浙教版数学(八上)巩固练习 1.5 全等三角形的判定(解析版)

第1章三角形的初步认识
1.5 三角形全等的判定
知识提要
1.三角形全等的判定：
（1）三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写“角边角”或“ASA”）；
（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；2．三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性．
3．垂直平分线的概念、性质：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
4．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
练习
一、选择题
1．（2019春•顺德区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，不能判定∥ABD∥∥CDB 的条件是（B）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∥A＝∥C
【答案】解：∥AB∥CD，
∥∥ABD＝∥CDB，而BD＝DB，
∥当AB＝CD时，根据“SAS”可判断∥ABD∥∥CDB；
当∥A＝∥C时，根据“AAS”可判断∥ABD∥∥CDB；
当∥ADB＝∥CBD或AD∥BC时，根据“ASA”可判断∥ABD∥∥CDB．故选：B．
2．如图，已知AD＝BC，∥1＝∥2，则下列说法正确的是（D）
A．BD＝AC B．∥D＝∥C C．∥DAB＝∥CBA D．以上说法都不对【答案】解：由AD＝BC，∥1＝∥2，AB＝BA，
无法得出∥ADB与∥BCA全等，
所以无法得出BD＝AC，∥D＝∥C，∥DAB＝∥CBA，故选：D．
3.（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地
上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接ED．若量出DE＝58米，则A，B间的距离即可求．依据是（A）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
解：在∥ABC和∥DEC中，，∥ABC∥∥DEC（SAS），
∥AB＝DE＝58米，
4.（2019春•普宁市期末）如图，已知∥B＝∥D，那么添加下列一个条件后，能判定
∥ABC∥∥ADC的是（A）
A.∥BAC＝∥DAC B．AC＝AC
C．AB＝AD D．CB＝CD
【答案】解：A、添加∥BAC＝∥DAC，根据AAS，能判定∥ABC∥∥ADC，故A选项符合题意；
B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定∥ABC∥∥ADC，故B选项不符合题意；
C、添加AB＝AD，根据SSA，不能判定∥ABC∥∥ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB＝CD时，根据SSA，不能判定∥ABC∥∥ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
5．(泰州中考)如图，在∥ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是( D)
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对
【解】∥D是BC的中点，∥BD＝CD.
又∥AB＝AC，AD＝AD，∥∥ABD∥∥ACD(SSS)，
∥∥BDO＝∥CDO＝90°.
∥EF垂直平分AC，∥OA＝OC，AE＝CE.
又∥OE＝OE，∥∥AOE∥∥COE(SSS)．
∥BD＝CD，∥BDO＝∥CDO，OD＝OD，∥∥BOD∥∥COD(SAS)．∥AC＝AB，OA＝OA，OC＝OB，∥∥AOC∥∥AOB(SSS)．
综上所述，共有4对全等三角形．
6．（2019春•张店区期末）如图，AB＝DB，∥ABD＝∥CBE，∥BE＝BC，
∥∥D＝∥A，∥∥C＝∥E，∥AC＝DE，能使∥ABC∥∥DBE的条件有（C）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】解：∥AB＝DB，∥ABD＝∥CBE，
∥∥ABC＝∥DBE，
∥BE＝BC，利用SAS可得∥ABC∥∥DBE；
∥∥D＝∥A，利用ASA可得∥ABC∥∥DBE；
∥∥C＝∥E，利用AAS可得∥ABC∥∥DBE；
7.（2018秋•和平区期末）已知AD是∥ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则
边BC及中线AD的取值范围分别是（）
A．4＜BC＜20，2＜AD＜10B．4＜BC＜20，4＜AD＜20
C．2＜BC＜10，2＜AD＜10D．2＜BC＜10，4＜AD＜20
【答案】解：如图所示，在∥ABC中，则AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即12﹣8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，
延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∥AD是∥ABC的边BC上的中线，∥BD＝CD，
又∥ADC＝∥BDE，AD＝DE∥∥ACD∥∥EBD（SAS），∥BE＝AC，
在∥ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，
12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∥2＜AD＜10．故选：A．
8.（2018秋•天河区期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∥EAF＝∥BAC，点C、D、
E、F共线．则下列结论∥∥AFB∥∥AEC；∥BF＝CE；∥∥BFC＝∥EAF；∥AB＝BC．正
确的是（A）
A．∥∥∥B．∥∥∥C．∥∥D．∥∥∥∥
【答案】解：∥∥EAF＝∥BAC，∥∥BAF＝∥CAE，
∥AF＝AE，AB＝AC，∥∥FAB∥∥EAC（SAS），故∥正确，
∥BF＝EC，故∥正确，
∥∥ABF＝∥ACE，∥∥BDF＝∥ADC，∥∥BFC＝∥DAC，∥∥DAC＝∥EAF，∥∥BFC＝∥EAF，故∥正确，无法判断AB＝BC，故∥错误，故选：A．
9.如图，已知AE∥AB 且AE ＝AB ，BC∥CD 且BC ＝CD ，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分的面积S 是( A )
A. 50
B. 62
C. 65
D. 68
【解】 ∥EF∥AC ，BG∥AC ，
∥∥EFA ＝∥AGB ＝90°，∥FEA ＋∥EAF ＝90°. ∥EA∥AB ，∥∥EAB ＝90°，
∥∥EAF ＋∥GAB ＝90°，∥∥FEA ＝∥GAB.
又∥AE ＝BA ，∥∥EFA∥∥AGB(AAS)，∥AF ＝BG ，EF ＝AG. 同理，∥BGC∥∥CHD ，∥GC ＝HD ，BG ＝CH ， ∥FH ＝FA ＋AG ＋GC ＋CH ＝3＋6＋4＋3＝16， ∥S 阴影＝12×(6＋4)×16－12×3×4×2－1
2×6×3×2＝50.
二、填空题
1．如图，在∥ABC 中，∥C ＝90°，E 为边AB 的中点，ED∥AB ，交BC 于点D ，且∥CAD∥∥BAD ＝1∥7，则∥BAC ＝48°．
2. 如图，在∥ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∥BAC ，交BC 于点D ，DE∥AB 于点E ，DF∥AC 于点F ，有下列结论：∥DE ＝DF ；∥BD ＝CD ；∥AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；∥AD 上任意一点到点B ，C 的距离相等．其中正确的是∥∥∥∥(填序号)．
3．如图，在∥ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是1<AD<7．
【解】延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE.∥AC＋CE＞AE，且可证CE＝AB，∥AC＋AB＞2AD，∥AD＜7.∥AB－AC＜2AD，∥AD＞1.∥1＜AD＜7.
4. 在如图所示的4×4正方形网格中，∥1＋∥2＋∥3＋∥4＋∥5＋∥6＋∥7＝315°．
【解】由图可知，∥1所在的最大的直角三角形与∥7所在的最大的直角三角形全等，∥∥1＋∥7＝90°.同理，∥2＋∥6＝90°，∥3＋∥5＝90°.
又∥∥4＝45°，
∥∥1＋∥2＋∥3＋∥4＋∥5＋∥6＋∥7＝315°.
三、解答题
1. 如图，∥ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，∥A＝60°.求证：CD＋BE＝BC.
【解】在BC上取一点F，使BF＝BE，连结OF.
∥BD，CE分别平分∥ABC，∥ACB，
∥∥ABD＝∥CBD，∥ACE＝∥BCE.
∥BE＝BF，∥EBO＝∥FBO，BO＝BO，
∥∥EBO∥∥FBO(SAS)，∥∥EOB＝∥FOB.
∥∥A＝60°，∥∥ABC＋∥ACB＝120°，
∥∥OBC＋∥OCB＝120°÷2＝60°，
∥∥COB＝120°，∥∥EOB＝∥DOC＝60°，
∥∥FOB＝∥EOB＝60°，
∥∥FOC＝∥COB－∥FOB＝60°，∥∥FOC＝∥DOC.
又∥OC＝OC，∥FCO＝∥DCO，
∥∥OFC∥∥ODC(ASA)，∥CD＝CF，
∥BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
2．如图，在∥ABC中，∥A＝90°，AB＝AC，∥ABC的平分线BD交AC于点D，CE∥BD，交BD的延长线于点E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
【解】CE＝1
2BD.理由如下：延长CE交BA的延长线于点F.
∥BE平分∥ABC，∥∥EBC＝∥EBF.∥CE∥BD，∥∥BEC＝∥BEF＝90°.
又∥BE＝BE，∥∥BEC∥∥BEF(ASA)，∥CE＝FE＝1
2CF.
∥∥ABD＋∥ADB＝∥ACF＋∥CDE＝90°，∥ADB＝∥CDE，∥∥ABD＝∥ACF.
又∥AB＝AC，∥BAD＝∥CAF＝90°，
∥∥BAD∥∥CAF(ASA)，∥BD＝CF，
∥CE＝1
2CF＝
1
2BD.
3．（2019春•牡丹区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：∥DAE∥∥CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE∥AF．
【答案】证明：（1）∥DAE∥∥CFE理由如下：∥AD∥BC（已知），
∥∥ADC＝∥ECF（两直线平行，内错角相等），∥E是CD的中点（已知），
∥DE＝EC（中点的定义）．
∥在∥ADE与∥FCE中，，
∥∥ADE∥∥FCE（ASA）；
（2）由（1）知∥ADE∥∥FCE，
（3）∥AE＝EF，AD＝CF，
∥AB＝BC+AD，∥AB＝BC+CF，
即AB＝BF，在∥ABE与∥FBE中，，
∥∥ABE∥∥FBE（SSS），
∥∥AEB＝∥FEB＝90°，∥BE∥AE；
4．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∥BAC=90°，AD∥BC于点D，可知：∥BAD=∥C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∥MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∥MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF∥AE于点F，BD∥AE于点D．证明：∥ABD∥∥CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∥MAN的边AM、AN上，点E，F在∥MAN内部的射线AD上，∥1、∥2分别是∥ABE、∥CAF的外角．已知AB=AC，∥1=∥2=∥BAC．求证：∥ABE∥∥CAF；
拓展应用：如图4，在∥ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∥1=∥2=∥BAC．若∥ABC的面积为15，则∥ACF与∥BDE的面积之和为____________．
解：特例探究：∥CF∥AE，BD∥AE，∥MAN=90°，
∥∥BDA=∥AFC=90°，
∥∥ABD+∥BAD=90°，∥BAD+∥CAF=90°，
∥∥ABD=∥CAF，
在∥ABD和∥CAF中，∥
∥∥ABD∥∥CAF（AAS）；
归纳证明：∥∥1=∥2=∥BAC，∥1=∥BAE+∥ABE，
∥BAC=∥BAE+∥CAF，∥2=∥FCA+∥CAF，
∥∥ABE=∥CAF，∥BAE=∥FCA，
在∥ABE和∥CAF中，∥
∥∥ABE∥∥CAF（ASA）；
拓展应用：∥∥ABC的面积为15，CD=2BD，
∥∥ABD的面积是：×15=5，由上题易得∥ABE∥∥CAF，
∥∥ACF与∥BDE的面积之和等于∥ABE与∥BDE的面积之和，即等于∥ABD的面积是5．。