2021年上海市春季高考数学试卷

2021年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．
2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．
3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．
4．（4分）不等式＜1的解集为．
5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．
6．（4分）若方程组无解，则＝．
7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为．8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝．
9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.
A运动B运动C运动D运动E运动
7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点
30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是．
12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）
A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1 14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）
A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R 15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称
B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称
C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称
D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称
16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得
＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．
（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；
（2）若cos（A）＝，求c．
19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．
（1）若a＝1，求函数的定义域；
（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．
21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．
（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；
（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．
2021年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝21．
【解答】解：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，
则a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．
故答案为：21．
2．（4分）已知z＝1﹣3i，则|﹣i|＝．
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴，
则|﹣i|＝|1+2i|＝．
故答案为：．
3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为4π．【解答】解：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，
＝2πrh＝2π×1×2＝4π．
所以圆柱的侧面积为S
侧
故答案为：4π．
4．（4分）不等式＜1的解集为（﹣7，2）．
【解答】解：＜1⇒＜0⇒＜0，
解得，﹣7＜x＜2．
故答案为：（﹣7，2）．
5．（4分）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为．
【解答】解：∵直线x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，
直线x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，
故直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为﹣＝，
故答案为：．
6．（4分）若方程组无解，则＝0．
【解答】解：对于方程组，有，当D≠0时，方程组的解为，
根据题意，方程组无解，
所以D＝0，即，
故答案为：0．
7．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为64．
【解答】解：由题意，＞，且＞，
所以n＝6，
所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．
故答案为：64．
8．（5分）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝9．
【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，
所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．
故答案为：9．
9．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1﹣a n）＝4，则a2的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．
【解答】解：∵无穷等比数列{a n}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），
∴a n＝0，
∴（a 1﹣a n）＝a1＝4，
∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．
故答案为：（﹣4，0）∪（0，4）．
10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，
问有几种运动方式组合23种.
A运动B运动C运动D运动E运动
7点﹣8点8点﹣9点9点﹣10点10点﹣11点11点﹣12点
30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【解答】解：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB 的组合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：+++﹣3＝10+10+5+1﹣3＝23（种）．
故答案为：23种．
11．（5分）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦
点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是x＝1﹣．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），则抛物线y2＝4cx，
直线PF1：y＝x+c，联立方程组，解得x＝c，y＝2c，
所以点P的坐标为（c，2c），所以PF
2⊥F1F2，又PF
所以PF，所以PF，
则c＝﹣1，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣c＝1﹣，
故答案为：x＝1﹣．
12．（5分）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值
是．
【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中
∠AOx＝∠BOx＝），
所以θ＞∠AOB＝，
因为对任意n∈N*都成立，
所以∈N*，即θ＝，k∈N*，
同时θ＞，所以θ的最小值为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）
A．f（x）＝x2B．f（x）＝sin x C．f（x）＝2x D．f（x）＝1
【解答】解：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，
选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，
选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，
选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，故选：C．
14．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是（）
A．A⊆B B．∁R A⊆∁R B C．A∩B＝∅D．A∪B＝R
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x∈R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x∈R}，
∁R A＝{x|x≤﹣1，x∈R}，∁R B＝{x|﹣1≤x≤2}；
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
故选：D．
15．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，下列是f（x）无最大值的充分条件是（）A．f（x）为偶函数且关于点（1，1）对称
B．f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称
C．f（x）为奇函数且关于点（1，1）对称
D．f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称
【解答】解：根据题意，依次判断选项：
对于A，f（x）＝cos+1，f（x）为偶函数，且关于点（1，1）对称，存在最大值，A 错误，
对于B，f（x）＝cos（πx），f（x）为偶函数且关于直线x＝1对称，存在最大值，B错误，对于C，假设f（x）有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为（a，M），
f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则f（x）的图象存在最低点（﹣a，﹣M），又由f（x）的图象关于点（1，1）对称，则（﹣a，﹣M）关于点（1，1）对称的点为（2﹣a，2+M），
与最大值为M相矛盾，则此时f（x）无最大值，C正确，
对于D，f（x）＝sin，f（x）为奇函数且关于直线x＝1对称，D错误，
故选：C．
16．（5分）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得
＝0；②存在三角形△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立
【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y），
若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2，
满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立；
②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
所以与不共线，即②不成立．
故选：B．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．
（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
【解答】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，
∴PE＝2，
又PE⊥平面ABCD，
＝×2×42＝．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S
正方形ABCD
（2）∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴PE＝FE＝4，
∴PB＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，
故PC与AD所成角的大小为arctan．
18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；
（2）若cos（A）＝，求c．
【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，
又a＝2，可得b＝1，
由于cos C＝＝＝﹣，可得c＝．
（2）因为cos（A）＝（cos A+sin A）＝，
可得cos A+sin A＝，
又cos2A+sin2A＝1，
可解得cos A＝，sin A＝，
因为cos C＝﹣，可得sin C＝，
由正弦定理，可得c＝．
19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P 满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）
【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，
所以双曲线的标准方程为﹣＝1，
直线OP：y＝x，联立双曲线方程，可得x＝，y＝，
即点P的坐标为（，）．
（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，c＝20，所以b2＝175，
双曲线方程为﹣＝1；
②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝5，c＝15，所以b2＝200，
所以双曲线方程为﹣＝1，
两双曲线方程联立，得Q（，），
所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．
20．（16分）已知函数f（x）＝﹣x．
（1）若a＝1，求函数的定义域；
（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，
由|x+1|﹣1≥0，得|x+1|≥1，解得x≤﹣2或x≥0．
∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；
（2）f（ax）＝，
f（ax）＝a⇔，
设ax+a＝t≥0，∴有两个不同实数根，整理得a＝t﹣t2，t≥0，
同时a≠0，∴a∈（0，）；
（3）当x≥﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在[，+∞）上单调递减，
此时需要满足﹣a≥，即a，函数f（x）在[﹣a，+∞）上递减；
当x＜﹣a时，f（x）＝﹣x＝，在（﹣∞，﹣2a]上递减，
∵a＜0，∴﹣2a＞﹣a＞0，即当a时，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）上递减．综上，当a∈（﹣∞，﹣]时，函数f（x）在定义域R上连续，且单调递减．21．（18分）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．
（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；
（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．
【解答】解：（1）由题意，2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，
∴2a2＝a3+a1解得a3＝1，2a3＝a2+a1解得a3＝4，经检验，a3＝1，
（2）证明：∵a1＝a4＝a7＝0，∴a3＝2a2，或，经检验，；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
∴，或（舍），∴；
综上，a2、a5、a8成等比数列，公比为；
（3）由2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，可知或，由第（2）问可知，a r＝0，则a r﹣2＝2a r﹣1，即a r﹣1﹣a r﹣2＝﹣a r﹣1，
∴a r＝0，则＝＝＝
，
∴，
同理，＝，
∴，同理，，∴a r+1+a s+1+a t+1的最大值．。