第七章数值积分

x0 x2
x2
x4
h h ( f 0 4 f1 f 2 ) ( f 2 4 f3 f 4 ) 3 3 h ( f 0 4 f1 2 f 2 4 f3 f 4 ) 3
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例7.3
1
可见，依然是布尔公式的结果最接近真实值

x3
x0
3h 3h5 (4) f ( x)dx ( f 0 3 f1 3 f 2 f3 ) f ( ) 8 80
布尔公式的精度为n=5，如果f∈C6[a,b]，则
2019/4/8

x4
x0
2h 8h7 (6) f ( x)dx (7 f 0华南师范大学数学科学学院 32 f1 12 f 2 32 f3 谢骊玲 7 f4 ) f ( ) 45 945

1
0
f ( x)dx
2(1/ 4) 1 1 3 (7 f (0) 32 f ( ) 12 f ( ) 32 f ( ) 7 f (1)) 45 4 2 4 1 (7(1.00000) 32(1.65534) 12(1.55152) 32(1.06666) 7(0.72159)) 1.30859 90
x1

x0
h h3 (2) f ( x)dx ( f 0 f1 ) f ( ) 2 12
辛普森公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则

x2
x0
h h5 (4) f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) f ( ) 3 90
辛普森3/8公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则
且具有性质 a f ( x)dx Q[ f ] E[ f ] 的公式为数值积分 或面积公式。项 E[ f ] 称为积分的截断误差，值
M M {xk }k { w } 0 称为面积节点， k k 0 称为权。
b
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积分公式的数值精度

定义7.2 面积公式的精度为正整数n，n使得对所 有次数i≤n的多项式Pi(x)，都满足E[Pi]=0，而对某 些次数为n+1的多项式Pn+1(x)有E[Pn+1] ≠0
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闭型牛顿－科特斯面积公式
定理7.1 设xk=x0+kh为等距节点，且fk=f(xk)。前4个闭型N－C 面积公式为 x1 h （梯形公式） x0 f ( x)dx 2 ( f0 f1 )

x2
x0
h f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
积分简介

数值积分的目的是，通过在有限个采样点上计算 f (x)的值来逼近 f (x)在区间[a,b]上的定积分

定义7.1 设a=x0<x1<…<xM=b. 称形如
Q[ f ] wk f ( xk ) w0 f ( x0 ) w1 f ( x1 )
k 0 M
wM f ( xM )
（辛普森公式）


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x3
x0
3h f ( x)dx ( f 0 3 f1 3 f 2 f 3 ) （辛普森3/8公式） 8
2h f ( x)dx (7 f 0 32 f1 12 f 2 32 f 3 7 f 4 ) （布尔公式） 45
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布尔公式的结果 该定积分的真解
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1
0
1
f ( x)dx 1.30859
对于辛普森3/8公式，h=1/3

1
0
f ( x)dx
3(1/ 3) 1 2 ( f (0) 3 f ( ) 3 f ( ) f (1)) 8 3 3 1 (1.00000 3(1.69642) 3(1.23447) 0.72159) 1.31440 8
对于布尔公式，h=1/4
x4
h h h h ( f 0 f1 ) ( f1 f 2 ) ( f 2 f 3 ) ( f 3 f 4 ) 2 2 2 2 h ( f 0 2 f1 2 f 2 2 f 3 f 4 ) 2
组合辛普 x)dx f ( x)dx
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注意：积分公式的数值精度定义没有指定积分区间 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
基于多项式插值的面积公式

M 通过M+1个等距点{( xk , f ( xk ))}k 0存在唯一的 次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多 项式来近似[a,b]上的f (x)时，PM(x)的积分 就近似等于f (x)的积分，这类公式称为牛 顿－科特斯公式。当使用采样点x0=a和 xM=b时，称为闭型牛顿－科特斯公式
为对面积公式进行公平的比较，必须在每种方法 中进行相同次数的函数求值 对上例中的梯形公式、辛普森公式和布尔公式， 每种方法都要在给定区间[0,1]上进行5次函数求值。 对梯形公式而言，则要在4个子区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3]和[x3,x4]上使用，称之为组合梯形公式；同 理，在两个子区间[x0,x2]和[x2,x4]上应用辛普森公 式，称之为组合辛普森公式
1
1.5
-0.5
2
2.5
0.5
3
1
3.5
1.5
2
-0.5
[x0,x3]上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式
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-0.5
[x0,x4]上y=P4(x)的布尔积分公式
-1
-1 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
N－C公式的精度
推论7.1 设f(x)充分可微，则N－C面积公式的E[f]包含一个高 阶的导数项。 梯形公式的精度为n=1，如果f∈C2[a,b]，则
1.5
2
-0.5 2.5
左矩形公式
-0.5 2.5
右矩形公式
-1 2
-1 2
-1.5 1.5
-1.5 1.5
-2 1
-2 1
-2.5 0.5
-2.5 0.5
0.5
1
1.5
-0.5
2
2.5
0.5
3
1
3.5
1.5
2
-0.5
中矩形公式
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-0.5
梯形公式
-1
-1
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x4
x0
利用N－C公式求数值积分
例7.1 函数f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面积节点为x0=0.0, x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,对应的函数值为f0=1.00000, f1=1.55152, f2=0.72159, f3=0.93765, f4=1.13390,h=0.5
0.5 3.5
0.5 3
1
1.5
-0.5
2 3
2.5
0.5
3
1
3.5
1.5
2
-0.5 2.5
[x0,x1]上y=P1(x)的梯形积分公式
-0.5 2.5
[x0,x2]上y=P2(x)的辛普森积分公式
-1 2
-1 2
-1.5 1.5
-1.5 1.5
-2 1
-2 1
-2.5 0.5
-2.5 0.5
0.5



2.0 0
0
1.5
0
f ( x)dx
2(0.5) (7(1.00000) 32(1.55152) 12(0.72159) 32(0.93765) 7(1.13390)) 2.29444 45
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2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 3.5
(5)
5 0
t3 dt 4.8998922 t e 1

本章的目的是推导数值积分的基本原理
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几个简单的数值积分公式

左/中/右矩形公式
I f ( x)dx f (a)(b a)
a b
I
b
a b
ab f ( x)dx f ( )(b a) 2
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5
5
4
例7.2
该定积分的真解为
4
3

1
0
21e 4 cos(4) sin(4) f ( x)dx 1.3082506046426 17e
3 2
2
1 5
1 5
0.5 4 -1 3 -2 2 -3 1 -4
1
1.5 4
2
0.5
2.5
1
[0,1]上y=P1(x)的梯形积分公式
-1 [0,1] 上y=P2(x)的辛普森积分公式 3 -2 2 -3 1 -4
0.5 -5
1
1.5 -5 -1
2
0.5
2.5
1
-1 [0,1] 上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式
[0,1]上y=P4(x)的布尔积分公式
-2 2019/4/8
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公式的比较

I f ( x)dx f (b)(b a )
a

梯形公式
I
b a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] 2
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2
2
1.5
1.5
1
1
0.5 3.5
0.5 3.5
3
0.5
1
1.5
-0.5
2
3
2.5
0.5
3
1
3.5
1/ 4 1 1 3 ( f (0) 2 f ( ) 2 f ( ) 2 f ( ) f (1)) 2 4 2 4 1 (1.00000 2(1.65534) 2(1.55152) 2(1.06666) 0.72159) 1.28358 8
组合梯形公式

0
f ( x)dx
第7章 数值积分
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数值积分问题

数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具， 用来计算无法解析求解的定积分的近似解
如： ( x)
x 0
t3 dt 不存在Ф(x)的解析表达，要求Ф(5) t e 1

定积分的几何意义：曲边梯形的面积
可通过求在区间0≤t≤5上曲线y=f(t)=t3/(et-1)之下的面积，得
组合辛普森公式

1
0
f ( x)dx
1/ 4 1 1 3 ( f (0) 4 f ( ) 2 f ( ) 4 f ( ) f (1)) 3 4 2 4 1 (1.00000 4(1.65534) 2(1.55152) 4(1.06666) 0.72159) 1.30938 12

0.5
0
1.0
0.5 f ( x)dx (1.00000 1.55152) 0.63788 2
0.5 f ( x)dx (1.00000 4(1.55152) 0.72159) 1.32128 3
f ( x)dx 3(0.5) (1.00000 3(1.55152) 3(0.72159) 0.93765) 1.64193 8
步长的选择

因为各个公式所需节点个数不同，如果固 定求积区间[a,b]的端点，则对不同公式要 采用不同的步长。梯形公式、辛普森公式、 辛普森3/8公式和布尔公式的步长分别为 h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4
例7.2 分别将区间[0,1]作1、2、3、4等分
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组合公式
例7.3 在区间[0,1]上取相同的步长h=1/4，进行5次函数求值
组合梯形公式

x4
x0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
x0 x1 x2 x3
x1
x2
x3
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例7.2 对于梯形公式，h=1

1
0
f ( x)dx
1 1 ( f (0) f (1)) (1.00000 0.72159) 0.86079 2 2
对于辛普森公式，h=1/2

1
0
f ( x)dx
1/ 2 1 1 ( f (0) 4 f ( ) f (1)) (1.00000 4(1.55152) 0.72159) 1.32128 3 2 6
通过研究f (x)为多项式时的情形可以预测E[Pi]的形式。考虑任 意i次多项式Pi(x)=aixi+ai-1xi-1+…+a1x+a0，如果i≤n，则对所有x， n1) Pn( an1 有Pi(n+1)(x)≡0，并且对所有的x，式 成立 1 ( x) (n 1)!
故截断误差的一般形式为E[ f ]=K f (n+1)(c)，其中K是一个 合理选择的常数，n为精度