高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
1.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）
A．x2+ y 2-x-2 y -="0"B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"
C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0
【答案】D
【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆的位置关系。

解：抛物线y 2=2x的准线为，验证圆心坐标适合y 2=2x且圆心到准线距离为半径。

选D。

2.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）
A．y 2=-2x B．y 2=-4x
C．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x
【答案】B
【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。

解：由已知，抛物线开口向左，设y 2=-2px,则5+=6，所以p=2，y 2=-4x。

故选B。

3.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x
1, y
1
) ，B(x
2
, y
2
)两点，如果x
1
+ x
2
=6，那么
|AB|= （）
A．8B．10C．6D．4
【答案】A
【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。

解：因为直线AB过抛物线y 2=4x的焦点，所以由抛物线定义，|AB|=
=8，故选A。

4.把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（）A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、曲线的平移。

解：与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线方程为y 2=－4x，将其按向量a平移，即以分别代替y 2=－4x中的，得到，故选C。

5.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．【答案】2
【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。

解：抛物线y 2=4x的焦点为F（1,0），因为AB的长为4，所以A，B的纵坐标分别为代入y 2=4x得，故焦点到AB的距离为2.
6.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．
【答案】
【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质，“点差法”求平行弦的斜率。

解：设弦端点为A（），B（），其中点为M（），则将A,B的坐标分别代入y
=2x2
两边分别相减，得，所以，即。

7.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．
【答案】
【解析】主要考查椭圆的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质。

解：椭圆中=，其左焦点为F（－，0），中心（0,0），所以抛物线开口向左，，其标准方程为。

8.过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。

【答案】
【解析】主要考查双曲线定义、标准方程及其几何性质。

解：将x=c代入得，所以过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为。

9.已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为。

【答案】
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆方程的求法。

解：如图所示，由已知，MC+MA=MC+MQ=CQ=5>CA,所以点M的轨迹是椭圆，且2c=2,2a=5, =,所以点M的轨迹方程为。

10.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）
A．x2+ y 2-x-2 y -="0"B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"
C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0
【答案】D
【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆的位置关系。

解：抛物线y 2=2x的准线为，验证圆心坐标适合y 2=2x且圆心到准线距离为半径。

选D。

11.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系。

解：结合图形分析。

点M在抛物线上，所以抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有过点M的切线及平行于轴的直线，共两条，故选C。

12.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．
【答案】2
【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。

解：抛物线y 2=4x的焦点为F（1,0），因为AB的长为4，所以A，B的纵坐标分别为
代入y 2=4x得，故焦点到AB的距离为2.
13. P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一
个定点Q，点Q的坐标是．
【答案】（1，0）
【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何性质、直线与圆的位置关系。

解：抛物线y 2=4x的焦点为（1,0），准线。

由抛物线定义“抛物线上的点，到焦点与到准线距离相等”知，与抛物线准线相切的圆，过抛物线的焦点（1,0），即Q点坐标为（1,0）.
14.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为．
【答案】
【解析】主要考查椭圆的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质。

解：椭圆中=，其左焦点为F（－，0），中心（0,0），所以抛物线开口向左，，其标准方程为。

15.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)
【答案】
【解析】主要考查抛物线定义、标准方程、几何性质。

解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一
条抛物线，其方程为．
16.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
【答案】
【解析】主要考查抛物线的定义、待定系数法求标准方程、几何性质。

解：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
17.动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨
迹的方程．(12分)
【答案】
【解析】主要考查抛物线的标准方程、参数法求标准方程。

设M的坐标为（x，y），A（，），又B得，消去，得轨迹方程为，即。

18.如图，直线l
1和l
2
相交于点M，l
1
⊥l
2
，点N∈l
1
．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l
2
的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
【答案】
【解析】主要考查抛物线定义、标准方程、待定系数法。

如图建立坐标系，以l
1
为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可知：曲线
C是以点N为焦点，以l
2
为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为，
其中分别为A、B的横坐标，．
所以，．由，得①
②
联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．
因为△AMN为锐角三角形，所以，故舍去．∴p=4，．
由点B在曲线段C上，得．综上得曲线段C的方程为．
19.直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为。

【答案】
【解析】主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及弦长公式。

解：将y=x－代入x2+4y2=4整理得，，设弦端点分别为A（），
B（），则，所以弦长AB= =。

20.已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为。

【答案】
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆方程的求法。

解：如图所示，由已知，MC+MA=MC+MQ=CQ=5>CA,所以点M的轨迹是椭圆，且2c=2,2a=5, =,所以点M的轨迹方程为。