高一上数学课件第2节 基本不等式

[小组合作型] 利用基本不等式比较代数式的大小
(1)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋ bc＋ca 的大小关系是______．
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a＞0，b＞0，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b； ③若 a＜0，b＜0，则 ab＋a1b≥2； ④不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x＞0 且 y＞0.其中正确命题的序号是 ________．
用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图 3-4-1 现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每 间虎笼面积最大？
【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋6y＝36 的前提 下求 xy 的最大值．
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
(2)只有当 x>0 时，才能由基本不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b 不一定成立，故②错误；当 a<0，b<0 时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋a1b ≥2 ab·a1b＝2，故③正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy ＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故④错误．
而 ab≤a＋2 b，故
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
不等式的证明
已知 a，b，c 为不全相等的正实数． 求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca. 【 精 彩 点 拨 】 构造基本不等式的条件 → 运用基本不等式证明 → 判断等号成立的条件 → 得出结论
1．所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基 本不等式的“题眼”．可尝试用基本不等式证明．
2．利用基本不等式证明不等式的策略 从已证不等式及问题求问题，其特征是以“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”．
法二 1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8. 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
基本不等式的实际应用 如图 3-4-1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利
教材整理 2 基本不等式的应用
阅读教材 P99 例 1、例 2，完成下列问题． 1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y＝2s时，积 xy 有最 大值为s42. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y＝ p时，和 x＋y 有 最_小_值为 2 p.
)
(5)若 ab＝1，a>0，b>0，则 a＋b 的最小值为 2.
()
【解析】 (1)×.任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正数时，
不等式 a＋b≥2 ab成立．
(2)×.只有当 a>0 时，根据基本不等式，才有不等式 a＋4a≥2 (3)√.因为 ab≤a＋2 b，所以 ab≤a＋2 b2.
a·4a＝4 成立．
(4)×.因为不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；而a＋2 b≥ ab成立的 条件是 a，b 均为非负实数．
(5)√.因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 时取等号， 故 a＋b 的最小值为 2.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
【答案】 (1)p>q (2)③
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋b≥2 ab成立的条 件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b；a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R， 等号成立的条件是 a＝b.
[再练一题] 1．设 a>0，b>0，试比较a＋2 b， ab，
【导学号：05920056】
a2＋2 b2，1a＋2 1b的大小，并说明理由.
【解】
∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥
2， ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋24ab＋b2 ≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，
∴a＋2 b≤ a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
(3)×. 因 为 当
x>1
时 ， x － 1>0 ， 则
f(x)
＝
x
＋
1 x－1
＝
(x
－
1)
＋
1 x－1
＋
1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，函数 f(x)的取到最小值 3.
(4)×.因为由 log3m＋log3n＝4，得 mn＝81 且 m>0，n>0，而m＋2 n≥ mn＝9， 所以 m＋n≥18，当且仅当 m＝n＝9 时，
3．利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型， 再使用．
[再练一题] 2．已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9. 【证明】 法一 因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba.同理 1＋1b＝2＋ab. 故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝ 5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当 a＝b＝12时取等号)．
2．基本不等式求最值的条件 (1)x，y 必须是正__数__． (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为_定__值_；求和 x＋y 的最小值时， 应看积 xy 是否为定__值__． (3)等号成立的条件是否满足．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( ) (2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )
1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．
2．对于函数 y＝x＋kx(k>0)，可以证明 x∈(0， k]及[－ k，0)上均为减函数， 在[ k，＋∞)及(－∞，－ k]上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围 含± k，可用基本不等式，不包含± k就用函数的单调性．
【自主解答】 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab>0， b＋c≥2 bc>0， c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
[再练一题] 3．某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各 种费用 12 万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加 4 万元．该 船每年捕捞总收入 50 万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
【解】 (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则 y＝50n－98－12×n＋nn2－1×4 ＝－2n2＋40n－98 ＝－2(n－10)2＋102， ∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．
()
(2)若 a≠0，则 a＋4a≥2 a·4a＝4.
()
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.
()
(4)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的． (
阶
阶
段
段
一
三
3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点) 3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理 1 基本不等式
阅读教材 P97～P98，完成下列问题． 1．重要不等式 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥__2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)．
说 xy 的最大值是x2＋2 y2吗？能说 x2＋y2 的最小值为 2xy 吗？ 【提示】 最值是一个定值(常数)，而 x2＋y2 或 2xy 都随 x，y 的变化而变化，
不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)求最值， 必须保证一端是定值，方可使用．
m＋n 取到最小值 18. (5)√.因为 x，y∈R＋，而 4xy≤x＋24y2＝122＝14，所以 x·y≤116. 当且仅当 x＝4y，即 x＝12，y＝18时取等号． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
2．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：_a_>_0_，__b_>_0_； (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b__时取等号． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab； (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不__小__于__它们的几何平均数．
【精彩点拨】 (1)由于 p 是平方和的形式，而 q 是 a，b，c 两两乘积的和， 联想基本不等式求解．
(2)解本小题关键是弄清基本不等式适用的条件．
【自主解答】 (1)∵a，b，c 互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即 p>q.
(2)年平均利润为ny＝－2n＋4n9－20 ≤－22 n·4n9－20＝12， 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． ∴当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
[探究共研型] 利用基本不等式求最值
探究 1 由 x2＋y2≥2xy 知 xy≤x2＋2 y2，当且仅当 x＝y 时“＝”成立，能
(3)当 x>1 时，函数 f(x)＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 f(x)的最小值是
x 2 x－1.( )
(4)如果 log3m＋log3n＝4，则 m＋n 的最小值为 9.( )
(5)若 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为116.(
)
【解析】 (1)√.由基本不等式求最值条件可知． (2)√.因为 ab≤a＋2 b＝42＝2，所以 ab≤4.
法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＝＋33yy，＝18， 解得yx＝＝34..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由 2x＋3y＝18，得 x＝9－32y. ∵x>0， ∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤326－2y＋y2＝227. 当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．