必修二立体几何初步知识点整理

必修二立体几何初步知识点整理
（-）空间几何体的结构特征
（1） 多而体一一由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多而体的％个多边形叫叫做多而体的而，相邻两个而的公共边叫做多而体的棱，棱与棱的公共 点叫做顶点。

旋转体一一把一个平而图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条左直 线称为旋转体的轴。

（2） 柱，锥，台，球的结构特征
1 •棱柱
1.1棱柱一一有两个而互相平行，其余各而都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些而所囤成的几何体叫做棱柱°
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关 系：
② 四棱柱底浙为平行四边吃平行六而体侧棱垂直干底而直平行六而体
底面为矩形
-------------------------- ► ----------------------------------------------- » ------------------------------------ »
1.3
棱柱的性质：
① 侧棱都相等，侧而是平行四边形； ② 两个底面与平行于底而的截而是全等的多边形：
③ 过不相邻的两条侧棱的截而是平行四边形；
④ 直棱柱的侧棱长与髙相等，侧而与对角而是矩形。

补充知识点长方体的性质：
① 长方肛一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】
AC {2 = AB 2 + AD 2 + AA {2
② （了解）长方体的一条对角线AC ；与过顶点A 的三条棱所成的角
分别是⑦0, /,
那么 cos 2 a + cos 2 p + cos 2 / = 1, sin' & + sin' 0 + sin 2 / = 2 ：
③ （了解）长方体的一条对角线AG 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是0 0, / ,则 cos' Q +cos' 0 +cos' 7 = 2, sin 2 a + sin 2 /7 + sin 2 了 = 1 ・
长方体 底面为正方形 正四棱柱
侧棱与渤边长憚 正方体 其他棱柱
1.4侧面展开图：正n棱柱的側而展开图是由n个全等矩形组成的以底而周长和侧棱长为邻边的矩形.
S直棱柱侧=厂力
S直棱柱全=c・h + 2S底,V棱柱=$底4（其中c为底面周长，h为棱柱的高）
2•圆柱
2.1圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，英余各边旋转而形
成的曲而所围成的几何体叫圆柱.
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底而的截而都是等圆：过轴的截
面（轴截而）是全等的矩形.
2.3侧面展开图：圆柱的侧而展开图是以底面周长和母线长为邻边的
矩形.
2.4面积、体积公式：
S MHM=2/rr/7: S 卵金=2/rM + 2/zr~, V I«»I=S^h=7rr~h（其中r 为底而半径，h 为圆柱高）
3.棱锥
3.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各而是有一个公共顶点的
三角形，由这些而所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥一一如果有一个棱锥的底而是正多边形，并且顶点在
底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.2棱锥的性质：
①平行于底面的截而是与底而相似的正多边形，相似比等于顶
点到截而的距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形：
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底而内的射
影、斜髙在底而的射影、底而边长一半，构成四个直角三角形。

）（如上图：A SOB G SOH qSBHqOBH 为直角三角形）
3.3侧面展开图：正n棱锥的侧而展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

3.4面积、体积公式：S "棱粧杷=—c/r ,S ii棱惟金= — <?/?' +,V
梭粧=
（其中c为底面周长，力'侧面斜高，h棱锥的
高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，英余各边旋转
而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

4.2圆锥的性质：
①平行于底而的截面都是圆，截面直径与底而直径之比等于顶点到截面的
距离与顶点到底而的距离之比：
②轴截而是等腰三角形：如右图：TAB
③如右图:l2=h2+r2.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母
线长为半径的扇形。

4.4面积、体积公式：
S mm=7rrl, S 帼谁全=兀尸（厂 + /）, V M^=i^r2/?（其中
r为底面半径，h为圆锥的高，1为母线长）
1・5面积.体积公式:
5 •棱台
5.1棱台一一用一个平行于底而的平而去截棱锥，我们把截面与底而之间的部分称为棱台.
5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形：
②正棱台的两个底而以及平行于底而的截而是正多边形；
③如右图：四边形OMNOQBBO都是直角梯形
④棱台经常补成棱锥研究•如右图：△SO'M与“SO N ,A S'O
'B'与A SO B相似,注意考虑相似比.
5.3棱台的表面积、体积公式：»、=S 匕底+S下底+S W , %冶=g（s+
笑+S、M，（英中s,s、是上，下底面面积，h为棱台的高）
6.圆台
6.1圆台一一用平行于圆锥底而的平而去截圆锥，底而与截而之间的
部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底而，与底而平行的截而都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形：
③圆台经常补成圆锥来研究。

如右图：
△SO'A与“SOB相似，注意相似比的应用.
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4圆台的表面积、体积公式：3住=“2+兀用+//? + 〃，
V 圆台=-（S+ S'）//=- （nr + 7rrR + TT R2）h ,（其中r, R 3 3
为上下底而半径，h为髙）
7•球
7.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋
转体叫做球体，简称球. 或空间中，与左点距离等于定长的点的集合叫做球面，球而所围成的几何体叫做球体，简称球;
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截而；
（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R.截而的半径为r）
② r = y)R2-d2
7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
7.4球面积、体积公式：S球=4兀尺2,1^=1龙/?‘（其
中R为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看.三视图的考察己经淡化, 所
以同学只需了解即可
1・投影：区分中心投彫与平行投影。

平行投影分为正投
影和斜投影。

2•三视图一一是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形: 正视图一一光线从几何体的前而向后而正投影，得到的投影图：
侧视图一一光线从几何体的左而向右而正投影，得到的投影图：
正视图一一光线从几何体的上而向下而正投影，得到的投影图：
注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等：侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。

（简记为“正、侧一样髙，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。

3.直观图：
3.1直观图一一是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画岀的图形。

直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

3.2斜二测法：stepl：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,（即取Zwy = 90° ）；
step2：画直观图时，把它画成对应的轴ok',。

》'，取厶0），' = 45。

（0厂135。

），它们确立的平而表示水平
平而：
step3：在坐标系x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或
在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。

*论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是诡平面图形面积的半倍.
解决两种常见的题型时应注意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮娜线和棱画成虚线。

二点、宜线、平面之间的位置关系
（一）平面的基本性质
1.------------ 平面无限延展，无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条宜线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

用途：常用于证明直线在平而内.
图形语言：符号语言：
公理2：不共线的三点确左一个平面.图形语言：
• • •
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.图形语言：
推论j:两条相交直线确左一个平面.图形语言：
推论j:两条平行直线确左一个平面.图形语言：
用途：用于确定平而。

公理3：如果两个平而有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言：符号语言：
图形语言，文字语言，符号语言的转化：
点A 在直线a 上
点B 在直线a 外
平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表述：allb.bllc^allc
等角宦理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线：（1）怎义：不同在任何一个平面内的两条直线——异而直线；
（2）判左怎理：连平而内的一点与平而外一点的直线与这个平而内不过此点的直线是异而直线。

P 亡a
Aea
, 「— 符号语言： > = PA 与a 异面
a （za
异面直线所成的角：（1）范弗I ： 6>e （0°,90o ］； （2）作异面直线所成的角:
平移法.
图形语言
文字语言 符号语言 点A 在平面a 外
V EG 点B 在平面Q 内 Bea
A^a
图形语言: 1 •空间直线的位置关
共面:aDb=A, a//b 异
面:d 与b 异面 af)p= a
如右图，在空间任取一点0,过O 作a7/a.b7/b,则所成的&角为异而直线"丄所成的角°特
别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点 等）上，形成异面直线所成的角.
I ua
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1•线面平行：
①定义：直线与平而无公共点.
a//b '
:acza\^alla （线线平行二＞线而平行）【如图】 bua
all a
:au0 （线面平行二＞线线平行）【如图】
a （\p =
b ④判立或证明线而平行的依据：（i ）定义法（反证）：/
门0 = 0=＞/〃& （用于判断）：（ii ）判定定理: allb '
all
a<za Ocilla “线线半行二＞曲向半行"（用十讪明）；（iii ） ciua ,=＞。

〃0 半行=＞ 线血半行" bua
丿
b 丄a
（用于证明）；（4） b 丄a ^al/a （用于判断）； a era
2. 线面斜交：lC\ct = A
①直线与平面所成的角（简称线而角）：若直线与平而斜交，则平面的斜线与该 斜线
在平而内射影的夹角。

【如图】PO 丄a 于O,则A0是PA 在平面a 内的 射影，则
ZP4O 就是直线PA 与平而&所成的角。

范由：&已［0。

,90。

］,注：若/u a 或IHa,则直线/与平而a 所成的角为0。

：
若/丄a,则直线/与平而a 所成的角为90S
2•直线与平面的位置关系: lC\a = A (za< Illa
②判左左理
3•面面平行：
① 定义：aa/3 = 0dall 卩:
② 判左左理：如果一个平而内的两条相交直线都平行于另一个平而，那么两个平面互相平行; 符号表述：gbua 、aab = O3la 、bllanall0 【如下图①】
①泄义：若一条直线垂直于平而内的任意一条直线，则这条直线垂直于平而。

符号表述：若任意GUQ,都有/丄0,且I ua 、贝I”丄Q ・
a.b u a aQb = O
②判泄泄理：lua
n/丄a (线线垂直二＞线而垂直)
/丄" ③ 性质：(1) /丄aguadl 丄“(线面垂直二＞线线垂直)：(2) a 丄a,b 丄a=＞a//b :
④ 证明或判泄线而垂直的依据：(1)左义(反证)：(2)判泄左理(帘用)：(3) a//h \^b 丄a
a 丄
a
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于妇一个平而的两条直线，那么这两个平而互相平行 符号表述：gbua 、aab = O"bu/3、aHGbllb 、nall 卩【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两个平而互相平行•符号表述：
"丄a,"丄0nail0.【如右图】
③ 判龙与证明而面平行的依据：(1)泄义法：(2)判泄左理及推论(常用)
(3)判定2
④ 面面平行的性质：(1)创卩(na 」l 卩(面而平行=＞线而平行)；(2)
all p
aC)y = d»//b：(而而平行二＞线线平行)(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

【如图】 08 = 7
(四) 垂直关系(包括线面垂宜，面面垂直
)
（较常用）：（4）aHP\^a丄0：（5）C^P = b丄0 （而面垂直二>线 a 丄 a aua
面垂直）常用；
⑤三垂线泄理及逆定理：
（I）斜线左理：从平面外一点向这个平而所引的垂线段与斜线段中，PO丄a
（1）斜线相等O射影相等：（2）斜线越长O射影越长：（3）垂线段最短。

【如图】PB = PCoOB = OC； PA>PBoOA>OB
（II）三垂线左理及逆左理：已知PO丄斜线PA在平面a内的射影为OA,
P
①若口丄04,则。

丄P4——垂直射影=>垂直斜线，此为三垂线泄理:
②若。

丄PA,则“丄Q4—一垂直斜线=>垂直射影，此为三垂线泄理的逆定
理：
三垂线立理及逆左理的主要应用：（1）证明异而直线垂直；（2）作、证二而
角的平而角:（3）作点到线的垂线段；【如图】
①二而角：（1）逞义：【如图】
03丄/.O4丄/ => ZAO3是二面角a-l - 0的平面角范围：ZAOBe[0°J80°]
②作二而角的平而角的方法：（1）左义法:（2）三垂线法（常用）：（3）垂而法.
（1）定义：若二面角a—l—卩的平面角为90S则a丄0；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,
相垂直.
aua
“丄仪
‘ 丄0 （线面垂直=> 面面垂直）
（3）性质：①若a丄0,二而角的一个平而角为ZMON ,
ZMON = 90。

；
a丄0
②山…
a aa。

丄AB
=>a丄0 （而面垂直二>线而垂直）:
a丄0’
Aea
Aea
二、基础题型(必懂〉
1、概念辨析题：
(1)此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，而而关系等方而的问题，必须在熟练掌握有关的立理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。

你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。

（3）相关例题：课本和辅导书上岀现很多这样的题型，举例说明如下：
例：（09年北京卷）设m, n是两条不同的直线，匕0了是三个不同的平而，给出下列四个说法：① 加丄aji//a=>m丄〃：②all0、pil丄a二>加丄/ ;③mIIa,n//a =>miln
④ ___________________________________________________ a丄卩,0丄ynall卩，说法正确的序号是：__________________________________________________________
2、证明题。

证明平行关系，垂直关系等方面的问题。

（1）基础知识网络：。