率因数的措施:
i
并联电容
u
u R R
L
uL C
设原电路的功率因数为 cos 1，要求补偿到cos 须 并联多大电容？（设 U、P 为已知）
i
IC
u
R
uiRL R
iC
C
L
uL
U
IRL 1
IC
U
欠 补
I
偿
IRL
I 感性（ C较小）
I'C
过 补 偿 容性（
I
U
IRL
IC较大）
结论：在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容
（U L U C） I
UI sin
U R
三、 视在功率
视在功率 S： 电路中总电压与总电流有效值的乘积。
S UI
单位：伏安、千伏安
注： S＝U I 可用来衡量发电机可能提供的最大功率
(额定电压×额定电流）
功率三角形
有功功率 P UI cos 无功功率 Q UI sin
S
Q
P
视在功率 S UI
RLC串联交流电路电压电流关系 一、电流、电压的关系
i
R uR
u
L uL
C
uC
u uR uL uC
若 i 2 Isin t
uR uL uC
2IR sin t 2 I (L) sin(t 90 ) 2I ( 1 ) sin(t 90 )
C
i
则
R uR
u
L uL
C
u 2RI sin t 2X LI sin(t 900 ) 2XC I sin(t 900 )
i
R
uR
U L
U
u
L uL
U R I
其中电路消耗的有功功率为：
P = PR = UIcos =Scos
当U、P 一定时， cos 提高会使 I 减小
希望将 cos 提高
一、功率因数低使电源的容量得不到充分利用
02
20W白炽灯
P UI cos
20W日光灯
cos 1
I P 20 0.09 (A) U 220
sin
C
P
U 2
(tan1
tan )
i
u R RC
u
L uL
01
定义：
Z
U I
Z
Z e j
Z cosz j Z sin z
R jX
Z R2 X 2
arctan X
R
Z 、R、X它们之间符合阻抗三角形，
与 RLC串联电路的相同。
02
Z1 R1 jX 1 Z2 R2 jX 2 Z3 R3 jX 3
纯电阻电路 纯电感电路或 纯电容电路 R-L-C串联电路
电动机 空载 满载
日光灯 （R-L串联电路）
cos 1 ( 0)
cos 0 ( 90)
0 cos 1 (90 90) cos 0.2 ~ 0.3
cos 0.7 ~ 0.9
cos 0.5 ~ 0.6
01
问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相 量关系如下图。
uC Um sin(t )
同频率正弦量的加法还是同频率的正弦量
相量模型
I
R U R U L U L
C U C
相量方程式：
U UR UL UC
设 I I 0（参考相量） 则 U R IR
UL I jX L
UC I jXC
U IR I jX L I jX C I R j X L X C
根据相量形式的KCL
(
I I1 I2
11
1
I3
)U
U
Z1 Z2 Z3
Z
111 1
式中
Z Z1 Z2 Z3
两阻抗并联的分流公式：
•
I1
Z2
••
I； I2
Z1
•
I
Z1 Z2
Z1 Z2
P URI
其中：
UR Ucos
P UIcos
U
U L U C
U R
I
总电压
cos
总电流
u 与 i 的夹角
功率因数
二、 无功功率
在 R、L、C 串联的电路中，储能元件 L、C 虽然不消耗能量，但与电
路之间存在能量吞吐， 吞吐的规模用无功功率来表示。其大小为：
Q QL QC
ULI UCI
tan 1 XL XC
R
Z
阻抗
R
电阻
X XL XC
电抗
阻抗角
电路性质的判断
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i
呈感性
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性
当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性
U C
U L
U C
U
U L
I
U R
UL UC
L
C
I
•
R UR
U
L
U L
C
U C
1.Z 和总电流、总电压的关系
由复数形式 的欧姆定律
U IZ
可得：
Z
U I
U/u I/i
Z
U I
/u
i
Z U I
u i
结论：Ｚ的模︱ Z︱为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角φ则为总电压和总电流的相位差。
2.阻抗（Z）三角形
Z R j(XL XC) Z / Z R2 (XL XC)2
U U1 U 2 U3 (Z1 Z2 Z3 )I ZI
Z Z1 Z2 Z3
式中
Z (R1 R2 R3) j( X1 X 2 X3 ) R jX
为全电路的等效阻抗，它等于各复阻抗之和。
两阻抗串联的分压公式：
•
U1
Z1
•
•
U；U2
Z2
•
U
Z1 Z2
Z1 Z2
03
U R UC I
U
U L
U
U R U C
I
(a) X > 0
(b) X < 0
(c) X = 0
R U R
假设已知R、L、C电
路性质能否确定？ (阻性？感性？容性？）
L C
当ω 不断变化
时，可能出现：
不能！
XL
L
XL > XC
、 XC
1
C
XL < XC XL =XC
电路的性质会随 频率的变化而发 生改变
Z：复阻抗
实部为电阻 虚部为电抗
感抗 容抗
则 UIZ
I
R U R
U
L
U L
C
U C
复数形式的 欧姆定律
说明： Z R jX L X C
复阻抗 Z 是一个复数，但并不是正弦交流量，因
为电阻R是不变的，而感抗 与容抗 是随频率
变化的量，并不按正弦规律变化，因而上面不能加
点。 Z X在方程式中只是X一个运算工具。
容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。
补偿前后 P、U 不变。
由相量图可知：
IC I RL sin 1 I sin
IC
U
P UI RL cos1
P UI cos
IC U XC U C
IRL
UC
U
P
cos 1
sin 1
U
P
cos
sin
UC
U
P
cos1
sin 1
U
P
cos
总电压与总电流 的相量关系式
R-L-C串联交流电路——相量图
I
R U R
U
L U L
C
U C
相量表达式：
U L
UL UC
U C
U
•
•
UL UC
U R
I
先画出参
考相量Biblioteka 电压三角形U IR jX X
L
C
R-L-C 串联交流电路中的复数形式欧姆定律
U IR jX L X C
令 Z R j XL XC
一、 有功功率
有功功率 P （平均功率）
P 1
T
pdt
T0
1
T
T
0 ( pR pL pC )dt
PR URI I 2R
P R
1 T
T
0
p dt R
U I R
电阻的有 功功率
P L
1 T
T
0
p dt L
0
电感的有功 功率为零
P C
1 T
T
0
p dt C
0
电容的有功 功率为零
平均功率P与总电压U、总电流 I 间的关系：
cos 0.5
I P 20 0.18 (A)
U cos 220 0.5
在电源电压一定的条件下，相同的负载，功率因数越低 电流越大，而供电线路上有一定电阻值，故电流越大， 线路的功率损耗越大。
供电局一般要求用户的 cos 0.85 ，
否则受处罚。
必须保证原负载的工作状态不变。 即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。