2020年数学高中学业水平测试课件：平面向量的概念及线性运算
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答案：D
剖析：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向 量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．
(4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是与 a 同方向的单位向 量．
2．平面向量的线性运算
3．设 O，A，B，M 为平面上四点，O→M＝λO→A＋(1 －λ)O→B，λ ∈(0，1)，则( )
A．点 M 在线段 AB 上 B．点 B 在线段 AM 上 C．点 A 在线段 BM 上 D．O，A，B，M 四点共线 解析：因为O→M＝λO→A＋(1－λ)O→B，λ∈(0，1)，所 以O→M－O→B＝λ(O→A－O→B)，B→M＝λB→A，所以点 M 在线 段 AB 上，选 A. 答案：A
向量
0 与任一向量平
共线 方向相同或相反的非零向量 行或共线
向量 又叫做共线向量
相等 长度相等且方向 两向量只有相等或 向量 相同的向量 不等，不能比较大小 相反 长度相等且方向
0 的相反向量为 0 向量 相反的向量
2.向量的线性运算 法则
向量运算 定义 (或几何意义)
运算律
求两个向 加法 量和的运 三角形
∵D→E＝λ1A→B＋λ2A→C，∴λ1＝－16，λ2＝23，
故 λ1＋λ2＝12.
答案：(1)B
1 (2)2
剖析：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共 线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当 λ1＝λ2＝ 0 时成立，则向量 a，b 不共线．
4．设 e1，e2 不共线，则下列四组向量中不能作为基 底的是( )
A．e1＋e2 与 e1－e2 B．3e1－2e2 与 4e2－6e1 C．e1＋2e2 与 e2＋2e1 D．e2 和 e1＋e2 解析：因为 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以(3e1－2e2) ∥(4e2－6e1)，故 3e1－2e2 与 4e2－6e1 不能作为基底，故 选 B. 答案：B
【例1】 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个
向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与
a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模 相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平 行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向， 反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是 3.
1．设 a，b 是两个非零向量，则下列结论不正确的是 ()
A．若存在一个实数 k 满足 a＝kb，则 a 与 b 共线 B．若 a＝b，则|a|＝|b| C．|a＋b|＞|a－b| D．若 a 与 b 为两个方向相同的向量，则|a＋b|＝|a| ＋|b|
解析：由向量的共线定理知，A 项正确；若 a＝b 成 立，则两向量方向和大小相等，所以|a|＝|b|，B 项正确； 当两向量方向相反时，|a＋b|＜|a－b|，C 项错误；显然， D 项正确，故选 C.
解析：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立直角坐标系， 设 P(x，y)，则 A→D＝(0，1)，A→B＝(3，0)，所以 x＝3α，y＝β，所以 α＝x3，β＝y，
所以 α＋β＝x3＋y 由线性规划知识知在点 C(1，1)处 取得最大值43.
答案：43
8 ． 设 两 个 向 量 a ＝ (λ ， λ － 2cos α ) 和 b ＝
(λμ)a； 向量 a 向与 a 的方向相同；
乘
(2)( λ＋μ)a＝ 的积 当 λ<0 时，λa 的方向
λa＋μa；(3) λ(a
的运 与 a 的方向相反；当
＋b)＝λa＋λb
算 λ＝0 时，λa＝0
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ， 使 b＝λa.
1．平面向量的概念
答案：[－2 2，2 2]
9．在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示A→D，A→G.
解：A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C)＝23A→B ＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
由 E，F，K 三点共线，可得 λ＝29. 答案：A
剖析：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略： (1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合 三角形法则． (2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边 形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形 法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向 量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
即 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
3＝2λ，
得
解得
－2＝－λk，
λ＝32，k＝43.
10．设两个非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2，C→D＝－8e1－2e2， 求证：A，C，D 三点共线； (2)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1－3e2，C→D＝2e1－ke2，且 A、C、D 三点共线，求 k 的值． (1)证明：∵A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2， C→D＝－8e1－2e2，
5．已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心，且O→A＋O→B＋ O→C＝0，则△ABC 的内角 A 等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由O→A＋O→B＋O→C＝0，知点 O 为△ABC 的重 心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A＝60°. 答案：B
m，m2 ＋sin
α
，其中
λ、m、α 为实数，若
a＝2b，则
m
的取值范围是________． 解析：因为 a＝2b，
λ＝2m，
所以λ－2cos
α＝2m2 ＋sin
α，
所以 m＝2sin α＋2cos α＝2 2sinα＋π4 ∈[－
2 2，2 2]．
3．共线定理的应用
【例 3】 (1)已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋3b，C→D
＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 (2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD
＝12AB，BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2为实数)， 则λ1＋λ2的值为________．
∴
A→C
＝
A→B
＋
B→C＝
4e1
＋
e2
＝－
1 2
(
－
8e1
－
2e2)
＝－
1 2
C→D，
∴A→C与C→D共线．
又∵A→C与C→D有公共点 C，
∴A，C，D 三点共线．
(2)解：A→C＝A→B＋B→C＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－
2e2，
∵A、C、D 三点共线， ∴A→C与C→D共线，从而存在实数 λ 使得A→C＝λC→D，
【例2】 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的
两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，
其中，
A→E
＝
2 5
A→B
，
A→F
＝
1 2
A→D
，
A→K
＝λ
A→C
，则λ的值为
()
2222 A.9 B.7 C.5 D.3
解析：∵A→E＝25A→B，A→F＝12A→D，∴A→B＝52A→E， A→D＝2A→F. 由向量加法的平行四边形法则可知， A→C＝A→B＋A→D， ∴A→K＝λA→C＝λ(A→B＋A→D)＝λ52A→E＋2A→F＝52λA→E＋ 2λA→F，
6．已知 e1，e2 不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当 k＝________时，a，b 共线．
解析：因为 e1，e2 不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2， 当 a，b 共线时，则有 k＝±1.
答案：±1
7.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD， AD＝CD＝1，AB＝3，动点 P 在 BCD 内运动 (含边界)，设A→P＝αA→D＋βA→B，则 α＋β 的最大值是 ________．
答案：C
2．若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 则向量 a＋b 与 a－b 的夹角为( )
π π 2π 5π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 解析：结合向量加减法的平行四边形法则、三角形法 则可知 a＋b，a－b 分别为以 a，b 为临边的平行四边形的 对角线对应的向量，因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平 行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为 π6 ，结合图形可知向量 a＋b 与 a－b 的夹角为2π3 . 答案：C
解 析 ： (1)∵ B→D ＝ B→C ＋ C→D ＝ 2a ＋ 6b ＝ 2(a ＋ 3b) ＝ 2A→B，∴B→D，A→B共线，又有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．故选 B. (2)D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(A→C－A→B) ＝－16A→B＋23A→C，
第29讲 平面向量的概念 及线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
既有大小又有方向的 平面向量是自由
向量 量；向量的大小叫做 向量
向量的长度(或称模)
零向 长度为 0 的向量；其 量 方向是任意的
记作 0
单位 长度等于 1 个单位的向量
向量
非零向量 a 的单 位向量为±|aa|
平行
方向相同或相反的非零向量
算
平行四边形
(1)交换律：a＋b ＝b＋a. (2)结合律：(a＋ b)＋c＝a＋(b＋c)
求 a 与 b 的相 反向量－b 的 减法 和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形
a－b＝a＋(－b)
求实 (1)| λa|＝|λ||a|；
(1) λ(μa)＝
数 λ 与 (2)当 λ>0 时，λa 的方
数
剖析：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向 量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．
(4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是与 a 同方向的单位向 量．
2．平面向量的线性运算
3．设 O，A，B，M 为平面上四点，O→M＝λO→A＋(1 －λ)O→B，λ ∈(0，1)，则( )
A．点 M 在线段 AB 上 B．点 B 在线段 AM 上 C．点 A 在线段 BM 上 D．O，A，B，M 四点共线 解析：因为O→M＝λO→A＋(1－λ)O→B，λ∈(0，1)，所 以O→M－O→B＝λ(O→A－O→B)，B→M＝λB→A，所以点 M 在线 段 AB 上，选 A. 答案：A
向量
0 与任一向量平
共线 方向相同或相反的非零向量 行或共线
向量 又叫做共线向量
相等 长度相等且方向 两向量只有相等或 向量 相同的向量 不等，不能比较大小 相反 长度相等且方向
0 的相反向量为 0 向量 相反的向量
2.向量的线性运算 法则
向量运算 定义 (或几何意义)
运算律
求两个向 加法 量和的运 三角形
∵D→E＝λ1A→B＋λ2A→C，∴λ1＝－16，λ2＝23，
故 λ1＋λ2＝12.
答案：(1)B
1 (2)2
剖析：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共 线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2， 使 λ1a＋λ2b＝0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当 λ1＝λ2＝ 0 时成立，则向量 a，b 不共线．
4．设 e1，e2 不共线，则下列四组向量中不能作为基 底的是( )
A．e1＋e2 与 e1－e2 B．3e1－2e2 与 4e2－6e1 C．e1＋2e2 与 e2＋2e1 D．e2 和 e1＋e2 解析：因为 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以(3e1－2e2) ∥(4e2－6e1)，故 3e1－2e2 与 4e2－6e1 不能作为基底，故 选 B. 答案：B
【例1】 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个
向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与
a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模 相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平 行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向， 反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是 3.
1．设 a，b 是两个非零向量，则下列结论不正确的是 ()
A．若存在一个实数 k 满足 a＝kb，则 a 与 b 共线 B．若 a＝b，则|a|＝|b| C．|a＋b|＞|a－b| D．若 a 与 b 为两个方向相同的向量，则|a＋b|＝|a| ＋|b|
解析：由向量的共线定理知，A 项正确；若 a＝b 成 立，则两向量方向和大小相等，所以|a|＝|b|，B 项正确； 当两向量方向相反时，|a＋b|＜|a－b|，C 项错误；显然， D 项正确，故选 C.
解析：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立直角坐标系， 设 P(x，y)，则 A→D＝(0，1)，A→B＝(3，0)，所以 x＝3α，y＝β，所以 α＝x3，β＝y，
所以 α＋β＝x3＋y 由线性规划知识知在点 C(1，1)处 取得最大值43.
答案：43
8 ． 设 两 个 向 量 a ＝ (λ ， λ － 2cos α ) 和 b ＝
(λμ)a； 向量 a 向与 a 的方向相同；
乘
(2)( λ＋μ)a＝ 的积 当 λ<0 时，λa 的方向
λa＋μa；(3) λ(a
的运 与 a 的方向相反；当
＋b)＝λa＋λb
算 λ＝0 时，λa＝0
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ， 使 b＝λa.
1．平面向量的概念
答案：[－2 2，2 2]
9．在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示A→D，A→G.
解：A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C)＝23A→B ＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
由 E，F，K 三点共线，可得 λ＝29. 答案：A
剖析：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略： (1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合 三角形法则． (2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边 形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形 法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向 量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
即 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
3＝2λ，
得
解得
－2＝－λk，
λ＝32，k＝43.
10．设两个非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2，C→D＝－8e1－2e2， 求证：A，C，D 三点共线； (2)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1－3e2，C→D＝2e1－ke2，且 A、C、D 三点共线，求 k 的值． (1)证明：∵A→B＝e1－e2，B→C＝3e1＋2e2， C→D＝－8e1－2e2，
5．已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心，且O→A＋O→B＋ O→C＝0，则△ABC 的内角 A 等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由O→A＋O→B＋O→C＝0，知点 O 为△ABC 的重 心， 又∵O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A＝60°. 答案：B
m，m2 ＋sin
α
，其中
λ、m、α 为实数，若
a＝2b，则
m
的取值范围是________． 解析：因为 a＝2b，
λ＝2m，
所以λ－2cos
α＝2m2 ＋sin
α，
所以 m＝2sin α＋2cos α＝2 2sinα＋π4 ∈[－
2 2，2 2]．
3．共线定理的应用
【例 3】 (1)已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋3b，C→D
＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 (2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD
＝12AB，BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2为实数)， 则λ1＋λ2的值为________．
∴
A→C
＝
A→B
＋
B→C＝
4e1
＋
e2
＝－
1 2
(
－
8e1
－
2e2)
＝－
1 2
C→D，
∴A→C与C→D共线．
又∵A→C与C→D有公共点 C，
∴A，C，D 三点共线．
(2)解：A→C＝A→B＋B→C＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－
2e2，
∵A、C、D 三点共线， ∴A→C与C→D共线，从而存在实数 λ 使得A→C＝λC→D，
【例2】 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的
两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，
其中，
A→E
＝
2 5
A→B
，
A→F
＝
1 2
A→D
，
A→K
＝λ
A→C
，则λ的值为
()
2222 A.9 B.7 C.5 D.3
解析：∵A→E＝25A→B，A→F＝12A→D，∴A→B＝52A→E， A→D＝2A→F. 由向量加法的平行四边形法则可知， A→C＝A→B＋A→D， ∴A→K＝λA→C＝λ(A→B＋A→D)＝λ52A→E＋2A→F＝52λA→E＋ 2λA→F，
6．已知 e1，e2 不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，当 k＝________时，a，b 共线．
解析：因为 e1，e2 不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2， 当 a，b 共线时，则有 k＝±1.
答案：±1
7.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD， AD＝CD＝1，AB＝3，动点 P 在 BCD 内运动 (含边界)，设A→P＝αA→D＋βA→B，则 α＋β 的最大值是 ________．
答案：C
2．若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|， 则向量 a＋b 与 a－b 的夹角为( )
π π 2π 5π A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 解析：结合向量加减法的平行四边形法则、三角形法 则可知 a＋b，a－b 分别为以 a，b 为临边的平行四边形的 对角线对应的向量，因为|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，所以此平 行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为 π6 ，结合图形可知向量 a＋b 与 a－b 的夹角为2π3 . 答案：C
解 析 ： (1)∵ B→D ＝ B→C ＋ C→D ＝ 2a ＋ 6b ＝ 2(a ＋ 3b) ＝ 2A→B，∴B→D，A→B共线，又有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．故选 B. (2)D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(A→C－A→B) ＝－16A→B＋23A→C，
第29讲 平面向量的概念 及线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
既有大小又有方向的 平面向量是自由
向量 量；向量的大小叫做 向量
向量的长度(或称模)
零向 长度为 0 的向量；其 量 方向是任意的
记作 0
单位 长度等于 1 个单位的向量
向量
非零向量 a 的单 位向量为±|aa|
平行
方向相同或相反的非零向量
算
平行四边形
(1)交换律：a＋b ＝b＋a. (2)结合律：(a＋ b)＋c＝a＋(b＋c)
求 a 与 b 的相 反向量－b 的 减法 和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形
a－b＝a＋(－b)
求实 (1)| λa|＝|λ||a|；
(1) λ(μa)＝
数 λ 与 (2)当 λ>0 时，λa 的方
数