2020新教材人教A版必修第二册第六章 单元质量测评

第六章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A ．BC → B ．AB →
C ．AC →
D ．AM
→ 答案 C
解析 原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →
.
2．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为
( )
A ．(2,16)
B ．(－2，－16)
C ．(4,16)
D ．(2,0) 答案 A
解析 设D (x ，y )，由题意可知AD
→＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3,1)，BC →＝(1，－
4)，所以2AB →－3BC →
＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝16.
3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
答案 C
解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.
4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 答案 B
解析 设向量a ，b 的夹角为θ，则|c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，则cos θ＝－1
2.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.
5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝7
8，则△ABC 的面积S 为( )
A ．152
B ．15
C ．8155
D ．6 3
答案 A
解析 由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0. ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即6＝4c 2＋c 2－4c 2·
7
8.∴c ＝2，从而b ＝4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2×4×2×
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
782＝152. 6．向量BA
→＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( )
A ．等腰非直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角非等腰三角形
D ．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)，∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)，∴CA →·CB →
＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA
→|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．
7．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →
|，则AB →·BC →
|BC →|＝( )
A ．－3
2 B ．－1
2 C ．12 D ．32 答案 B
解析 由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB
→|
＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →
|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos120°|BC →|＝
－1
2.
8.如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝4，AD ＝BC ＝5，E 是DC 的中点，点P 在线段BC 上运动(包含端点)，则EP →·BP
→的最小值是( )
A ．－9
5 B ．0 C ．－45 D ．1
答案 A
解析 由四边形ABCD 是等腰梯形可知cos B ＝5
5.设BP ＝x (0≤x ≤5)，则CP ＝5－x .所以EP →·BP →＝(EC →＋CP →)·BP →＝EC →·BP →＋CP →·BP →＝1·x ·
⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋(5－x )·x ·(－1)＝x 2－655x .因为0≤x ≤5，所以当x ＝355时，EP →·BP
→取得最小值－95.
故选A ．
9．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )
A ．7 km
B ．13 km
C ．19 km
D ．
10－3 3 km
答案 B
解析 如图，设行驶15分钟时，甲船到达M 处，由题意，知AM ＝8×15
60＝2，BN ＝12×15
60＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ×BN cos120°＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝13，所以MN ＝13(km)．
10．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝( )
A ． 3
B ．2
C ．2 3
D ．4
答案 B
解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12，∴|a ×b |＝2×2×1
2＝2.
11．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，
则向量P 1P 2→长度的最大值是( )
A ． 2
B ． 3
C ．3 2
D ．2 3 答案 C
解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2
＝
10－8cos θ≤3 2.
12．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为(a,0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP
→的最大值为( )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．a 2
答案 D
解析 AB
→＝OB →－OA →＝(0，a )－(a,0)＝(－a ，a )，
∴AP
→＝tAB →＝(－at ，at )． 又OP
→＝OA →＋AP →＝(a,0)＋(－at ，at )＝(a －at ，at )， ∴OA →·OP →＝a (a －at )＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1)． ∴当t ＝0时，OA →·OP
→取得最大值，为a 2. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
答案 (－4，－2)
解析 设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝－4，y ＝－2.即a ＝(－4，－2)．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝
1，那么c ＝________.
答案
2
解析 由题知，AB →·AC →＋BA →·BC
→＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC
→＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 15．如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN
→的最大值是________．
答案 4
解析 ∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投
影，又|AB →|＝2，∴AB →·AN
→的最大值是4. 16．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM
→＝16CB →＋23CA →，
则MA →·MB
→＝________.
答案 －2
解析 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，(0,3)．设M 点的坐标为(x ，y )，则CM
→＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，
又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以MA →
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332
，－
12，所以MA →·MB →＝－2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C ．
(1)求B ；
(2)若3sin C ＝2sin A ，且△ABC 的面积为63，求b . 解 (1)由b sin B ＝a sin A ＋(c －a )sin C 及正弦定理， 得b 2＝a 2＋(c －a )c ，即a 2＋c 2－b 2＝ac . 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝1
2. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3. (2)由(1)得B ＝π
3，
所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝3
4ac ＝63，得ac ＝24. 由3sin C ＝2sin A 及正弦定理，得3c ＝2a ， 所以a ＝6，c ＝4.
由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝36＋16－24＝28， 所以b ＝27.
18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M
分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝1
3BC ．
(1)以a ，b 为基底表示向量AM
→与HF →；
(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →.
解 (1)由已知，得AM
→＝AD →＋DM →＝12a ＋b . 连接AF ，∵AF
→＝AB →＋BF →＝a ＋13b ，
∴HF →＝HA →＋AF →＝－12b ＋⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知，得a ·b ＝|a ||b |cos120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6，从而AM →·HF
→＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b ＝12
|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42
＝－
113. 19．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →
＋yOB
→.
(1)若AP
→＝PB →，求x ，y 的值； (2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值． 解 (1)若AP
→＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝1
2. (2)若AP
→＝3PB →， 则OP →＝OA →
＋34AB →＝OA →＋34(OB →－OA →) ＝14OA →＋34OB →，
OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14OA →＋34OB →·(OB →－OA →) ＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2
＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22＝－3.
20．(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x
4，cos 2x 4，函数
f (x )＝m ·n .
(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－x 的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋1
2c ＝b ，求f (B )的取值范围．
解 由题意，得f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x
4
＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋1
2.
(1)由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝1
2，
则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2－1
＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x
2＋π6－1＝－12. (2)已知a cos C ＋1
2c ＝b ，由余弦定理，得
a ·a 2＋
b 2－
c 22ab ＋1
2c ＝b ，
即b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2，
又因为A 为三角形的内角，所以A ＝π3， 从而B ＋C ＝2π3，易知0<B <2π3，0<B 2<π
3， 则π6<B 2＋π6<π2，
所以1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12<3
2，
故f (B )的取值范围为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，32.
21．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－
2，－3)，BC
→∥DA →.
(1)求x 与y 的关系式；
(2)若AC
→⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解 (1)如右图所示．
因为AD
→＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， 所以DA
→＝－AD →＝(－x －4,2－y )． 又因为BC
→∥DA →，BC →＝(x ，y )，
所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.
(2)AC
→＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD
→＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，
于是BC
→＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． 所以|AC
→|＝4，|BD →|＝8， 所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →
|＝16.
当y ＝－1时，x ＝2，
于是有BC
→＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)．
所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.
综上可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1，
S 四边形ABCD ＝16.
22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a ，b 满足关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．
(1)求a 与b 的数量积用k 表示的解析式f (k )；
(2)a 能否和b 垂直？a 能否和b 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k 值；
(3)求a 与b 夹角的最大值． 解 (1)由已知|a |＝|b |＝1.
∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2|a |2＋2k a ·b ＋|b |2＝3(|a |2－2k a ·b ＋k 2|b |2)，
∴8k a ·b ＝2k 2
＋2，∴f (k )＝a ·b ＝k 2
＋14k (k >0)．
(2)∵a ·b ＝f (k )>0，
∴a 与b 不可能垂直．若a ∥b ，由a ·b >0知a ，b 同向， 于是有a ·b ＝|a ||b |cos0°＝|a ||b |＝1， 即k 2＋1
4k ＝1，解得k ＝2±3. ∴当k ＝2±3时，a ∥b .
(3)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b ＝k 2＋14k (k >0)，∴cos θ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k ＋1k ＝
14⎣⎢⎡⎦⎥⎤()k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2， ∴当k ＝
1k
即k ＝1时，cos θ取到最小值为1
2. 又0°≤θ≤180°，
∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。